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专题 6.3-4-2 三角形中位线与多边形角度计算
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2021·广东广州市·八年级期末）如图，点D和点E分别是BC和BA的中点，已知AC＝4，则DE为
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【详解】
解：∵点D和点E分别是BC和BA的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ AC＝ 4＝2，
故选：B．
2．（2021·江苏省江阴市第一中学八年级月考）如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝
5，CD＝3，则EF的长为（ ）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】D
【详解】
解：连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，
∴∠C＝∠A，∵E是AC中点，
∴CE＝EA，
在△DCE和△HAE中，
，
∴△DCE≌△HAE（ASA），
∴DE＝HE，DC＝AH，
∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣DC＝2，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF＝ BH，
∴EF＝1，
故选：D．
3．（2020·内蒙古呼伦贝尔市·八年级期末）如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交
于点O， 点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】B
【详解】
解：∵ ABCD的周长为36，
▱
∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB= BD=6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE= CD，
∴OE= BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE= BD+ （BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周长为15．
故选：B．
4．（2021·江苏无锡市·九年级期中）六边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1080°
【答案】B
【详解】任意凸多边形的外角和为360°，
∴六边形的外角和为360°，
故选：B．
5．（2021·江苏省江阴市第一中学七年级月考）下列哪个度数不可能是一个多边形的内角和（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：因为n边形的内角和为（n﹣2）×180°
A、当（n﹣2）×180°=360°时，n=4，是四边形的内角和，故本选项不符合题意；
B、当（n﹣2）×180°=450°时，n= ，边数不能为分数，故本选项符合题意；
C、当（n﹣2）×180°=900°时，n=7，是7边形的内角和，故本选项不符合题意；
D、当（n﹣2）×180°=1800°时，n=12，是12边形的内角和，故本选项不符合题意；
故选B．
6．（2020·浙江杭州市·八年级单元测试）如图所示，一个等边三角形纸片剪去一个角后变成一个四边形，
则图中 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，
由等边三角形可知：
∴∠1+∠2=360°-（∠A+∠B）=360°-120°=240°．故选：C．
7．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级月考）一个多边形的内角和为720度，那么这个多边形一共有
（ ）条对角线．
A．9 B．15 C．6 D．18
【答案】A
【详解】
这个多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6.
则这个多边形对角线有： （条）．
故选：A．
8．（2021·河北廊坊市·八年级期末）如图， 等于（ ）
A．360° B．335° C．385° D．405°
【答案】C
【详解】
解：由多边形的内角和公式可得： ，
∴ ，
故选：C．
9．（2021·浙江八年级月考）一个五边形截去个角后剩下的多边形内角和是（ ）
A． B． C． D． 或 或
【答案】D
【详解】
解：一个五边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变；
①四边形的内角和为：360°；
②六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°；
③五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°；
故选D．
10．（2021·山东济南市·九年级一模）如图， 中， ， ，对角线 、 相交于点 ，点 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的面积是 的面积的2倍
C． D．四边形 是平行四边形
【答案】D
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∵点 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，
∴ ，
，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，故D选项正确；
∴ ， 不一定成立，故A、C选项错误；
∴ 的面积是 的面积的4倍，故B选项错误；
故选D．
11．（2021·沭阳县修远中学七年级月考）一个多边形的每个内角都是150°，这个多边形是（ ）
A．八边形 B．十边形 C．十二边形 D．十四边形
【答案】C
【详解】
解：∵多边形的各个内角都等于150°，
∴每个外角为30°，
设这个多边形的边数为n，则
30°×n=360°，
解得n=12．
故选：C．
12．（2021·江苏省江阴市第一中学八年级期中）如图，△ABC中，∠B＝90°，过点C作AB的平行线，与
∠BAC的平分线交于点D，若AB＝6，BC＝8．E，F分别是BC，AD的中点，则EF的长为 （ ）A．1 B．1.5 C．2 D．4
【答案】C
【详解】解：在Rt ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8
∴ △
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∵AB//CD
∴∠BAD=∠CDA
∴∠CDA=∠CAD
∴DC =AC=10
延长EF交AC于点G，如图，
∴EG是△ADC的中位线，FG是△ABC的中位线，
∴
∴
故选：C．
13．（2021·重庆九年级期中）如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=9，点D为BC边上的中点，
将 ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点 处，连接 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【详解】解：如图，连接CC'，
∵将△ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点C'处，
∴AD⊥CC'，CN=C'N，
∵点D为BC边上的中点，
∴CD= BC=
AD=
∵S = ×AC×CD= ×AD×CN
ACD
△
∴CN=
∴DN= ，
∵CN=C'N，CD=DB，
∴C'B=2DN= ，
故选：B．
14．（2021·北京九年级专题练习）如图，在 中， ， ， 、 分别是其角平分
线和中线，过点 作 于 ，交 于 ，连接 ，则线段 的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．7
【答案】A
【详解】解：∵∴∠AFC=∠AFG
∵AF是 的角平分线
∴∠GAF=∠CAF
在 和 中，
，
，
， ，
，
， ，
，
故选： ．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2021·江苏省江阴市第一中学八年级月考）一个三角形的周长是12cm，则这个三角形各边中点围成
的三角形的周长为___．
【答案】6 cm．
【详解】解：如图，△ABC三边中点分别是D、E、F，
∵D、E是AC、AB中点，
∴DE= BC，
同理，FE= AC，DF= AB，
∵△ABC的周长是12 cm，
∴△DEF的周长是6 cm，
故答案为：6 cm．16．（2020·浙江九年级期末）若正n边形的一个外角是一个内角的 时，则 _________．
【答案】5
【详解】
解：设内角是x，则外角是 x，
则x+ x=180，
解得：x=108，
则n=360÷72=5，
故答案是：5．
17．（2021·重庆八中八年级月考）如图， ABC中，DE垂直平分BC，CE平分∠ACB，FG为 ACE的中
位线，连接DF，若∠DFG＝108°，则∠AED＝_____．
【答案】126°
【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
设∠EBC=∠ECB=x，
∴∠AEC=∠EBC+∠ECB=2x，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACE=x，
∵FG是△ACE的中位线，∴FG∥AC，
∴∠EFG=∠ACE=x，
∵D为BC的中点，F为CE的中点，
∴DF∥AB，
∴∠EFD=∠AEF=2x，
∵∠DFG=∠GFE+∠EFD=x+2x=3x，
∴3x=108°，
∴x=36°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=2x+90°-x=90°+x=90°+36°=126°，
故答案为：126° ．
18．（2021·重庆八中八年级月考）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为
线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度
的最大值为_____．
【答案】5
【详解】解：连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴ ，
∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN最大，此时∴EF长度的最大值为： ，
故答案为：5．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·四川泸州市·凤鸣初中八年级月考）（1）在 中，若 ， 比 大 ，求
的度数；
（2）如图，点 在四边形 的边 D的延长线上，求 的度数．
【答案】（1） ；（2）
【详解】解： ∵ ， ， ，
∴ ，
解得 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
20．（2021·湖南师大附中博才实验中学九年级期末）如图，在Rt ABC中，∠BAC=90°，D是BC边上一
点，且BD=BA．
（1）作∠ABC的角平分线交AD于点E，步骤如下：
①以B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、BC于点M和N；
②分别以M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点P；
③连结BP并延长交AD于点E．则BE是∠ABC的角平分线，所以AE DE填“=”、“<”、“>”）
（2）作CD的中点F，连接EF，若∠EBD=20°，求∠BEF的度数．【答案】（1）=；（2）∠BEF=110°
【详解】
解: （1）∵BD=BA，BE平分∠ABC，
∴AE=DE，
故答案为：=；
（2）∵BE是∠ABC的角平分线，AB=BD，
∴∠DBE=∠ABE=20°，BE⊥AD，
∴∠BEA=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAC，
又∵点F为CD的中点，E为AD中点，
∴EF//AC，
∴∠DEF=∠DAC=20°，
∴∠BEF=∠BED+∠DEF=90°+20°=110°．
21．（2021·北京九年级专题练习）如图，在 中， 为 中点，过点 作 交 于点
，且 ，连接 ， ， ．
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）若 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】解：（1）证明： 为 中点，
，，
∴点E为AC的中点，
，
，
四边形 为平行四边形；
（2） ， ，
，
过 作 于 ，
，
，
，
，
．
22．（2017·山东德州市·八年级期中）如图，在五边形ABCDE中，AP平分 ，BP平分 ．
（1）五边形ABCDE的内角和为 度；
（2）若 ， ， ，求 的度数．
【答案】（1）540；（2）65°
【详解】
解：（1）五边形ABCDE的内角和为 ，
（2）∵在五边形ABCDE中， ，
， ，∴ ，
∵AP平分 ，BP平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
23．（2020·湖北鄂州市·八年级期中）如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角(∠BCD)后，得到
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝460°．
(1)求六边形ABCDEF的内角和；
(2)求∠BGD的度数．
【答案】（1）720°；（2）100°
【详解】
解：（1）六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6－2）=720°；
（2）∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=460°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°－460°=260°，
∴∠G=360°－（∠GBC+∠C+∠CDG）=100°．
24．（2021·全国八年级单元测试）已知：如图，在 中，中线 交于点 分别是
的中点．
求证：（1） ；
（2） 和 互相平分．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【详解】
（1）在△ABC中，
∵BE、CD为中线∴AD=BD，AE=CE，
∴DE∥BC且DE= BC．
在△OBC中，
∵OF=FB，OG=GC，
∴FG∥BC且FG= BC．
∴DE∥FG
（2）由（1）知：
DE∥FG，DE=FG．
∴四边形DFGE为平行四边形．
∴ 和 互相平分
25．（2021·河南驻马店市·九年级期末）如图1，在Rt ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边
AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
△
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
【答案】（1） ； ；（2） 是等腰直角三角形，见解析
【详解】
解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝ BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝ CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC＋∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
是等腰直角三角形，理由如下：
由旋转知， ，
，
≌ ，
，
利用三角形的中位线得， ，
，
是等腰三角形，
同 的方法得， ，
，
同 的方法得， ，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
26．（2021·江西赣州市·八年级期末）（1）如图1，在△ABC中，已知OB，OC分别平分∠ABC，
∠ACB，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB，的外角∠DBC，∠ECB．①若∠A=50º，则∠O=______，∠P=______；
②若∠A=α，则∠O=______，∠P=______．（用含α的式子表示）
（2）如图2，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P与∠A，∠D的数量
关系，并说明理由；
（3）如图3，在六边形ABCDEF中，CP，DP分别平分外角∠GCD，∠HDC，请直接写出∠P与∠A，
∠B，∠E，∠F的数量关系______．
【答案】（1）①115º；65º；② ， ；（2） ，理由见解
析 ；（3）
【详解】
解：（1）①连结AO并延长到Q，连结PA
∵OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABO= ；∠ACO= ，
∴∠BOQ=∠ABO+∠BAO，∠QOC=∠OCA+∠OAC，
∴∠BOC=∠BOQ+∠QOC=∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC，
∴∠BOC=∠BAC+ + ，
=∠A+ + ，
=∠A+180°- ，
=90°+ ，
=115°，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB，
∴∠DBP= ；∠ECP= ，
∠DBP=∠BAP+∠BPA，∠ECP=∠CAP+∠CPA，
∴∠DBP+∠ECP=∠BAP+∠BPA+∠CAP+∠CPA=∠A+∠P，
∴ ，
∴ ，
∴90º+ ，
∴ ，
故答案为：115º；65º；
②由①得∠O=90°+ ， ，
∵∠A=α，
∴∠O=90°+ ， ，
故答案为：∠O=90°+ ， ，
解： ，
理由如下：
在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，
∴∠CBP= ；∠BCP= ，，
，
，
，
；
（3）延长CB，DE交直线AF与M、N如图，
由（2）得 ，
∴∠M=∠FAB+∠CBA-180º，∠N=∠EFA+∠DEF-180º，
∴∠M+∠N=∠FAB+∠CBA-180º+∠EFA+∠DEF-180º=∠FAB+∠CBA+∠EFA+∠DEF-360º，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
