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11.3 多边形及其内角和
多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多
边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
注意：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
n(n3)
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 2 ；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
题型1：多边形的概念辨析
1.下列说法中，①三角形的内角中最多有一个钝角；②三角形的中线将三角形分
成面积相等的两部分；③从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，把n边形分
成（n-2）个三角形，因此，n边形的内角和是（n-2）•180°；④六边形的对角线有7
条，正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理，三角形的中线的性质，对角线的定义
及公式来判断所给命题是否正确即可．
【解答】①假设一个三角形有两个钝角，那么这两个钝角的和大于180°，与三角形
的内角和为180°相矛盾．故三角形的内角中最多有一个钝角，正确；
②三角形的中线把三角形分成的两个三角形的底边相等，高相同，所以面积相等，
正确；③ 因为连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的一个
顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故从n边形的一个顶点可以引
（n-3)条对角线，把n边形分成（n-2)个三角形，每一个三角形的内角和是180°，因
此，n边形的内角和是（n-2)•180°，正确；
n(n-3)
④n边形共有 条对角线，所以六边形的对角线有6×3÷2=9条，错误．
2
故选B．
【变式1-1】下列说法正确的是（ ）
A．五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形
B．正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形
C．从n边形的一个顶点出发可以引（n-2）条对角线
n(n-3)
D．n边形共有 条对角线
2
【答案】D
【解析】【解答】解：A、五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形不一定是
正五边形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、正六边形各内角都相等，但各内角都相等的六边形不一定是正六边形，故本选项
说法错误，不符合题意；
C、从n边形的一个顶点出发可以引（n－3）条对角线，本选项说法错误，不符合题
意；
n(n-3)
D、n边形共有 条对角线，故本选项说法正确，符合题意.
2
故答案为：D.
【分析】根据正多边形的定义即可判断A、B两项，根据多边形对角线的性质和条
数公式即可判断C、D两项，进而可得答案.
题型2：多边形的不稳定性
2.四边形没有稳定性，当一个四边形的形状发生改变时，发生变化的是（ ）
A．四边形的外角和 B．四边形的边长
C．四边形的周长 D．四边形某些角的大小
【答案】D
【解析】【解答】解：当四边形形状改变时，发生变化的是四边形的内角的度数．
故答案为：D．
【分析】根据四边形的性质对每个选项一一判断即可。
【变式2-1】三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要使
钉上（ ）根木条A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】过五边形的一个顶点作对角线，有5-3=2条对角线，所以至少要钉
上2根木条．
故答案为：B．
【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过
五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
【变式2-2】要使一个六边形的木架稳定，至少要钉（ ）根木条
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】A
【解析】【解答】根据三角形的稳定性，可将六边形木架分成几个三角形，则需要
6-3=3根木条.
【分析】此题考查多边形的对角线及三角形的稳定性．
6．多边形的内角和不可能为（ ）
A．180° B．540° C．1080° D．
1200°
【答案】D
【解析】【解答】多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），n
应为整数，所以n-2也是整数，所以多边形的内角能被180整除，因为在这四个选项
中不是180°的倍数的只有1200°．
故答案为：D．
【分析】根据多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），对每个
选项一一判断即可。
题型3：多边形的对角线
3.分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：
（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子： ．
（2）从十五边形的一个顶点可以引出 条对角线，十五边形共有 条对角
线：
（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．【分析】（1）根据多边形对角线的条数的公式即可求解；
（2）根据多边形对角线的条数的公式代值计算即可求解；
（3）根据等量关系：一个多边形对角线的条数与它的边数相等，列出方程计算即可
求解．
【解答】解：如图所示：
1
（1）用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S= n（n﹣3）；
2
1
（2）十五边形从一个顶点可引出对角线：15﹣3＝12（条），共有对角线： ×15×
2
（15﹣3）＝90（条）；
（3）设多边形有n条边，
1
则 n（n﹣3）＝n，
2
解得n＝5或n＝0（应舍去）．
故这个多边形的边数是5．
1
故答案为：S= n（n﹣3）；12，90．
2
【点评】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有
帮助．
【变式3-1】五边形共有 条对角线.
【答案】5
n(n-3)
【解析】【解答】解：∵n边形共有 条对角线，
25(5-3)
∴五边形共有 =5
2
∴故答案为：5.
n(n-3)
【分析】利用n边形共有 条对角线，将n=5代入计算.
2
【变式3-2】已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的
2倍，求此多边形的边数．
【答案】解：设此多边形有n条边，由题意，得
n=2（n-3），
解得n=6．
故此多边形有6条边．
【解析】【分析】根据多边形对角线的规律：从一个点出发可引（n-3）（n大于3）
列出方程求解即可。
【变式3-3】连接四边形任意不相邻的两个顶点的线段叫做四边形的对角线，如图：
从四边形的一个顶点可以引出 1 条对角线，把四边形分成 2 个三角形；
从五边形的一个顶点可以引出 2 条对角线，把五边形分成 3 个三角形；
从六边形的一个顶点可以引出 3 条对角线，把六边形分成 4个三角形；
…
从n边形的一个顶点可以引出 条对角线，把n边形分成 个三角形；
已知任意三角形的内角和为180°，则：
四边形的内角和为：180°×2
五边形的内角和为：180°×3
六边形的内角和为：180°×4
…
n边形的内角和为： （用含n的代数式表示）
根据上面你所找到的规律尝试计算十二边形的内角和．
【分析】根据三角形以及对角线的概念，不难发现：从一个顶点出发的对角线除了和
2边不能组成三角形外，其余都能组成三角形．故过n边形的一个顶点的对角线可以
把n边形分成（n-2）个三角形．从一个顶点出发画对角线除了相邻的两个顶点与自
身外不能连接外，其余都能连接，故对角线有（n-3）条，根据多边形的内角和为
（n-2）×180°解答即可．
【解答】解：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，并将n边形分成
（n-2）个三角形；n边形的内角和为（n-2）×180°；
十二边形的内角和为（12-2）×180°=1800°．
故答案为：（n-3）；（n-2）；（n-2）×180°．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理的证明，解题关键是将多边形的内角和问题
转化为三角形中解决，在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的
线段可以把n边形分成（n-2）个三角形．
多边形内角和
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
注意：
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其
(n2) 180°
边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于 n ；
题型4：已知边数求内角和
4.七边形内角和的度数是 ．
【答案】900°
【解析】【解答】解：七边形内角和的度数是(7-2)×180°=900°，
故答案为：900°．
【分析】根据多边形内角和公式求解即可。
题型5：已知内角和求边数
5.已知一个n边形的内角和等于1800°，则n＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】【解答】解：∵（n﹣2）×180＝1800，
∴n＝12.
故答案为：D．
【分析】根据多边形的内角和公式可得（n﹣2）×180＝1800，再求出n的值即可。
【变式5-1】一个 n 边形的内角和是 900°，求 n 的值及这个多边形对角线的条数.
【答案】解：多边形的边数 n=900°÷180°+2=7 ；
对角线的条数： 7×(7-3)÷2=14 .
故 n=7 ，这个多边形的对角线共有14条.
【解析】【分析】首先根据多边形的内角和计算公式： (n-2)×180°建立方程 ，求
1
出多边形的边数；再进一步代入多边形的对角线计算公式 n(n-3) 求得结果.
2
【变式5-2】一个多边形的内角和是1260°，求这个多边形的边数。【答案】解：解：设这个多边形的边数为n，则（n-2）180°=1260°
解得：n=9
答：这个多边形的边数为9.
【解析】【分析】 设这个多边形的边数为n ，根据多边形的内角和公式得出该多边
形的内角和为 （n-2）180° ，又多边形的内角和是1260° ，根据用两个不同的式子
表示同一个量，则这两个式子相等，从而列出方程，求解即可.
题型6：正多边形的概念
6.下列图形为正多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
可得答案．
【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等，
故选：D．
【点评】此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．
【变式6-1】一个正多边形的每一个内角为140°，求它的边数。
【答案】解：根据题意可知，正多边形一个外角的度数=180°-140°=40°
∴多边形的边数=360°÷40°=9
【解析】【分析】根据正多边形的内角的度数，即可得到其外角的度数，根据多边
形的外角度数的和为360°，即可求出多边形的边数。
题型7：求正n多边形内角的度数
7.一个正多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：多边形的内角和公式为：180°（n－2），其中n为多边形的边
数，且为正整数，
则： 180°(n－2)=1440° ，解得 n=10
故答案为：10．
【分析】先求出180°(n－2)=1440°，再解方程即可。
【变式7-1】如果一个正多边形的内角和为 1260° ，那么这个正多边形的每一个内
角为 度．
【答案】140
【解析】【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n-2）=1260， 解得：n=9，
∴这个正多边形的每一个内角等于：1260°÷9=140°．故答案为：140．
【分析】先根据多边形的内角和定理求得多边形的边数，再求出每个内角和每个外
角度数，进而求出答案。
【变式7-2】若从一个正多边形的一个顶点出发，最多可以引5条对角线，则它的一
个内角为（ ）
A．1080° B．720° C．140° D．
135°
【答案】D
【解析】【解答】设多边形边数为n，由题意得：
n-3=5，
n=8，
内角和： 180°(8-2)=1080° ，
一个内角度数： 1080°÷8=135° ，
故答案为：D.
【分析】先利用角平分线判断多边形的边数，再利用多边形内角和公式计算即可。
题型8：已知内角和求正n多边形边数
8已知一个正多边形的每个内角是 150∘ ，则这个正多边形是（ ）
A．正八边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．正十
四边形
【答案】C
【解析】【解答】解：∵一个正多边形的每个内角为150°，
∴这个正多边形的每个外角=180°-150°=30°，
360°
∴这个正多边形的边数= =12.
30°
故答案为：C.
【分析】根据多边形的一个内角和它相邻的外角互补可求得一个外角的度数，再根
据多边形的外角和等于360°和正多边形的各个外角都相等可求解.
【变式8-1】.一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是(
)
A．8 B．14 C．16 D．20
【答案】C
【解析】【解答】解：∵正多边形的每个内角为135°，
∴每个外角是180°-135°=45°，
∵多边形的边数为：360÷45=8，
则这个多边形是八边形，∴这个多边形的周长=2×8=16，
故答案为：C.
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可
以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度
数就可以求出外角和中外角的个数，求得多边形的边数，即可得到结论.
【变式8-2】已知一个正多边形的内角是144°，则这个正多边形是 边形．
【答案】十
【解析】【解答】解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得：
（n-2）×180°÷n=144°，
解得：n=10．
故答案为：十．
【分析】先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式即可得
出答案。
题型9：截角问题
9.一个四边形，截一刀后得到新多边形的内角和将（ ）
A．增加180° B．减少180°
C．不变 D．以上三种情况都有可能
【答案】D
【解析】【解答】解：∵一个四边形截一刀后得到的多边形可能是三角形，可能是
四边形，也可能是五边形，
∴内角和可能减少180°，可能不变，可能增加180°.
故答案为：D.
【分析】由于一个四边形截一刀后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也
可能是五边形，从而根据多边形的内角和公式即可解决问题.
【变式9-1】将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原
多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去
一个角后得到．
【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．故选：D．
【点评】此题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何
一种情况．
【变式9-2】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原
多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣
1）边形．
【解答】解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，
则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形．
故选：A．
【点评】此题主要考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，
则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．
【变式9-3】一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和最多为 ．
【答案】540°
【解析】【解答】画出图形 ：一个四边形截一刀后得到的新多边形可能是三角形、
四边形、五边形，它们的内角和依次是180°或360°或540°。
其中，内角和最多的是540°。
【分析】一个四边形截一刀后得到的新多边形可能是三角形、四边形、五边形，根
据多边形的内角和公式即可求出答案。
多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
注意：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边
形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
360°
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 n ；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知
多边形边数求各相等外角的度数．
题型10：多边形的外角和
10.下列图形中，内角和等于外角和的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设n边形的内角和等于外角和
（n-2）×180°=360°
解得：n=4
故答案为：B
【分析】设n边形的内角和等于外角和，根据题意列出方程（n-2）×180°=360°求解
即可。
【变式10-1】八边形的外角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】B
【解析】【解答】解：八边形的外角和是360°．
故答案为：B．
【分析】根据多边形的外角和公式，计算得到答案即可。
【变式10-2】一正多边形的内角和与外角和的和是1440°，则该正多边形是（ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九
边形
【答案】C
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，
（n﹣2）•180°+360°＝1440°，
n﹣2＝6，
n＝8．
故这个多边形的边数为8．
故答案为：C．
【分析】依题意，多边形的内角与外角和为1440°，多边形的外角和为360°，根据内角和公式求出多边形的边数．
题型11：多边形内角和和外角和实际应用
11.八年级一班的同学体育课上玩游戏，让小聪同学从A出发前进10米后左转30°，
再前进10米后左转30°，按照这样方法一直走下去，当他回到A时，共走了（ ）
A．60米 B．100米 C．120米 D．150米
【分析】根据多边形的外角和＝360°求解即可．
【解答】解：∵多边形的外角和为360°，
360°
∴ = 12，
30°
即12×10米＝120米，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的外角和定理是解此题的关
键，注意：多边形的外角和等于360°．
【变式11-1】如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m
到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共
走了（ ）
A．100m B．90m C．54m D．60m
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是
一个正多边形，
由于正多边形的外角和是360°，且每一个外角为20°，
360°÷20°＝18，
所以它是一个正18边形，
因此所走的路程为18×3＝54（m）.
故答案为：C.
【分析】由题意可知：当她第一次回到出发点A时，所走过的路程是一个正多边形
的周长，根据外角的度数求出多边形的边数，进而可得所走的路程.
【变式11-2】科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的
步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）A．12米 B．16米 C．18米 D．20米
【分析】先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一
个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形，
∵每一次都是左转20°，
∴多边形的边数＝360°÷20°＝18，
周长＝18×1＝18（米）．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，判断出走过的路线是正多边形是解题的关
键．
题型12：多边形内角和和外角和综合应用
12.已知一个多边形的内角和与外角和的和为1980°，这个多边形的边数为
（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：该多边形的外角和为360°，
故内角和为1980°-360°=1620°，
故（n-2）•180°=1620°，
解得n=11．
故答案为：C．
【分析】根据多边形的内角和及外角和公式列出方程（n-2）•180°=1620°，求解即
可。
【变式12-1】已知一个多边形的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.
【答案】解：设这个多边形的边数为n，则根据题意，得
（n-2）•180=720，
解得：n=6.
答：这个多边形的边数为6.
【解析】【分析】 设这个多边形的边数为n，则其内角和为 （n-2）•180 ，由于任
何多边形的外角和都是360°，进而根据题意解方程求出n的值，即可求解.【变式12-2】一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，求这个正多
边形的边数及内角和.
【答案】解：设这个正多边的外角为x，则内角为5x﹣60°，
由题意得：x+5x﹣60＝180，
解得：x＝40，
360°÷40°＝9.（9﹣2）×180°＝1260°
答：这个正多边形的边数是9，内角和是1260°.
【解析】【分析】 设这个正多边的外角为x，则内角为5x﹣60°， 根据内角与相邻外
角互补可得 x+5x﹣60＝180， 求出x的值，再利用外角和360°÷一个外角的度数即
得边数，然后利用内角和公式进行计算即可.
题型13：多边形内角和和外角和-平行线
13.如图，五边形 ABCDE中，AE∥CD，∠A=107°，∠B=121°，求∠C的度数。
【答案】解：五边形ABCDE的内角和为 (5-2)×180°=540°
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°
∵AE∥CD，∴∠D+∠E=180°
∵∠A=107°，∠B=121°
∴∠C=132°
【解析】【分析】根据直线平行的性质即可得到∠E和∠D的和，根据五边形的内角
和公式计算得到内角和，根据∠A以及∠B的度数即可得到∠C的答案。
【变式13-1】如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180° B．270° C．360° D．450°
【分析】首先过点D作DF∥AE，交AB于点F，由AE∥BC，可证得AE∥DF∥BC，
然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，
∠CDF+∠C＝180°，继而证得结论．【解答】解：过点D作DF∥AE，交AB于点F，
∵AE∥BC，
∴AE∥DF∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，
∴∠C+∠CDE+∠E＝360°，
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质．此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意数
形结合思想的应用．
【变式13-2】如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC＝
∠BCD，
（1）求证：∠DEC+∠DCE＝90°；
（2）如图2，若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F＝58°，求
∠ABC．
【答案】（1）证明：AD∥BC，
∠ADC+∠BCD=180°，
∵DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD，
∴∠ADE=∠EDB，∠BDC=∠BCD，
∵∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠EDB+∠BDC=90°，
∴∠DEC+∠DCE=90°；
（2）解：∵∠FBD+∠BDE=90°-∠F=32°，DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，
∴∠ADB+∠ABD=2（∠FBD+∠BDE）=64°，
又∵四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，即∠ABC=64°．
【解析】【分析】（1）由AD//BC，DE平分∠ADB，得到∠ADC+∠BCD=180°，再
根据∠BDC=∠BCD，得到∠DEC+∠DCE=90°；（2）由DE平分∠ADB，BF平分
∠ABD，四边形ABCD中，AD∥BC，∠F＝58°，得出
∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，即∠ABC=64°．
题型14：多边形内角和和外角和-角平分线
14.如图，在六边形ABCDEF中，若∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，∠DEF与∠AFE的
平分线交于点G，则∠G等于（ ）
A．55° B．65° C．70° D．80°
【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠DEF与∠AFE的度数和是多少，进
而求出∠GEF与∠GFE的度数和是多少；然后在△GEF中，根据三角形的内角和定
理，求出∠G等于多少即可．
【解答】解：六边形ABCDEF的内角和是：
（6﹣2）×180°
＝4×180°
＝720°
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝500°，
∴∠DEF+∠AFE＝720°﹣500°＝220°，
∵GE平分∠DEF，GF平分∠AFE，
1 1
∴∠GEF+∠GFE= （∠DEF+∠AFE）= ×220°＝110°，
2 2
∴∠G＝180°﹣110°＝70°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角的计算，解答此题的关键是要明确：
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和
指每个顶点处取一个外角，则 n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为
360°．
【变式14-1】如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC交CD于
E，DF平分∠ADC交AB于F.（1）若∠ABC＝60°，则∠ADC＝ °，∠AFD＝ °；
（2）求证：BE∥DF.
【答案】（1）120；30
（2）证明：四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵BE平分∠ABC交CD于E，DF平分∠ADC交AB于F，
∴∠ADF＝∠FDC，∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE+∠FDC＝90°，
∵∠AFD+∠ADF＝90°，∠ADF＝∠FDC，
∴∠AFD＝∠ABE，
∴BE∥DF.
【解析】【解答】解：（1）∵∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝120°，
∵DF平分∠ADC交AB于F，
1
∴∠FDA＝ ADC＝60°，
2
∴∠AFD＝90°﹣∠ADF＝30°；
故答案为：120，30；
【分析】（1）首先根据四边形内角和为360°求出∠ADC的度数，然后根据角平分
线的概念可得∠FDA的度数，接下来根据直角三角形两锐角互余的性质进行求解；
（2）先根据四边形内角和为360°可得∠ADC+∠ABC＝180°，结合角平分线的概念
可得∠ABE+∠FDC＝90°，推出∠AFD＝∠ABE，然后利用平行线的判定定理进行证
明.
【变式14-2】（1）（问题引入）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线
的交点，若∠A=40°，请求出∠BOC的度数．
（2）（深入探究）
如图2，在四边形ABDC中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若
∠B+∠D=110°，请求出∠AOC的度数．
（3）（类比猜想）
1 1
如图3，在△ABC中，∠CBO= ∠DBC，∠BCO= ∠ECB，∠A=α，则
3 3
∠BOC= （用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解
答过程）．
（4）如果BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于
1 1
点O，∠CBO=∠ DBC∠BCO= ∠ECB，则∠BOC=
n n
（用n、a的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．
【答案】（1）解：∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，
∴∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB
=360°-（∠ABC+∠ACB）
=360°-140°
=220°，
∵BO、CO分别平分∠DBC和∠ECB，
1 1
∴∠OBC+∠OCB= （∠DBC+∠ECB） = ×220°=110°，
2 2
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-110°=70°
（2）解：∵点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，
1 1
∴∠OAC= ∠CAB，∠OCA= ∠ACD，
2 2
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）
1
=180°- （∠CAB+∠ACD）
2
1
=180°- （360°-∠B-∠D）
2
1
= （∠B+∠D），
2
∵∠B+∠D=110°，1
∴∠AOC= （∠B+∠D）=55°
2
1
（3）120°- α；
3
(n-1)×180° 1
（4） - α
n n
【解析】【解答】（3）在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
1
=180°- （∠DBC+∠ECB）
3
1
=180°- （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
3
1
=180°- （∠A+180°）
3
1
=120°- α；
3
1
故答案为：120°- α；（4）在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
3
1
=180°- （∠DBC+∠ECB）
n
1
=180°- （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
n
1
=180°- （∠A+180°）
n
(n-1)×180° 1
= - α ．
n n
(n-1)×180° 1
故答案为： - α ．
n n
【分析】（1）由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，利用邻补角
求出∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°-∠ACB=220°，根据角平分线的定义可得
1
∠OBC+∠OCB= （∠DBC+∠ECB）=110°，在△BOC中，利用三角形内角和定理即
2
可求出∠BOC的度数；
1 1
（2） 利用角平分线的定义可得∠OAC= ∠CAB，∠OCA= ∠ACD， 根据三角
2 2
1
形内角和及四边形内角和可得 ∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-
2
1 1
（∠CAB+∠ACD）=180°- （360°-∠B-∠D）= （∠B+∠D）， 从而求出结论；
2 2
1
（3）在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- （∠DBC+∠ECB）
3
1 1
=180°- （∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°- （∠A+180°），据此计算即得结
3 3论；
（4）同（3）计算即得.
一、单选题
1．已知一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】【解答】设这个多边形的边数为n，
∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，
∴（n﹣2）•180°=360°×2，
解得n=6．
∴此多边形的边数为6．
故答案为：D．
【分析】设这个多边形的边数为n，则n边形的内角和为（n﹣2）•180°，又任何多边
形的外角和为360°，根据多边形的内角和是它的外角和的2倍 即可列出方程，求解即
可。
2．游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求
每走完一段直路后向右边偏行.成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）.
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走
B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走
D．每段直路要长
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意可知，从起点走五段相等直路之后回到起点的封闭图
形是正五边形，
(5-2)×180°
∵正五边形的每个内角的度数为： =108°
5
∴它的邻补角的度数为：180°-108°=72°，因此，每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走，
故答案为：A.
【分析】根据题意可知封闭的图形是正五边形，求出正五边形内角的度数即可解决问
题.
3．一个五边形的内角和为（ ）
A．540° B．450° C．360° D．180°
【答案】A
【解析】【解答】根据正多边形内角和公式：180°×（5﹣2）=540°，
即一个五边形的内角和是540度，
故答案为：A．
【分析】根据多边形的内角公式180°×（n-2）即可算出答案。
4．一个多边形的每个外角都是36° ，则该多边形的内角和为（ ）
A．900° B．1800° C．1440° D．1080°
【答案】C
【解析】【解答】解：多边形的边数：360÷36=10，
内角和：180°×（10-2）=1440°.
故答案为：C．
【分析】根据多边形的外角和为360°，即可求出多边形的边数=360°÷36°=10，再根据
多边形内角和公式180°（n-2），代入边数10即可求出其内角和.
5．如果从一个n边形的一个顶点出发，最多能引出6条对角线，那么这个n边形的内
角和是（ ）
A．720° B．1080° C．1260° D．1440°
【答案】C
【解析】【解答】解：设多边形边数为n，
∵从一个n边形的一个顶点出发，最多能引出6条对角线，
由题意得：n﹣3＝6，
解得：n＝9，
内角和：180°×（9﹣2）＝1260°．
故答案为：C．
【分析】设多边形边数为n，根据n边形的一个顶点出发，最多能引出6条对角线，由
此得出n的值，再根据多边形内角和公式可得出答案。
6．过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形的
边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B
【解析】【解答】解：n-2=7，
解得：n=9，
所以这个多边形的边数是9，
故答案为：B．
【分析】先求出n-2=7，再求出n=9，即可作答。
7．已知正多边形的一个内角等于一个外角的3倍，那么这个正多边形的边数为
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】【解答】解：设这个正多边形的一个外角的度数为x，则其一个内角的度数为
3x，
所以x+3x＝180°，x＝45°，
该正多边形的边数是：360°÷45°＝8．
故答案为：C．
【分析】先求出x+3x＝180°，再求出x＝45°，最后计算求解即可。
二、填空题
8．一个n边形的内角和是720°，那么n= ．
【答案】6
【解析】【解答】解：由题意得：（n-2）×180°=720°，解得 n=6;
故答案为：6.
【分析】根据多边形的内角和公式，由n边形的内角和是720° 列出方程，求解即可。
9．一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是 边形．
【答案】八
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：180×(n-2)=1080，
解得：n=8，
故答案为：八．
【分析】设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°×(n-2)，即可得方程
180×(n-2)=1080，解此方程即可求得答案．
10．如图，五边形 ABCDE 是正五边形，点D在 l 上，若 l //l ， ∠1=120° ，
2 1 2
则 ∠2= ．【答案】24°
【解析】【解答】解：如图，过点B作直线n平行于l ，
1
∵l //l ，
1 2
∴n//l ，
2
∵五边形 ABCDE 是正五边形，
180°×(5-2)
∴∠A=∠ABC= =108° ，
5
∵n//l ， ∠1=120° ，
2
∴∠3=60° ， ∠4=108°-60°=48° ，
∵n//l
1
∴∠5=∠4=48° ，
∴∠2=180°-∠5-∠A=24° ，
故答案为：24°．
【分析】过点B作直线BF//I ，依据平行线的性质以及正五边形的内角和，即可得到
1
∠2的度数。
11．若多边形的每个内角都是150°，则该多边形的边数是 ．
【答案】12
【解析】【解答】∵多边形的每个内角都是150°，
∴ 每个多边形的外角为30°，
设多边形的边数为x，可得出30°x=360°，
解得x=12
【分析】根据多边形的外角和为360°，列方程解出边数。12．∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，
α=∠A+∠B,β=∠B+∠C,γ=∠C+∠A ,其中 α、β、γ 锐角至多有 个.
【答案】1
【解析】【解答】由题我们可以得知：α、β、γ分别为 ΔABC 的三个外角，所以
∠α+∠β+∠γ =360°
因此我们先假设最多有三个锐角，此时 ∠α+∠β+∠γ ＜270°＜360°，所以不符合题
意；之后我们再假设最多有两个锐角，此时 ∠α+∠β+∠γ ＜360°，依然不符合题意；
最后我们再假设最多有一个锐角，此时相当于有两个钝角，两个钝角加一个锐角完全
可以等于360°，符合题意
所以答案为1
【分析】利用三角形外角等于与之不相邻两内角的和以及三角形外角和为360°进行解
题即可
三、解答题
13．若一个多边形的每一个内角都等于120°，求该多边形的边数．
【答案】解：设这个多边形的边数为n．根据题意，得：
（n﹣2）180°=120°n
解得：n=6
∴这个多边形的边数为6．
【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，利用多边形的内角和定理即可列方程求解．
14．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，求此多边形的边数．
【答案】解：设边数为n，由题意得：（n﹣2）×180º=3×360º，
解得：n=8，
答：此多边形的边数为8．
【解析】【分析】多边形的内角和公式（n﹣2）×180º，外角和为360º，据此列方程求
解即可．
15．如图
（1）求图形中的x的值；
（2）求：∠A、∠B、∠C、∠D的度数。
【答案】（1）解：依题意有：3x+3x+4x+2x =360°，解得x=30°
（2）解：∠A=∠B=3×30°=90°，∠C=2×30°=60°，∠D=4×30°=120°
【解析】【分析】（1）根据四边形内角和等于360°，列出关于x的一元一次方程，即
可求解；
（2）求出x的值，代入各个内角的代数式，即可.
