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6.3 多边形的内角和与外角和
题型一 多边形的内角和
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】
5．【答案】
6．【答案】 /30度
7．
【答案】 ，
【分析】考查了平行线的性质，多边形内角和定理，一元一次方程的应用等知识点，根据题意正确列出方
程成为解题的关键．
图①先求出该多边形的内角和，然后据此列一元一次方程求解即可；图②先根据平行线的性质求得
，再根据多边形内角和定理列一元一次方程求解即可．
【详解】解：图①中，由题意得： ，
．
图②中， ，
，
．
8．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了由四边形的内角和为 ，熟练掌握是解决此题的关键．
（1）、（2）由四边形的内角和为 列方程计算即可．
【详解】（1）解：由四边形的内角和为 可得，
，解得 ．
（2）解：由四边形的内角和为 可得，
，
解得 ．
题型二 正多边形的内角问题
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】
4．【答案】
5．【答案】
6．
【答案】
【分析】本题考查了多边形内角与外角、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性
质结合三角形内角和定理求出 、 的度数是解题的关键．
根据正多边形的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可求出 的度数，同理可求出
的度数，再根据 即可求出结论．
【详解】解： 六边形 为正六边形，
， ，
．
四边形 为正方形，
， ，
，
，
．
7．
【答案】
【分析】本题考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质与平行线的性质，掌握正五边形的内角计算方法，
及利用等腰三角形、平行线转化角的关系是解题的关键．先利用正五边形的性质求出内角及等腰三角形的角，再结合平行线的性质得到相等的角，最后通过角的差
计算出 的度数．
【详解】解： 五边形 是正五边形，
， ，
，
，
，
．
．
题型三 多（少）算一个角问题
1．【答案】14
2．
【答案】(1)见解析
(2)十三边形，内角和 ，外角
【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握 边形的内角和为： ．
（1）由 边形的内角和公式为 ，可知 边形的内角和一定是 的整数倍，而 不能被
整除，所以小明说不可能；
（2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和．
【详解】（1）解：∵ 边形的内角和是 ，
∴多边形的内角和一定是 的整数倍．
∵ ，
∴小明说多边形的内角和不可能是 ．
（2）解： ．
，
．
故小华求的是十三边形的内角和，内角和是 ，多加的那个外角是 ．
3．
【答案】 ，【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．根据多边
形内角和定理： （ 且 为整数），可得：多边形的内角和一定是 的倍数，而多边形的
内角一定大于 ，并且小于 ，用 除以 ，根据商和余数的情况，求出加的这个内角的度数，
进而可求出这个多边形的边数．
【详解】解： ，
少加的这个内角的度数是： ．
∴这个多边形的边数是： ．
答：这个内角的度数为 ，多边形的边数为14．
4．
【答案】1
【分析】本题考查了多边形的内角和公式和对角线公式熟记公式是解题的关键根据多边形的内角和公式
．多边形的内角一定大于0度，小于 度，据此求得m的值，继而根据对角线公式求出n的
值，代入计算可得．
【详解】解∶设 边形少加的度数为 度．则
，
即 ．
， ，
，
．
边形的对角线条数为 ．
．
5．
【答案】(1)150度
(2)不是正多边形
【分析】本题考查了多边形的内角与外角;
（1）根据多边形的内角和是 的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数；
（2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形
的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案．
【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则 ，
解得 ．
∵ 为正整数，
∴ ，
∴少加的内角的度数为 ．
（2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为 ，
∴它的边数应等于 ．
由（1）可知，这个多边形的边数为14， ，
∴这个多边形不是正多边形．
6．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是 的倍数是解题的关键．
(1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是 ，根据多边形的内角和公式 可知，多
边形的内角度数是 的倍数，然后利用数的整除性进行求解；
(2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是 ，根据多边形的内角和公式 可
知，多边形的内角度数是 的倍数，然后利用数的整除性进行求解．
【详解】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为 ，则由条件，
得 ．
因为n为自然数， ，且 ，
故取 ，
得 ．
方法二：由条件，得 ，
且n为自然数，故 ．
（2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为 ，
则由条件，得 ．
因为n为自然数， ，且 ，
故取 ，得 ．
方法二：由条件，得 ，
且n为自然数，
故 ．
题型四 多边形截角后的内角和
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】
5．【答案】180
6．
【答案】原多边形为十四边形
【分析】本题考查多边形的内角和，掌握n边形的内角和为 是解题的关键．
设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为 ，根据“内角和为 ”列出方程，求解即可．
【详解】解：设原多边形的边数为x，则新多边形的边数为 ，根据题意，得
，
解得 ，
答：原多边形为十四边形．
7．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
(4)11或12或13【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式 求
解即可；
（1）使得原多边形增加一条边，即可求解；
（2）不改变原多边形的边数，即可求解；
（3）使得原多边形减少一条边，即可求解；
（4）由多边形内角和公式得 ，按不同截法，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
（2）解：由题意得
（3）解：由题意得
（4）解：设新多边形的边数为n，
则 ，
解得： ，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为 ，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为 ，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为 ，
故答案为：11或12或13．
8．【答案】13或14或15
【分析】根据多边形的内角和公式可得： ，求出新多边形的边数，然后再根据截去一
个角的情况进行讨论，计算即可．本题主要考查了多边形的内角和公式 （ 且 是整数），
注意要分情况进行讨论，避免漏解．
【详解】解：设新多边形的边数为 ，
则 ，
解得： ，
若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为13，
若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为14，
则多边形的边数是13或14或15．
题型五 多边形的外角问题
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】
7．
【答案】五边形
【分析】本题考查了根据多边形外角和求多边形边数，设这个多边形是 边形，根据外角和的大小与多边
形的边数无关，由外角和求出正多边形的边数，即可解题．
【详解】解：设这个多边形是 边形．
根据题意，得
解得 ．
所以，这个多边形是五边形．
8．
【答案】十边形
【分析】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是掌握多边形内角和公式，多边形外角和为 ．在各个内角都相等的多边形中，各外角也相等．首先设多边形的边数为 ，根据多边形内角和公式
和多边形外角和为 ，分别求出一个内角和一个外角，根据“一个内角是一个外角的 倍”，
列方程解方程即可得边数．
【详解】解：由题意可知，这个多边形各内角都相等，各外角也相等．
设这个多边形的边数为n，则 ，
解得 ．
经检验， 是原分式方程的解．
故这个多边形是十边形．
9．
【答案】10．
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，外角和定理，多边形内角与外角的关系：多边形的外角和
等于360度，多边形的每个外角和与它相邻的内角和等于180度，列出方程是解答本题的关键.
设多边形的一个外角为 ，则与其相邻的内角等于 ，根据内角与其相邻的外角的和是180度列出
方程，求出x的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为 .
【详解】解：设这个多边形的每个外角为 ，
则 ．
解得 ．
．
答：这个多边形的边数为10．
题型一 复杂图形的内角和
1．【答案】C
2．【答案】 /360度
3．【答案】
4．
【答案】
【分析】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为 ，
及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键．先利用四边形内角和求出 的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，
最后利用三角形的外角性质计算 的度数．
【详解】解： ， ，
，
．
平分 ，
．
平分 ，
，
．
题型二 多边形外角和的实际应用
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】240°
4．【答案】
5．【答案】
6．
【答案】
【分析】本题考查了四边形的外角和定理，掌握四边形的外角和为 是解题的关键．
先利用四边形的外角和为 的性质，再求出 对应的外角，最后用外角和减去 的外角，得到
的和．
【详解】解： ，
的外角为 ，
．
7．
【答案】
【分析】本题主要考查了多边形外角和公式和平行线的性质，准确计算是解题的关键．
根据多边形的外角和等于 ，即可得到 的度数，进而得出 的度数，再根据平行线的性质进行
解答即可．
【详解】解：如图，由多边形的外角和等于 可知， ，
又 ，
，
，
又 ，
．
题型三 多边形内角和与外角和综合
1．【答案】5
2．【答案】6
3．【答案】
4．
【答案】这个多边形的边数是7，总对角线条数是14
【分析】本题考查了多边形的内角和公式、外角和定理及对角线条数公式，掌握多边形内角和公式
、外角和为 、对角线条数公式 是解题的关键．
先利用多边形外角和为 的定理，结合内角和公式 ，根据内角和是外角和的 倍少 列
方程求边数；再用多边形对角线条数公式计算总对角线条数．
【详解】解：设这个多边形的边数为 ．
由题意，得 ，
解得 ，即这个多边形的边数为 ．
总对角线条数为 ．
5．
【答案】（1）6；（2）该多边形的边数为9；（3）4【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理，熟知多边形内角和公式是解题的关键．
（1）设这个多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为 ，再根据多边形的外角和为 建
立方程求解即可；
（2）设这个多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为 ，再根据多边形的外角和为 建
立方程求解即可；
（3）这个n边形的内角和为 ，外角和为 ，据此建立方程求解即可．
【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n，
由题意得， ，
解得 ，
故答案为：6．
（2）设这个多边形的边数为n，
根据题意得：
解得 ．
∴该多边形的边数为9．
（3）这个n边形的内角和为 ，外角和为 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：4．
6．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了正多边形的内角问题．
（1）设内角度数为 ，根据题意列出方程求解即可；
（2）先求外角，再求边数，最后利用内角和公式计算．
【详解】（1）解：设这个正多边形的一个内角的度数为 ，
∵内角与相邻外角之和为 ，∴相邻外角为 ，
根据题意， ，
解得： ，
∴这个正多边形一个内角的度数为 ；
（2）解：每个外角为 ，
∵正多边形的外角和为 ，
∴边数 ，
内角和为 ，
∴这个正多边形的内角和为 ．
题型四 平面镶嵌问题
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】2或4/4或2
4．【答案】 /120度
5．【答案】③
6．【答案】
7．【答案】 6 /24度
题型一 内角和与外角和在几何图形中的运用
1．【答案】
2．
【答案】（1）①见解析；② ；（2）3；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，多边形的内角和定理，难度大，
解题的关键在于面积的转化．
（1）①延长 至点 ，使得 ，而O为 中点，则点E与点C重合，连接 即可；②先证明
，再证明 ，即可得到 ；（2）取 得中点记为点N，连接 ，则由上可得 ，由于 ，因此当点H与点N重
合时， 最大，且为3；
（3）解：过点A作 于点F，连接 ，取 中点 ，过点E作 于点Q，可得 为
等腰直角三角形， ， ，则 ，证明
，则 ， ，导角证明 ，而
，由于 ，当 最大
时， 最小，由上知： ，则 ，即可求解．
【详解】（1）解：①如图， 即为所作：
②∵ 为斜边 的中点，
∴ ，
由作图可得 ，而 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ；
（2）解：取 得中点记为点N，连接 ，
∵ ，
∴由上可得 ，
∵ ，
∴当点H与点N重合时， 最大，且为3；
（3）解：过点A作 于点F，连接 ，取 中点 ，过点E作 于点Q，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形， ， ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，五边形 内角和为
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 最大时， 最小，
由上知： ，
∴ ，
∴ ．
