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专题 6.19 多边形的内角和与外角和（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．下列长度的三条线段与长度为4的线段首尾依次相连能组成四边形的是（ ）．
A．1，1，2， B．1，1，1 C．1，2，2 D．1，1，6
2．将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的
边数不可能是
A．5 B．6 C．7 D．8
3．如图，在 ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4， ABC的
周长为23，则 ABD的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
4．如图是边长为1的正方形网格，A、B、C、D均为格点，则四边形的面积为( )
A．7 B．10 C． D．8
5．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
6．从7边形的一个顶点作对角线，把这个7边形分成三角形的个数是（ ）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
7．已知一个多边形的内角和等于900º，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
8．如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1的大小是
（ ）A． B． C． D．
9．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数
为（ ）
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
10．如图三角形纸片，剪去 角后，得到一个四边形，则 （ ）
A． B． C． D．
11．如图，多边形ABCDEFG中， ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图的七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点，若图中∠1，∠2，
∠3，∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？( )
A．40° B．45° C．50° D．60°13．一个正多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
14．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是【 】
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
15．小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可能是（
）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
二、填空题
16．如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为
，则点C的坐标为________．
17．一个四边形剪去一三角形后余下的多边形为 ___________ 边形
18．一个正多边形的周长是18．每个外角都是60°，则这个正多边形的边长是_________．
19．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 的面积与
的面积大小关系为： _____ （填“＞”“＝”或“＜”），
20．从一个多边形的一个顶点出发一共有7条对角线，则这个多边形的边数为_____．
21．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形
是________边形．
22．若n边形的内角和是它的外角和的2倍，则n=_______．
23．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则 等于_______度．24．把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，则原来这个多边形的边
数为_______．
25．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______．
26．下图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋
∠5＝____.
27．已知一个凸多边形的每个内角都是150°，则它的边数为____________．
28．若一个正多边形的每一个外角都是40°，则这个正多边形的内角和等于_____．
29．用“筝形”和“镖形”两种不同的瓷砖铺设成如图所示的地面，则“筝形”瓷砖中的
内角 ______°．
三、解答题
30．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA．
(1)求证：BE∥DF；
(2)若∠ABC＝56°，求∠ADF的大小．31．如图所示，求 的度数.
32．如图所示，已知FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD=150°，∠B=∠C，求∠EDF的大
小．
33．如图，在五边形ABCDE中，AP平分 ，BP平分 ．（1）五边形ABCDE的内角和为 度；
（2）若 ， ， ，求 的度数．
34．如图，已知在方格中有四块格点三角形图形（如图1）.请用标有序号的四块图形拼图：
（1）在图甲中拼成一个周长为整数的四边形；（2）在图乙中拼成一个周长为无理数的四
边形（ 注意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格顶点上）.
图1 图甲 图乙
参考答案
1．C【分析】
将每个选项中的四条线段进行比较，任意三条线段的和都需大于另一条线段的长度，由此
可组成四边形，据此解答．
【详解】
解：A、因为1+1+2=4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
B、因为1+1+1<4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
C、因为1+2+2>4，所以能构成四边形，故该项符合题意；
D、因为1+1+4=6，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
故选：C．
【点拨】此题考查了多边形的构成特点：任意几条边的和大于另一条边长，正确理解多边
形的构成特点是解题的关键．
2．D
【分析】
根据一个 边形剪去一个角后，剩下的形状可能是 边形或 边形或 边形即可得
出答案．
【详解】
如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．
故选： ．
【点拨】本题考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了
一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条领边，边数增加．
3．B
【分析】
由垂直平分线的性质和三角形周长的意义可得解答．
【详解】
解：由DE为AC的垂直平分线可得：AC=2EC=8，AD=DC，
∴△ ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC，∵△ ABC的周长为23，即AB+BC+AC=23，
∴AB+BC=23-AC=23-8=15，即△ ABD的周长为15，
故选B ．
【点拨】本题考查垂直平分线与三角形周长的综合应用，灵活运用垂直平分线的性质是解
题关键．
4．A
【分析】
利用分割法即可解决问题.
【详解】
解：S ＝3×4﹣ ×2×1×2﹣ ×1×3×2＝12﹣5＝7，
四边形ABCD
故选A．
【点拨】本题考查了四边形的面积和网格问题，利用图形得出各边长度是解题关键．
5．C
【详解】
解：根据题意，得：（n﹣2）•180=360°×2+180°，解得：n=7．
则这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为 =14，故选C．
6．C
【分析】
可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n−3，可分成（n−2）个三角形直接判
断．
【详解】
解：从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n−2）,
∴7边形的一个顶点可以作4条对角线，把这个7边形分成 个三角形；
故选：C．
【点拨】多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n−3）条，经过多边
形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n−2）个三角形．
7．C
【详解】
试题分析：多边形的内角和公式为（n－2）×180°，根据题意可得：（n－2）×180°=900°，
解得：n=7．考点：多边形的内角和定理．
8．C
【分析】
的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得
角的度数即可得出结果．
【详解】
解： 正五边形的内角的度数是 ，
又 正方形的内角是 ，
；
故选C．
【点拨】本题考查了多边形的内角和定理、正方形的性质，求得正五边形的内角的度数是
关键．
9．D
【详解】
试题分析：根据内角和为720°可得：多边形的边数为六边形，则原多边形的边数为5或6
或7.
考点：多边形的内角和
10．C
【分析】
三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即
可求得∠1+∠2的度数．
【详解】
解：根据三角形的内角和定理得：
四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°-60°=120°，
则根据四边形的内角和定理得：
∠1+∠2=360°-120°=240°．
故选：C．
【点拨】本题主要考查四边形的内角和，解题的关键是掌握四边形的内角和为360°及三角
形的内角和为180°．
11．B
【分析】连接CD，设AD与BC交于点O，根据多边形的内角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋
∠EDC＋∠GCD，根据各角的关系即可求出∠ODC＋∠OCD，然后根据对顶角的相等和三
角形的内角和定义即可求出结论．
【详解】
解：连接CD，设AD与BC交于点O
∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°， ，
，
∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540°
∴∠ODC＋∠OCD=72°
∵∠AOB=∠COD
∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72°
故选B．
【点拨】此题考查的是多边形的内角和公式和对顶角的性质，掌握多边形的内角和公式和
对顶角相等是解决此题的关键．
12．A
【分析】
根据外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形
OAGFE的内角和，则可求得∠BOD．
【详解】
解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋220°＝4×180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝500°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，
故答案为A.
【点拨】本题主要考查的是多边形内角与外角的知识点，熟练掌握多边形内角与外角的关系是本题的解题关键.
13．D
【分析】
根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷30°，计算即可求解．
【详解】
这个正多边形的边数：360°÷30°=12，
故选D．
【点拨】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解
题的关键．
14．A
【详解】
多边形的内角和外角性质．
【分析】设此多边形是n边形，
∵多边形的外角和为360°，内角和为（n－2）180°，
∴（n－2）180=360，解得：n=4．
∴这个多边形是四边形．故选A．
15．C
【分析】
平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角
能否构成周角，若能构成360，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能.
【详解】
解：因为用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌
成一个平面图案，
所以小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是正五
边形.
故选C
【点拨】用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌
成一个平面图案.
16．
【分析】过点C作 交AD于点H，由题意易得OH=HD=1， ，根
据勾股定理得到 ，故问题得解．
【详解】
过点C作 交AD于点H，由题意得：
六边形ABCDEF是正六边形，且中心与坐标原点重合，A点的坐标为
OA=OD=2，四边形OGCH是矩形，
GC=OH=BG= BC，HD= CD， OH=HD=1，
C ．
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查正多边形的性质、勾股定理及求点的坐标，关键是根据正多边形的
性质得到线段的等量关系，然后转化为点的坐标．
17．三、四、五
【详解】
如图可知，一个四边形截去一个三角形后变成三角形或四边形或五边形，
故答案为三、四、五.
18．3【分析】
利用多边形外角和为 ，即可求出边数，即而可以求出边长．
【详解】
根据题意可知该正多边形的边数 ，
所以其边长 ．
故答案为：3．
【点拨】本题考查正多边形的外角和问题，掌握正多边形的外角和为 是解答本题的关
键．
19．=
【分析】
分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．
【详解】
解：∵ ，
，
∴ ，
故答案为：=．
【点拨】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．
20．10
【详解】
试题解析：∵多边形从一个顶点出发可引出7条对角线，
∴n﹣3=7，
解得n=10．
故答案为10．
21．七
【分析】
根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可组成n-2个三角形，依此可得n的
值，再由多边形的内角和为：（n-2）×180°，可求出其内角和．
【详解】
解：由题意得，n-2=5，
解得：n=7，故答案为：七．
【点拨】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计
算边数时，需利用方程思想，解方程求n．
22．6
【详解】
此题涉及多边形内角和和外角和定理
多边形内角和=180（n-2）, 外角和=360º
所以，由题意可得180(n-2)=2×360º
解得：n=6
23．30
【分析】
先证出内部的图形是正六边形，求出内部小正六边形的内角，即可得到∠ACB的度数，根
据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】
解：由题意六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成，
可得BD=AC，BC=AF，
∴CD=CF，
同理可证小六边形其他的边也相等，即里面的小六边形也是正六边形，
∴∠1= ，
∴∠2=180°-120°=60°，
∴∠ABC=30°，
故答案为：30．
【点拨】本题考查正多边形的证明、多边形的内角和以及三角形的内角和，熟练掌握多边
形内角和的计算是解题的关键．
24．9或10或11
【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去
一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．
【详解】
解：设多边形截去一个角的边数为n，
则（n-2）•180°=1440°，
解得n=10，
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原多边形的边数是9或10或11．
故答案为：9或10或11．
【点拨】本题考查了多边形的内角和公式，关键是理解多边形截去一个角后边数有增加
1，不变，减少1三种情况．
25．：270°
【分析】
先根据三角形内角和定理算出∠3+∠4的度数，再根据四边形内角和为360°，计算出
∠1+∠2的度数．
【详解】
∵在直角三角形中，
∴∠5=90°，
∴∠3+∠4=180°−90°=90°，
∵∠3+∠4+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°−90°=270°，
故答案是：270°．
【点拨】本题主要考查三角形内角和定理以及四边形内角和定理，掌握四边形内角和为
360°，是解题的关键．
26．360°
【详解】
试题分析：根据多边形的外角和为360°，可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.
考点：多边形的外角和27．12
【分析】
先求出对应的外角，再根据多边形的外角和求出多边形的边数即可．
【详解】
解：∵一个凸多边形的每个内角都是150°，
∴对应的外角度数为180°-150°=30°，
∴多边形的边数是
故答案为：12．
【点拨】本题考查了多边形的内角和和外角和定理，能熟记多边形的外角和等于360°是解
此题的关键．
28．1260°
【详解】
∵一个多边形的每个外角都等于40°，
∴多边形的边数为360°÷40°=9，
∴这个多边形的内角和=180°×（9-2）=1260°
29．144
【分析】
根据多边的内角和定理，求出内角和，进而求出另一个内角的度数．
【详解】
解：如图，5个筝形组成一个正10边形，
所以，∠BCD=（10-2）×180°÷10=8×18°=144°．
故答案为：144．
【点拨】此题不仅考查了镶嵌的定义，还考查了正多边形的内角和定理，充分利用各图形
的性质是解题的关键．
30．(1)证明见解析；(2)∠ADF＝62°.
【分析】
（1）根据四边形的内角和定理和∠A＝∠C＝90°，得∠ABC+∠ADC＝180°；根据角平分
线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两
条直线平行；
（2）根据四边形的内角和和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】(1)证明：∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1＝∠2＝ ∠ABC，∠3＝∠4＝ ∠ADC，
∴∠1+∠3＝ (∠ABC+∠ADC)＝ ×180°＝90°，
又∠1+∠AEB＝90°，
∴∠3＝∠AEB，
∴BE∥DF；
(2)解：∵∠ABC＝56°，
∴∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC＝124°，
∵DF平分∠CDA，
∴∠ADF＝ ∠ADC＝62°．
【点拨】本题考查了平行线的判定，角平分线定义，三角形的内角和定理，四边形的内角
和定理的应用，熟练掌握基础知识并正确运用是解题的关键．
31． .
【分析】
首先利用三角新的外角的性质，然后根据多边形的外角和定理即可求解．
【详解】
解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，
又∵∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
【点拨】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和是360°，理解定理是关键．
32．∠EDF的大小为60°．
【分析】
根据三角形内角和定理以及四边形内角和定理即可求出答案．【详解】
解：∵∠AFD=∠C+∠FDC，∠FDC=90°，∠AFD=150°，
∴∠C=60°，
∵∠B=∠C，
∴∠A=60°，
∵∠A+∠AED+∠EDF+∠AFD=360°，
∴∠EDF=60°．
故∠EDF的大小为60°．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，四边形内角和定理，解题的关键是熟练三角形
内角和定理，本题属于基础题型．
33．（1）540；（2）65°
【分析】
（1）根据多边形内角和公式计算即可；
（2）用内角和减去 ， ， 得到 ， 的和，再根据角
平分线的性质、三角形的内角和即可计算．
【详解】
解：（1）五边形ABCDE的内角和为 ，
（2）∵在五边形ABCDE中， ，
， ，
∴ ，
∵AP平分 ，BP平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了多边形的内角和计算，根据角平分线性质和三角形内角和定理计算角
的度数；掌握相关的基础知识是本题的关键．
34．图形见解析
【详解】图甲 图 乙
