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第 04 讲 多边形的内角和与外角和(7 类热点题型讲练)
1．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式；(重点)
2．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题．(难点)
知识点01 多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个
角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
凹多边形
凸多边形
3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个
多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；n(n3)
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 2 ；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
知识点02 多边形内角和
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
(n2) 180°
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于 n ；
知识点03 多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外
角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
360°
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 n ；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等
外角的度数．
题型01 多边形内角和问题
【例题】（2024·辽宁·模拟预测）一个八边形的内角和是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·上海·阶段练习）一个多边形的内角和是 ，则这个多边形是 边形．
2．（2024·河北邯郸·一模）已知一个正 边形的内角和与外角和的差为 ，则 ．
题型02 多边形对角线的条数问题
【例题】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）从十边形的一个顶点画这个多边形的对角线，最多可画
条．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）六边形的内角和为 ，外角和为 ，它共有 条
对角线．
2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b
个三角形，则 ．
题型03 多边形截角后的边数问题
【例题】（22-23八年级上·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ．
【变式训练】
1．（21-22八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则
原来的多边形边数为 ．
2．（22-23八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一个多边形的外角和是内角和的 ，若这个多边形截去一个角
后，则所形成的多边形是 边形．
题型04 多边形截角后的内角和问题
【例题】（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到
的多边形的内角和是（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
【变式训练】
1．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）小明将一个五边形用剪刀沿直线剪去一个角，将这个五边形分
成两个多边形，那么关于这两个多边形所有的内角的和与原五边形的内角和相比，下列说法中不可能的是
（ ）
A．减少180° B．不变 C．增加180° D．增加360°
2．（22-23八年级下·浙江·单元测试）一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（ ）
A．增加 B．减少
C．不变 D．不变或增加 或减少
题型05 多边形外角和的实际应用
【例题】（22-23八年级下·浙江杭州·期末）如图， 是五边形 的外角，且
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如
果 ， ，那么 的度数等于（ ）A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，七边形 中， 的延长线相交于点O，
若图中 的和为 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型06 多边形内角和与外角和综合
【例题】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形 中，
(1)若 ，请求 的度数；
(2)试求出 及五边形外角和的度数．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，
继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．(1)如图1， 与 ， 之间的数量关系为______．若 ， ，则 ______．
(2)如图2， 是四边形ABCD的外角，求证： ．
(3)若n边形的一个外角为 ，与其不相邻的内角之和为 ，则x，y与n的数量关系是______．
2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）【题目】如图①：根据图形填空：
（1） ， ；
（2） ______ ；
【应用】
（3）如图②．求 的度数；
【拓展】
（4）如图③，若 ，则 的大小为 度．
题型07 平面镶嵌
【例题】（2023·山东青岛·模拟预测）如图是一种特殊的五边形 ，3个这样的五边形可以密铺拼成
一个正六边形．若 ，则 ．【变式训练】
1．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）如图所示，是工人师傅用边长均为a的一块正六边形和一块正方
形地砖绕着点B进行的铺设，若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在 处，
则这块正多边形地砖的边数是 ．
2．（23-24八年级上·山东烟台·期末）小颖家买了新楼，她想在边长相同的①正三角形、②正方形、③正
五边形、④正六边形四种瓷砖中，选择一些瓷砖进行地面的镶嵌（彼此之间不留空隙、不重叠）．
(1)她想选用两种瓷砖，若已选用正三角形瓷砖，则可以再选择的是______瓷砖（填写序号）；
(2)她发现仅用正五边形瓷砖不能镶嵌地面，若将三块相同的正五边形瓷砖按如图所示放置，求 的度数．
一、单选题
1．（2024·北京东城·一模）正八边形每个内角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）
边形
A．六 B．五 C．四 D．三3．（23-24七年级下·全国·课后作业）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为 ，那么这个多
边形的一个外角的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北保定·一模）如图，将五边形 沿虚线裁去一个角，得到六边形 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．外角和减少 B．外角和增加 C．内角和减少 D．
内角和增加
5．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，在四边形 中， 的角平分线与 的外角平分
线相交于点P，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2024·广东潮州·一模）图（1）是一张六角発，其俯视图为正六边形[图（2）]，则该六边形的每个内
角为 ．
7．（2024·陕西咸阳·二模）已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为 ，那么从这个正多边形的
一个顶点出发，可以作 条对角线．
8．（2024·陕西榆林·二模）某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形（四个尖角的度数相同）
铺成的无缝隙，不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角 的度数为
°．9．（2024·广东江门·模拟预测）春节期间，小宇去表哥家拜年，好学的他发现在表哥新装修的房子里，钢
琴房的背景墙上有用岩板作的几何图案造型．如图，这个图案是由正六边形 、正方形 及
拼成的（不重叠，无缝隙），则 的度数是 ．
10．（2024·河北邢台·一模）如图，在正六边形 中，P、Q点分别是 、 的中点，点M从点
P出发，沿 向终点Q运动，在运动过程中，若
（1）点M在边 上；
（2）若 ，则 ．
三、解答题
11．（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多 ，求
这个多边形的边数；
（2）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为 ，求这个多边形的边数．
12．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在五边形 中，
．
(1)求 的度数；(2)试说明： ．
13．（23-24八年级上·陕西安康·期中）如图，小东在操场的中心位置，从点 出发，每走 向左转 ，
(1)小东能否走回点 处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由．
(2)小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和．
14．（23-24八年级下·浙江绍兴·阶段练习）已知：如图，四边形 中， ，
平分 ，交 于点E， ，交 于点F．
(1)求 的度数；
(2)写出图中与 相等的角并说明理由．
15．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化为熟悉的问题，把复杂的问题转化为简单的
问题，把抽象的问题转化为具体的问题．(1)请你根据已经学过的知识求出下面星形图①中 的度数；
(2)若将图①中的星形截去一个角，如图②，请你求出 的度数；
(3)若再将图②中的星形进一步截去角，你能由题(2)中所得的方法或规律，猜想出图③中的
的度数吗？(只要写出结论，不需要写出解题过程)
16．（23-24八年级下·湖北武汉·开学考试）在四边形 中，O在其内部，满足 ，
．
(1)如图1，当 时，如果 ，直接写出 的度数______；
(2)当 时，M、N分别在 、 的延长线上， 下方一点P，满足 ，
，
①如图2，判断 与 之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，延长线段 、 交于点Q， 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出
的度数为______．
