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第 03 讲 三角形的中位线
课程标准 学习目标
1．掌握中位线的定义以及中位线定理；(重点)
①三角形的中位线
2．综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题．(难点)
知识点01 三角形的中位线定理
（1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）
（2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点 D、E分
别为AB、AC的中点， .
【即学即练1】1．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ．若点 ， 分别是边 ， 的中点，则 的长是 ．
【答案】4
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质，连接 ，根据等腰三角形的
性质、三角形内角和定理求出 ，结合图形求出 ，根据勾股定理求出 ，根据三角形
中位线定理计算，得到答案．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，
， ，
，
，
，
点 ， 分别是边 ， 的中点，
，
故答案为：4．
2．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，已知 中， ， 平分 ， ，
垂足为 ，点 为 的中点，连接 ，则 的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理的应用、与三角形中位线有关的求解问题、全等的性质和ASA（AAS）综合
（ASA或者AAS）【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，中位线的性质与判定，根据已
知条件证明 ，得出 ， ，进而根据三角形内角和定理得出
，证明 是 的中位线，得出 ，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
又∵
∴
∴ ，
∵
∴
∴
∵点 为 的中点，
∴
∴
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在 中，点 、 分别是 、 的中点，连接 ，
过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求证： ．
(2)直接写出 与 的数量关系．
(3)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，中位线的判定和性质，理解题意，
综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据中位线的判定和性质得出 ，结合平行四边形的判定和性质即可证明；（2）由（1）得 是 的中位线，四边形 为平行四边形，即可求解；
（3）结合中位线的判定和性质得出 ，再由题意确定 ，结合勾股定理及平行四边
形的性质即可求解．
【详解】（1）证明： 点 、 分别是 、 的中点，
是 的中位线，
，
又 ，
四边形 为平行四边形，
；
（2）解：由（1）得 是 的中位线，四边形 为平行四边形，
∴ ；
（3）解：由（1）得 是 的中位线，
∴ ， ，
，
点 是 的中点，
，
∵ ， ，
，
在 中，根据勾股定理， ，
，
由（1）得四边形 为平行四边形，
．
题型01 与三角形中位线有关的求解问题例题：（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图， 是 的中位线， 平分 交 于D，
，则 的长度为 ．
【答案】6
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌
握这些基本知识．
根据三角形中位线定理得到 ，根据平行线的性质和角平分线的定义可得
，从而证明 ，计算即可．
【详解】解：∵ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：6
【变式训练】
1．（24-25八年级下·广西河池·期中）已知 、 分别是 的边 ， 的中点，连接 ，若 ，
则 的长为 ．
【答案】3
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解
题的关键．
根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵ 、 分别是 的边 ， 的中点，∴ 是 的中位线，
∵
∴ ，
故答案为：3．
2．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点 ，点 是 的中
点，连接 ，取 的中点 ，连接 ，若 ，则 等于 ．
【答案】4
【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线，熟练掌握平行四边形的性质及三角形中位线是
解题的关键；由题意易得点O为 的中点， ，然后根据三角形的中位线可进行求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即点O为 的中点，
∵点 是 的中点， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ；
故答案为4．
3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图， 的对角线 相交于点 ，点 分别是线段
的中点，若 ， 的周长是 ，则 ．【答案】5
【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．根
据平行四边形的性质得到 ， ，求出 的值，由 的周长求出
，根据三角形中位线的性质求出 的长．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 的周长是 ，
∴ ，
∴ ，
∵点 分别是线段 的中点，
∴ ，
故答案为：5．
题型02 三角形中位线与三角形面积问题
例题：（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图， 的面积是10，点D，E，F，G分别是 ， ，
， 的中点，则 的面积是 ．
【答案】
【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题主要考查了三角形的面积，与三角形中线、中位线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
根据中线的性质，可得 ，同理 ， ，根据三角形中位线的性质
可得 ，即可得到 的面积．【详解】解：∵点 是 的中点，
∴ ，
又∵点 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ 、 是 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图， 中， ， ，取BC边中点E，作
， ，得到四边形 ，它的面积记作 ；取BE中点 ，作 ， ，
得到四边形 ，它的面积记作 ，照此规律作下去，则 ．
【答案】
【知识点】图形类规律探索、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质，探究规律．根据三角形中位线定理可求
出 的值，进而可得出 的值，找出规律即可得出 的值．
【详解】解：由题意得 ．
∵E为 的中点， ，
是 的中位线，
，
，
同理 ．．
∵取 中点 ，作 ， ，得到四边形 ，
∴ ，
，
同理可得 ，
，
∴ ．
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图， 中， ， ， 的角平分线
于 ， 为 的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ．
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题、垂线段最短、角平分线的性质定
理
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影部分面积之差
，当 时， 的面积最大．
【详解】解：延长 相交于点H，设 交 于点O．∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∴当 时， 的面积最大，最大面积为 ．
故答案为：2．
3．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，C是线段 上一点，分别以 为边向上作等边三
角形 ，连结 ，顺次连接 中点F、G、H、M得四边形 ，若
，则四边形 面积 ．
【答案】【知识点】等边三角形的性质、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了等边三角形的面积，三角形中位线定理，勾股定理等知识，连接 ，过点 作
交 于点 ，交 于 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，过点
作 于点 ，先求出四边形 的面积，再根据三角形中位线定理求出
，从而得到 ，即可求解，掌握相关知识是
解题的关键．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 交 于点 ，交 于 ，过点 作 交
于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ 为等边三角形， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等边三角形， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，且 ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
∴ ∴
，
故答案为： ．
题型03 三角形中位线的实际应用
例题：（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取 的中点C，
的中点D，测得 ，则A、B两点间的距离是 ．
【答案】8
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题主要考查了三角形中位线的定义和性质，由点C，点D分别是 和 的中点可得出即可得出答案．
【详解】解：∵点C，点D分别是 和 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，小亮利用刻度直尺（单位： ）测量三角形纸片的尺寸．点 ，
分别对应刻度尺上的刻度2和8．若点 和点 分别为 、 的中点，则 的长为 cm．
【答案】3
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题主要考查了三角形的中位线，掌握三角形的中位线等于底边的一半成为解题的关键．
由题意可得： ，再说明 是 的中位线，然后根据中位线的性质求解即可．
【详解】解：由题意可得： ，
∵点 和点 分别为 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故答案为：3．
2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，地面上A、B两处被池塘隔开，小明想测量A、B两处的距离．
他是这样做的：在岸边选一点C，并分别连接 和 后再取它们的中点D、E，然后测得 米，则
A、B两处的距离是 米．
【答案】10
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了中位线的判定与性质，根据中位线的定义，且结合点D、E分别是 和 的中点，
得 是 的中位线，则 ，代入数值计算，即可作答．【详解】解：∵点D、E分别是 和 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故答案为：10
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个 ，
跷跷板中间的支撑杆 垂直于地面（ 分别为 的中点），若 ，则点 距离地面的
高度 为 ．
【答案】80
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据题意可得 为 的中位线，则 ．
【详解】解：∵ 分别为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∵ ，
∴ ，
∴点 距离地面的高度 为 ，
故答案为：80．
题型04 与三角形中位线有关的证明
例题：（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图， 中，点D、E分别为 、 的中点，延长 到
点F，使得 ，连接 ，求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的证明【分析】本题主要考查全等三角形判定，三角形中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．
（1）根据点 是 的中点，可得 ，由“边角边”即可求证；
（2）先根据点D、E分别为 、 的中点，证明 是 的中位线，再根据中位线性质，
，由此即可求解．
【详解】（1）证明： 点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
；
（2）解： 点 ， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
∴ ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知 的中线 、 相交于点 ， 、 分别为 、
的中点．
(1)求证： 和 互相平分；
(2)若 ， ， ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)16
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、通过对完全平方公式变形求值、
用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌
握三角形的中位线定理是解题关键．
（1）先根据三角形的中位线定理可得 ， ， ， ，再证出四边形
是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证；（2）先求出 ，再利用勾股定理可得 ，然后利用完全平方公式变形求值可
得 的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 是 的中线，点 是 的中点，
∴ ， ，
同理可得： ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ 和 互相平分．
（2）解：由（1）已证： 和 互相平分，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
2．（2025·江西·模拟预测）【课本再现】
（1）如图1，线段 ， 相交于点 ， ， ．求证：
① ；
② ；
【迁移应用】
（2）如图2，在四边形 中， ， ， 分别是边 ， 的中点，连接 ，猜想
， ， 三条线段的数量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） ，证明见解析
【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、与三角形中位线有关的证明、全等的性质和SAS综合
（SAS）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理：
（1）①证明 ，即可得出结论；
②由 得 ，再由平行线的判定即可证明；
（2）连接 ，取 的中点 ，连接 ，利用三角形的中位线定理，结合勾股定理即可得出结论．
【详解】解：（1）① ， ， ，
，
；
②由①知， ，
，
；
（2） ，证明如下：
连接 ，取 的中点 ，连接 ，
∵ ， 分别是边 ， 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图1，在 中， ，点D，E分别在边
上，且 ．连接 ，点M，N，P分别为 的中点．【猜想证明】
（1）观察图1，试判断 的形状并证明你的结论．
【变式探究】
（2）将图1中的 绕点A逆时针方向旋转到图2位置，其他条件不变，判断此时 的形状并证明
你的结论．
【拓展应用】
（3）将图1中 绕点A自由旋转，其他条件不变，直接写出旋转过程中 面积的最大值．
【答案】（1）等腰直角三角形，见解析；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）12.5
【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、根
据旋转的性质求解
【分析】本题考查三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质：
（1）根据线段的和差关系得到 ，三角形的中位线定理得到
，推出 ，即可得出结论；
（2）连接 ，证明 ，得到 ，推出 ，再根据三角形的中位线定理推
出 ，即可得出结论；
（3）根据 是等腰直角三角形，得到 ，根据 ，得到 最大时，
最大，此时 的面积最大，进行求解即可．
【详解】解：（1） 是等腰直角三角形，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵点M，N，P分别为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ 是等腰直角三角形；
（2） 是等腰直角三角形，理由如下：
连接 ，延长 交 于点 ，交 于点 ，
∵旋转，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点M，N，P分别为 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形；
（3）由（2）知： 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴当 最大时， 的面积最大，
∴当 最大时， 最大， 的面积最大，
∵ ，
∴ 的最大值为10，
∴ 的最大值为5，
∴ 面积的最大值为： ．
题型05 平行四边形与中位线综合问题
例题：（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在 中，对角线 与 相交于点 ， ，点 ， ， 分别为 的中点，连结 ．
(1)求证： ．
(2)求证：四边形 为平行四边形．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌
握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得出 ，再利用等腰三角形的三线合一即可得出结论；
（2）利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质得出 且 ，再根据中点的性质得出
且 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ 中， ， ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ；
（2）解：∵点 、 是 、 的中点，
∴ 且 ，
∵ 中， ，
∴ 且 ，
∵点 是 的中点，
∴ 且 ，
∴四边形 为平行四边形．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在 中，E为边 上一点， 、 分别平分 、
．(1)求证：E为 的中点；
(2)如果点F为 的中点，联结 交 于点G．写出 与 满足的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2) ，理由见解析．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、根据等角对
等边证明边相等、与三角形中位线有关的证明
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定， 三角形中位线的性质，全等三角形的判定及
性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）如图，由 得到 ， ， 即 ，又由角平分线得到 ，从而
，即可得到 ．同理得 ，即可得证 ；
（2）取 的中点H，联结 ．根据中位线的性质得到 ， ，从而推出 ，即
可证明 ，得到 ，进而推出 ．
【详解】（1）证明：如图，
∵四边形 是平行四边形，
， ，
．
平分 ，
，
，
．
同理得 ．
，
，即E为 的中点．
（2）解： ．
取 的中点H，联结 ．、H分别是 、 的中点，
是 的中位线，
∴ ， ．
是CD中点，
，
，
．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵点H是 的中点，
∴ ，
∴ ．
2．（24-25八年级下·浙江湖州·期中）在 中， 分别是边 的中点，延长 到
点D，使 ，连结 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)连结 ，交 于点O，若 ，求 的长．【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的证明、利用二次根式的性质化简、用
勾股定理解三角形
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形中位线的性
质和平行四边形的性质是解题的关键．
（1）利用三角形中位线的性质得 ，进而可得 ， ，即可求证；
（2）由 可得 ， ，利用勾股定理得 ，再根据平行四边形
的性质得 ， ，利用勾股定理求出 即可求解；
【详解】（1）证明： 分别为 的中点，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： ，
，
在 中， ，
在平行四边形 中， ，
在 中， ，
．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图， 的对角线 相交于点O， 平分 ，分别
交 于点 ．(1)试说明 是等腰三角形；
(2)连接 ，若 ， ．
①求线段 的长；
②求 的面积．
【答案】(1)理由见解析
(2)①1；②
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质、与三角形
中位线有关的证明
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练
掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，由 平分 ，可得 ，再由四边形 是平行四边形，可得
，故 ，从而 ，则 ，故可判断得解；
（2）①依据题意，由（1） ，结合 ，则 ，从而 ，又四边形 是
平行四边形，可得 ，进而 是 的中位线，故可判断得解；
②由（1） 是等腰三角形，又 ，从而 是等边三角形，可得
，结合 ，可得 边上的高，又 是 的
中位线，则 ，故 的 边上的高 的 边上的高，进而计算可以得解．
【详解】（1）
解：（1） 平分 ，
，
∵四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）①由题意，
由（1） ，
又 ，
∴ ，
，
∵四边形 是平行四边形，
，
是 的中位线，
，
②由（1） 是等腰三角形，
又 ，
是等边三角形，
，
又 ，
边上的高 ，
是 的中位线，
，
∴ 的 边上的高 的 边上的高 ，
又 ， ．
一、单选题
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， 分别是边 的中点，
，则 的度数等于（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和性质，中位线的判定与性质，先运用三角形内角和列式计算得 ，
再结合 分别是边 的中点，证明 是 的中位线，所以 ，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 分别是边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．（24-25八年级下·重庆·期中）如图， 是 的中位线， 的角平分线交 于点 ，
， ，则 的长为（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】C
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，掌握三角形中位线定
理是解题的关键．
由中位线的性质定理得 ， ，且 ，由平行线的性质结合角平分线可得
，则可求得 的长．
【详解】 是 的中位线， ， ，
， ，
∴ ，，
是 的平分线，
，
，
，
．
故选：C．
3．（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，在 中，以点 为圆心，适当长为半径画弧，交
于点 ，交 于点 ，分别以点 、 为圆心，大于 为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 交
于点 ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，若 ，则四边形 的周长是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题主要考查了作图−基本作图，角平分线的定义，等角对等边，平行四边形的性质，先由作图
知 平分 ，然后利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定证出 ，再由中位线的性质和
平行四边形的性质可得 ，进而根据已知 得出 ，进而求得平行四边形
的周长．
【详解】解：由作图知 平分 ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴
∵
∴
∴平行四边形 的周长 ，故选：D．
4．（24-25八年级下·天津·期中）如图，在四边形 中， ， ， ， ， 分别
为 ， 的中点，则 为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．14
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，取 的中点 ，连接 、 ，根据三角
形中位线定理得到 ， ， ， ，根据平行线的性质得到
，根据勾股定理计算，得到答案，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是
解题的关键．
【详解】解：如图，取 的中点 连接 、 ，
， 分别为 ， 的中点，
是 的中位线，
， ，
，
同理可得， ，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
5．（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在 中， ， ， ，点H、G分别是边 、 上的动点，连接 、 ，点E为 的中点，点F为 的中点，连接 ，则 的
最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，含30度的直角三角形，勾股定理．连接 ，
过点 作 于点 ,由三角形中位线定理可得 ，即当 时，即点 在 位置时，
有最小值，此时 最小，根据平行四边形的性质和直角三角形的性质，求出 ，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于点 ,
点E为 的中点，点F为 的中点，
是 的中位线，
，
当 时，即点 在 位置时， 有最小值，此时 最小，
在 中， ，
，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题
6．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在 中，E、F分别是 、 的中点．若 ，
则 ．【答案】8
【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题主要考查三角形中位线定理，由条件可知 为 的中位线，可求得 ，结合平行四
边形的性质可得 ，可求得答案．
【详解】解：∵E、F分别是 、 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
又∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
故答案为：8．
7．（24-25八年级下·全国·课后作业）在 中，D、E、F分别是 的中点，则线段 是
的 ，线段 是 的 ．若 ，则 cm；若 ，则
cm； 与 的关系是 ．
【答案】 中线 中位线 5 8 互相平分
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了中线、中位线的性质，解题关键是熟记相关性质，正确填空即可；
按照中线、中位线的定义和性质以及平行四边形的判定与性质填空即可．
【详解】解：在 中，D、E、F分别是 的中点，则线段 是 的中线，线段
是 的中位线，
因为 ，所以 ， ，
线段 是 的中位线，因为 ，
所以， ，
因为 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 与 互相平分，
故答案为：中线，中位线，5，8，互相平分，8．（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在
外取一点C，然后测出 ， 的中点D，E，并测出 的长约为 ，由此估测A，B之间的距离
约 ．
【答案】36
【知识点】三角形中位线的实际应用
【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定
理即可求解．
【详解】解： 点D，E是 ， 的中点，
是 的中位线， ，
．
故答案为：36．
9．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形 中，延长 ，交于点M，延长 ，与
交于点N，若 ， 分别是 的中点，则
．
【答案】 /6.5/
【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，根据三角形的中位线的性质得到 ，
， ， ，根据平行线的性质得到 ， ，求得 ，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了三角形的中位线的性质，平行线的判定和性质，
勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，
∵E、F分别是 的中点，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
10．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在 中，已知 ， ， ，依
次连接 的三边中点，得 ，再依次连接 的三边中点得 ，…，则 的周
长为 ．
【答案】1
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、图形类规律探索
【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理、图形类规律探究，熟练掌握三角形的中位线性质，得到周
长变化规律是解答的关键．由三角形的中位线定理得： 、 、 分别等于 、 、 的
一半， 所以 的周长等于 的周长的一半，以此类推可求出 的周长为 的周
长的 ．
【详解】解：∵依次连接 的三边中点，得到得 ，
∴ 、 、 分别等于 、 、 的一半，
所以 的周长等于 的周长的一半；同理， 、 、 分别等于 、 、 的一半，
所以 的周长等于 的周长的一半，等于 的周长的 ，
同理， 、 、 分别等于 、 、 的一半，
所以 的周长等于 的周长的 ，
∴以此类推： 的周长为 的周长的 ，
∴则 的周长为 ．
故答案为：1．
三、解答题
11．（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，在 中， ， 平分 交
于点 ，点 在 上，连接 ， 为 的中点， ， 交于点 ，连接 ．
(1)若 ，求 的长；
(2)若点 在直线 上，当 时，请画出图形并求出 的长．
【答案】(1)
(2) 的长为 或 ．
【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的判定及其性质，解决本题的关键是根据三角
形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半找到线段的长度之间的关系．
根据等腰三角形的三线合一定理可知点 是 的中点，又因为点 是 的中点，可知 是
的中位线，根据三角形的中位线定理可求 的长度；
根据三角形中位线定理可得：当 时， ，因为点 在直线 上，所以要分点 在线段
；点 在 的延长线上；点 在线段 的延长线上，三种情况进行讨论．
【详解】（1）解： ， ，
，
， 平分 ，
点 是 的中点，又 点 是 的中点，
是 的中位线，
；
（2）解：由 可知 是 的中位线，
，
，
如下图所示，当点 在线段 上时，
则 ；
如下图所示，当点 在线段 的延长线上时，
则 ，
如下图所示，当点 在线段 的延长线上时，
则 ，
此时 的长度不等于 ，
不符合题意；
综上所述， 的长为 或 ．
12．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在 中， ，点 是 边的中点，点 是
边上一点， ，连接 ， ，延长 与 交于点 ，连接 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，点 是 中点，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、用勾股
定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】（1）证明 得 ，再结合 ，即可得证；
（2）根据中位线定理求出 ， ；再根据勾股定理求出 ，最后根据
求解即可．
【详解】（1）证明： 点 是 边的中点，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 点 是 中点，点 是 边的中点，
是 的中位线，
， ，
， ；
，
，
又 ，， ，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，中位线定理，含 的直角三
角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解答本题的关键．
13．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在四边形 中， 是 的中点， 交于点 ，
， ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解决
本题的关键．
（1）根据三角形的中位线定理得到 ，而 ，即可求证；
（2）利用勾股定理求得 ，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到 ，最
后对 运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 是 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
（2）解： ，
，
在 中， ，
， ，
设 ，则 ，
，
解得 ．即 ，
是 的中点， ，，
四边形 为平行四边形，
，
在 中，
由勾股定理得 ．
．
14．（2025八年级下·全国·专题练习）在平行四边形 中，点E在 边上，点F在 边上，连接
、 、 、 ， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，设 交 于点G， 交 于点H，连接 ，若E是 边的中点，在不添加任何辅助线
的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与 全等的所有三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)以 为顶点的三角形且与 全等的三角形有： ， ， ， ，证明见解析．
【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的证明、全等的性质和ASA（AAS）综合
（ASA或者AAS）
【分析】本题考查平行四边形的判定定理和性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形中位线定理，综
合应用这些知识点是解题关键．
（1）根据平行四边形的性质，证明 ，再利用全等三角形的性质即可证明．
（2）根据平行四边形的性质可得 ， ，根据全等三角形的判定定理和性质，
三角形的中位线定理证明四边形 ，四边形 ，四边形 是平行四边形，再利用平行四边形
的中心对称的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ；
（2）解：∵E是 的中点，
∴ ．∵ ，
∴ ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
同理可得： ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，四边形 是平行四边形，四边形 是平行四边形．
由平行四边形的中心对称的性质可得：以 为顶点的三角形且与 全等的三角形有： ，
， ， ．
15．（24-25八年级上·山东济南·期末）我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿着边的
中点翻折，还会发现新的结论．
【实践探究】
（1）在 中，点 为 的中点， 沿着 向上折叠，点 落在 处，连接 并延长交
于点 ．判断四边形 的形状，并说明理由；
【拓展应用】
（2）连接 ，兴趣小组发现 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）
【知识点】勾股定理与折叠问题、与三角形中位线有关的求解问题、含30度角的直角三角形、利用平行四
边形性质和判定证明
【分析】（1）四边形 是平行四边形得到 ，由翻折可证明 是 的中位线，则，即可证明；
（2）过点E作 于点H，则 ， ， ，由
得到 ，则由勾股定理得 ，可得 为等腰直角三角形，则
，继而 ．
【详解】解：（1）四边形 是平行四边形，
理由如下：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点 为 中点，
∴ ，
由翻折得： ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）过点E作 于点H，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
由翻折得： ，
∵ ，
∴ ，
∵点 为 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理， 角直角三角形的性
质，折叠的性质等知识点，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
16．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形 中，点 分别是边
的中点，顺次连接 ，得到的四边形 是平行四边形．此结
论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接 ，
分别为 的中点，
．（依据1）
分别为 的中点，
．
同理：
四边形 是平行四边形．（依据2）
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形 被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁
（Varingnon，Pierte1654∼1722）是法国数学家，力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四
边形关系密切．例如：瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关
系．
任务：
(1)填空：材料中的依据1是：_______．依据2是：_______．
(2)如图2，猜想瓦里尼翁平行四边形 的周长与对角线 长度的关系，并证明你的结论．
(3)请用刻度尺，三角板等工具，画出四边形 的对角线 与 及它的瓦里尼翁平行四边形 ，
且四边形 的对角线 与 的夹角为 ，求瓦里尼翁平行四边形 中 的度数．【答案】(1)三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)瓦里尼翁平行四边形 的周长等于对角线 与 长度之和，证明见解析
(3)图见解析， 的度数为 或
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线
定理是解题关键．
（1）根据三角形的中位线定理、两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得；
（2）根据三角形的中位线定理可得 ， ，由此即可得；
（3）根据题意画出图形（见解析），先根据三角形的中位线定理可得 ， ，再根据平行
线的性质求解即可得．
【详解】（1）证明：如图2，连接 ，
分别为 的中点，
．（三角形的中位线定理）
分别为 的中点，
．
，
同理： ，
四边形 是平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
故答案为：三角形的中位线定理．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）解：瓦里尼翁平行四边形 的周长等于对角线 与 长度之和．证明如下：
分别为 的中点，
∴ ．
分别为 的中点，
∴ ．
∴ ，
同理： ，
∴瓦里尼翁平行四边形 的周长为
．
（3）解：由题意，画出图形如下：①如图1，当 时，
分别为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∴ ；
②如图2，当 时，则 ，
分别为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∴ ；
综上，瓦里尼翁平行四边形 中 的度数为 或 ．
17．（24-25八年级上·山东淄博·期末）【问题初探】
（1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形 中， ，且 ，点E是 的中点，
点F为对角线 上的点，且 ，连接线段 ，若 ，求 的长．
小鹏同学考虑到点E是 的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以
想到连接 ，与 交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题．
【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答．
（2）如图2，在 中， 平分 ，过点A作 延长线的垂线，垂足为点D， ，求证：
．
【学以致用】
（3）如图3，在 中， ，点D在 上， ，点E，F分别是 ， 的中点，连接
并延长，与 的延长线交于点G，连接 ，若 ，求证： ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【知识点】等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA
或者AAS）、利用平行四边形的性质证明
【分析】（1）连接 ，交 于点O，易得 为 的中位线，根据平行四边形的性质，结合勾股
定理求出 的长，即可求出 的长；
（2）延长 交 的延长线于点G，证明 ，得到 ，取 的中点F，连接
，证明 ，得到 ，进而得到 ，即可得证；
（3）连接 ，取 中点H，连接 ，根据三角形的中位线定理，推出 是等边三角形，进
而推出 是等边三角形，得到 ，进而得到 ，等边对等角求出 ，进而推
出 ，即可得证．
【详解】解：（1）连接 ，交 于点O，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；（2）如图，延长 交 的延长线于点G，
∵ 平分 ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
取 的中点F，连接 ，则有 ，且 ，
∴ ，
∵ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）如图，连接 ，取 中点H，连接 ，
∵E，F分别为 和 中点，
∴ 和 分别为 和 的中位线，
∴ 且 ， 且 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰
三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造三角形的中位线，
是解题的关键．
18．（2025·山东烟台·一模）在 中，点 是线段 上一动点，连接 ．将线段 绕点 逆时针
旋转至 ，记旋转角为 ，连接 ．取 的中点为点 ，连接 ．
【问题探究】
（1）如图 ，已知 是等腰直角三角形， ， ， ，延长 至点 ，使
CF=AC，连接 ．请直接写出 与 的数量关系 ， 与 的数量关系 ；
【类比迁移】
（2）如图 ，已知 是等腰三角形， ， ， ．探究线段 与 的数量
关系，并证明你的结论；
【变式拓广】
（3）如图 ，已知在 中， ， ， ， ．延长 至 ，使
，连接 ．在点 的运动过程中，求线段 长度的最小值．【答案】（1） ， ；
（2） ，证明见解析；
（3）线段 长度的最小值为 ．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、与三角形中位线有关的证明、根据
旋转的性质求解
【分析】（1）结合旋转性质推得 ， ，即可利用“边角边”证明 ，
根据全等三角形性质可得 ，再由中位线定理可得 ；
（2）延长 至点 ，使得 CF=AC，连接 ，利用“边角边”证明 ，结合全等三角形
性质和中位线定理即可证得 ；
（3）取 的中点 ，连接 ，作 于 ，利用“边角边”证明 ，根据全等三
角形性质可得 ，即点 在与 成 的定直线上运动，当点 在 处时， 最小，
结合含 的直角三角形特征即可得 ．
【详解】解：（1）依题得： ， ， ，
，CF=AC，
，
，
，
即 ，
，
在 和 中，，
，
，
，CF=AC，
是 的中位线，
，
故答案为： ， ；
（2）如下图， ，证明如下：
延长 至点 ，使得 CF=AC，连接 ，
，
，
，CF=AC，
，
由旋转得 ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，是 的中位线，
，
；
（3）如下图，取 的中点 ，连接 ，作 于 ，
依题得： ，
， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
点 在与 成 的定直线上运动，
当点 在 处时， 最小，
，
，
又 ，
，
的最小值为 ．
【点睛】本题考查的知识点是旋转性质、全等三角形的判定与性质、中位线定理、含 的直角三角形特
征，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
