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第 02 讲 平行四边形的判定
课程标准 学习目标
1．掌握平行四边形的判定定理；(重点)
①平行四边形的判定 2．综合运用平行四边形的性质与判定定理1、2解决问题．(难
点)
知识点01 平行四边形的判定定理
平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：
（1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC.
（2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC.
（3）判定方法 3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即 AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC.
（4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC.
（5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO.
注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；
②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边
相等，是无法判定为平行四边形的.
【即学即练1】
1．（24-25八年级上·山东济宁·期末）在四边形 中，对角线 与 相交于O点，给出五组条件：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ；
（5） ， ．
能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组．
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）综合实践课上，李海画出 ，利用尺规作图找一点 ，使得四
边形 为平行四边形．图 图③是他的作图过程．
李海的作法中，可直接判定四边形 是平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形 中，若 ，且 ，则四边形
是 ，理由是 ．
4．（24-25八年级下·上海·期中）已知：如图， 沿射线 平移后得 ， ，若
的面积为S，则四边形 的面积为 ．（用含S的代数式表示）5．（2025·浙江舟山·一模）已知：在 中， ， ， ，点D，E分别是 ，
的中点， ，交 的延长线于 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)求四边形 的周长和面积．
6．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在 中， 平分 交对角线 于点E， 平分
交对角线 于点F，连接 、 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)求证：四边形 为平行四边形．
题型01 判断能否构成平行四边形
例题：（24-25八年级下·四川广元·期中）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【变式训练】
1．（24-25八年级下·山东德州·期中）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．2．（24-25八年级下·广东·期中）如图，在四边形 中，下列条件能判断它是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在四边形 中，对角线 和 相交于点O，下列条件
不能判断四边形 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
题型02 添一个条件成为平行四边形
例题：（2025八年级下·全国·专题练习）在四边形 中， ，要使四边形 是平行四边形，
你可以添加的一个条件是 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，其中
是 的中点，添加一个条件： ，使四边形 是平行四边形．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形 中，若 ，在不添加任何辅助线的情况
下，请你添加一个条件 ，使四边形 是平行四边形．
3．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）在四边形 中， ，再从下列四个条件中：①
；② ；③ ；④ 任选一个，能使四边形 为平行四边形的条件的序
号是 ．题型03 证明四边形是平行四边形
例题：（24-25八年级下·吉林·期中）如图，点 ， ， ， 在同一条直线上， ， ，
；求证：四边形 是平行四边形．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，E、F是平行四边形 的对角线 上的两点， ．
求证：四边形 是平行四边形．
2．（2025·湖北十堰·二模）如图，在四边形 中，连接 ，过点B，D分别作 的垂线，垂足分别
为E，F，且 ， ．求证：四边形 为平行四边形．
3．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，在平行四边形 中，点E，F分别在 ， 上，且
．
求证：四边形 是平行四边形．
题型04 利用平行四边形的判定和性质求解
例题：（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形 中， ， ，对角线
， 相交于点 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长和 的长．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形 中， ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ， ， ，求四边形 的面积．
2．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
O是 的中点，连接 并延长，交 于点E，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 平分 ，求 的长．
3．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，在 中， ， 为 边上一点，连接 ，
为 中点，过点 作 交 的延长线于 ，连接 交 于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
题型05 利用平行四边形的判定和性质证明
例题：（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，点A，D，C，B在同一条直线上，
．求证：(1) ；
(2)四边形 是平行四边形．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知：如图，在平行四边形 中， ， 是对角线 上的
两个点，且 ．求证：
(1)
(2)四边形 为平行四边形．
2．（2025·广西桂林·一模）如图，在 中， ， 于点E，过点A作 ，连接
并延长，交 于点C．
(1)求证： ．
(2)连接 ，求证：四边形 是平行四边形．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，分别以 的直角边 及斜边 向外作等边 、
等边 ，已知 ， ，垂足为 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求证：四边形 是平行四边形．题型06 平行四边形的判定和性质的应用
例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形池塘 的四个顶点处各有一棵树．若要扩建
池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后
的池塘 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时
会保证四边形停车位 的边 ，边 ，且 ．求这个四边形停车位
的面积．
2．（24-25八年级下·全国·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示
意图，篮板边侧 垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板 高度的实践活
动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿 垂直固
定在地面 上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线 与竹竿 的夹角
的度数为 ，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线
与竹竿 的夹角 的度数恰好等于 的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量 的长度为
．活动分享时，小明说：“ 的长度就是篮板 的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理
由．3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）【问题提出】
（1）如图①， 为等腰直角三角形， ，D为 上一点，将 绕点A逆时针旋转
，D的对应点为 ，则 _______ ．
【问题探究】
（2）如图②， 为等边三角形，D，E为边 上的点，已知 ， ，求
的边长．
【问题解决】
（3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养．某校准备规划一块三角形的生物基地 ，用来种植
花卉，如图③，其中 ，D为 边上一点，E为 边上一点， 是规划过程中修建的两
条小路，要求 ， ， ，且 ．现计划在四边形 区域内种
植三色堇，在 区域内种植石竹，经了解，种植三色堇的费用为30元/ ，种植石竹的费用为40元/
，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用．（小路的宽度忽略不计）一、单选题
1．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）在四边形 中， ，下列选项不能说明四边形
是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·河北保定·期中）下面是嘉淇同学的不完整的推理过程：
，
．
又 ※
为了使嘉淇的推理成立，则“※”处应补充的条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图1，平行四边形 中， ，现有图2中的甲、乙两种
方案，能使四边形 为平行四边形的是（ ）
A．甲 B．乙
C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以
4．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在 中，按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当的长
为半径画弧，分别交 于点G，H；②分别以G，H为圆心，大于 的长为半径画弧，交于点
P；③连接 并延长交 于点E；④过点E作 交 于F．已知 ， ，则四边形
的周长为（ ）
A．10 B．5 C．15 D．20
5．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图， 是 的对角线，过点B作 交 于点G，
垂足为E，过点D作 交 于点H，垂足为F，连接 ．则下列结论：① ；②四
边形 是平行四边形；③ ；④ 平分 的周长；⑤ ，其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
6．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在四边形 中， ，请添加一个条件： ，
使四边形 成为平行四边形．
7．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们的
交角为 ，则它们重叠部分的面积为 ．
8．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形 中， ， ， 为 上一点，
，垂足为 如果四边形 的面积为 ， ，那么 ．
9．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在 中，过 上的点 作 ， ， 、 、
、 均在平行四边形的边上，且 ， ，则四边形 的面积为 ．10．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，长方形 中， ， ， 是 的中点，线段
在边 上左右滑动，若 ，则 的最小值为 ．
三、解答题
11．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形 中， ，且 交 于点
， 平分 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求四边形 的周长．
12．（浙江省温州新质联盟学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题）如图，在 中，连
结对角线 ，点E和点F是 外两点，且在直线 上， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ， ， ， ，求 的长．
13．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图， 中，D是 边上任意一点，F是 中点，过点C作
交 的延长线于点E，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
14．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知 是边长为3的等边三角形，点 是边 上的一
点，且 ，以 为边作等边 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)比较 与 的大小．并说明理由．
15．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，将平行四边形 绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四
边形 ，使点B落在 边上的点E处，连接 ．
(1)求证： 平分 ．
(2)如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且 ， ，求平行四边形 的面积．
(3)如图3，连接 交 于点H，求证：点H为 的中点．
16．（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行
四边形纸片 中，已知 ， ， 的面积为120．点 为 边上任意一点，将
沿 折叠，点 的对应点为 ．
(1)如图1，若点 恰好落在 上时，求证：四边形 为平行四边形．
(2)如图2，若 时，连接 ，并延长交 于点 ．求线段 的长．
(3)改变 点的位置，将 沿 折叠，连接 ，当 为直角三角形时，求 的长度．
