文档内容
2025 年高考考前信息必刷卷 01（北京卷）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C B A C C A B B B
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11． 12. 13． 14．15 15.1023
三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分）
【解】（1）由题知，三角形为钝角三角形
选①，由余弦定理得： ，解得： ，
所以由正弦定理得： .
选②，因为 ，所以 ，所以选③，由正弦定理得： ，
所以 ，所以
.
（2）选①，因为 ， ，所以 的面积为：
选②，由正弦定理得： ，
.
选③，因为 ， ， ，
所以 .
17．（本小题满分13分）
【解】（1）如图，取 的中点 ，连接 ， ．因为 为 的中点，所以 ．
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 为 的中点，所以 ．
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
又 ， ， 平面 ，所以平面 平面 ．
因为 平面 ，所以 平面 ．
（2）由折叠知， ， ，且 ， ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
如图，过点 作 于点 ，取 的中点 ，连接 ，易知 ， ， 两两垂直．
以 为原点，以 ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图（2）的空间直角坐标系．
设 ，则 ， ， ，
得 ， ， ， ， ．
所以 ， ， ， ．设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ,
取 ，则 ， ，即 ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ,
取 ，则 ， ，即 ．
所以 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为0．
18．（本小题满分14分）
【解】（1）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10
场.
设 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则 .
（2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，
分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，
分别是第2场、第5场、第8场、第9场.
所以 的所有可能取值为0，1，2.， ， .
所以 的分布列为
0 1 2
所以 .
（3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，丙获胜的概率为 ，还需要进行6场比
赛，
而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，所以
， ，
故 .
19．（本小题满分15分）
【解】（1）设右焦点
直线 与 轴的交点为 ，所以椭圆 右焦点 的坐标为
故在椭圆 中 ，
由题意 ，结合 ，则
所以椭圆 的方程为：（2）当直线 的斜率为0时，显然不满足条件
当直线 的倾斜角不为 时，设直线 的方程为： ，
由 ，可得
由题意
则
由
化简可得 ，由 ，即
故存在满足条件的直线，直线 的方程为：
20．（本小题满分15分）
【解】（1）根据题意，函数 的导函数 ，而 ，
因此 ，进而 ，其导函数 ，
当 时，显然有 ，当 时，有 ，
因此函数 在 和 上均单调递增．
（2）题中不等式即 ，
先证： ，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，故 成立.
同理可利用导数证明： .
因为 ，
故 ，
因此命题得证．
21．（本小题满分15分）
【解】（1） 为 时， ，为 时， ，
为 时， ，
为 时， ，
故 ，且使得 的有序数对有 、 、 、 ；
（2）由题意可得 ， ，
又 为整数，故 ， ，
则 ，
同理可得 ，
即有 ，
同理可得，当 时，有 ，
即当 时，有 ，
当 时， ，
故；
（3）对于数列 ， ，不妨设 ，
①首先考虑 的情况，
由于 ， ，故 ，同理 ， ， ，
故 .
②再考虑 中有连续一段是连续的正整数的情况，
此时 ,
因为 ， ，
故这说明此连续的 项的和为负.
同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负，
再由①中结论，可得 .
③若在①②中 ，由于 ，
此时去掉前 项，则可转化①②的情况，所以有 .
④若 ，则 ，
所以此时有 ，
综上，结论成立.
