文档内容
绝密★启用前
2025 年高考考前信息必刷卷 01（北京卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：包含高考命题趋势变化，题目呈现方式的变化等
如第10题，与2025年八省联考的14题类似，凸显代数与集合的联系，加强学科知识的融合
高考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对非常规考点的创新糅合等
高考·新情境：可涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等
如第7题，第8题，第14题，涉及生活情境，社会生产生活，加强学科的应用
命题·大预测：基于本卷的题目进行具体分析，给出趋势性预测，也可提出备考方向等
深化基础性考查，强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导中学
把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养。增加基础题比例、降低初始题起点，增强试题的
灵活性和开放性，使学生在考试中能够充分展示自己的思维能力和创新水平.
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
2．已知 ， 为虚数单位，则 （ ）
A． B． C． D．
3．圆 的圆心到直线 的距离为1，则 （ ）
A． B． C． D．2
4． 的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
5．已知非零向量 ， ，则 是 成立的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
6．设函数 .若 ，且 的最小正周期大于 ，
则（ ）
A． . B．
C． D．
7．在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为
，其中 为起始光功率（单位：W）， 为衰减系数， 为接收信号处与发射器间的距离（单
位：km）.已知距离发射器 处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由 km变到 km时，光
功率由 变到 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见．譬如
“堑堵”指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，“鳖臑”指四个面都是直角三角形的三棱锥．现有一如图所示的“堑堵” ，其中
，若 ，则 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知平面上的线段l及点P，任取l上的一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记
作 ，若曲线C是边长为4的等边三角形，则点集 所表示的图形面积为（ ）
A． B．
C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知抛物线： 的焦点到其准线的距离为2，则 ．
12．设 都是锐角，且 ，则 的取值范围是 .
13．若直线 与双曲线 始终只有一个公共点，则 取值范围是 .
14．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底
圆柱，其中总高度为10cm，圆柱部分高度为7cm，该陀螺由密度为0.8g/cm3的木质材料做成，其总质量为
96g，则此陀螺圆柱底面的面积 ．15．已知数列 的各项均为整数， ， ，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比
数列，则集合 中所有元素之和为 .
三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分13分）在 中， ， ，从① ；② ；③ 这三个
条件中任选一个作为题目的已知条件.
(1)求 的值；
(2)求 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
17．（本小题满分13分）如图，已知等腰梯形 中， ， ，现以
为折痕将 折起，使点 到达点 的位置，如图， ， 分别为 ， 的中点．(1)求证： 平面 ．
(2)若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
18．（本小题满分14分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，
三人得分（单位：分）情况统计如下：
场
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
次
甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13
乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10
丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11
(1)从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
(2)在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设 表示乙得分大于丙得分的场数，
求 的分布列和数学期望 ；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、
乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设 为甲获胜的场数， 为乙获胜的场数， 为丙获胜的场数，
写出方差 ， ， 的大小关系.19．（本小题满分15分）已知椭圆 ： 的右焦点 在直线 上， 分别
为 的左、右顶点，且 .
(1)求 的标准方程；
(2)已知 ，是否存在过点 的直线 交 于 ， 两点，使得直线 ， 的斜率之和等
于-1?若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分15分）已知函数 在点 处的切线与直线 垂直．(1)设函数 ，求函数 的单调性．
(2)证明： ．
参考数据： ．
21．（本小题满分15分）有穷数列 中，令
，当p=q时，规定 .
(1)已知数列 ，写出所有的有序数对 ，且 ，使得 ；
(2)已知整数列 为偶数，若 ，满足：当 为奇数时， ；
当 为偶数时， .求 的最小值；
(3)已知数列 满足 ，定义集合 .若
且为非空集合，求证： .
