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绝密★启用前
2025 年高考考前信息必刷卷 02（新高考Ⅱ卷专用）
数 学
考情速递
高考·新动向：八省联考试题出来后，题量上仍然保持19题（8+3+3+5），但第15，16题增加了第（3）问
体量上略微有所变化，另外八省联考最后一题压轴不是新定义题，新定义题压轴的地位有可能变化。
高考·新考法：更紧密的把生活中的问题转化为数学考点，更侧重基础性问题的考法（如本卷16题第（1）
问）
高考·新情境：以实物为背景设计考题（如第5题），以新文化为背景（如第11题），以实际应用为背景
（如第14题）
命题·大预测：（1）注重基础考察（如本卷第16题第（1）问利用基底表示向量，证明垂直关系）
（2）数列解答题常规化
（3）三角压轴
（4）导数作为工具融入解析几何
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 ，若 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．2
3．已知圆 与直线 交于 两点，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
4．已知函数 从点 到点 的一段图象如图所示，
则 （ ）
A． B．
C． D．
5．葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄，多子多福.如图所示
的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上，中，下三个几何体的高
度之比为 ，且总高度为 ，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（ ）（ ）
A． B． C． D．
6．过抛物线 的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB，则弦AB的中点M的轨迹方程为
（ ）
A． B．
C． D．
7．设 分别为椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点， 的周长为 ，且
，则 的面积为（ ）
A．3 B． C．4 D．
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学科网（北京）股份有限公司8．奇函数 和偶函数 的图象分别如图1、图2所示，方程 和 的实根个数
分别 ， ，则 （ ）
A．3 B．7 C．10 D．14
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．甲、乙两名射手同时向一目标射击，互不影响.设事件 ：“甲击中目标”，事件 ：“乙击中目标”，
则事件 与事件 （ ）
A．相互独立 B．互斥 C．不相互独立 D．不互斥
10．已知函数 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
11．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极
衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列 满足 ， ，
则（ ）
A．
B．
C．
D．数列 的前 项和为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若复数 满足 ，则 ．
9 / 6
学科网（北京）股份有限公司13．某商场举行的“春节合家欢，砸蛋赢现金”活动中，在8个金蛋中分别有一、二、三等奖各1个，其
余5个无奖．由4个人参与砸金蛋活动，每人砸2个，不同的获奖情况数为 ．
14．同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，
横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链
线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可
以为 （其中 是非零常数，无理数 ），对于函数 以下结论正确的是
.
① 是函数 为偶函数的充要条件；
② 是函数 为奇函数的充要条件；
③如果 ，那么 为增函数；
④如果 ，那么函数 存在极值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
已知数列 的前n项和 满足 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ， 为 的前n项和，求使 成立的n的最小值．
16．（15分）
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学科网（北京）股份有限公司如图，在五棱锥 中，已知 底面 ， ， ， ，
， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)求侧面 与侧面 所成二面角的余弦值.
17．（15分）
一个盒子中装着标有数字 的卡片各 2 张， 从中任意抽取 3 张， 每张卡片被取出的可能性相等，
用 表示取出的 3 张卡片中的最大数字.
(1)求一次取出的3张卡片中的数字之和不大于5的概率;
(2)求随机变量 的分布列和数学期望.
18．（17分）
日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任
意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心， （a为椭圆的长半轴长，b为椭圆
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学科网（北京）股份有限公司的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C： .
(1)求椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)若斜率为1的直线 与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求 的面积（O为坐标
原点）；
(3)设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求 面积
的最小值.
19．（17分）
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， .
(1)求 ；
(2)求 的面积；
(3)以 为坐标原点， 所在直线为 轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在 所在的平面内
有一动点 ，满足 ，求 的最小值.
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