文档内容
绝密★启用前
2025 年高考考前信息必刷卷 02（北京专用）
数 学
考情速递
高考·新动向：如第9题，第10题新文化题与立体几何和数列相结合，体现新动向
高考·新考法：如第21题考查数列新定义，提升学子的理解和变通能力
高考·新情境：如第14题，18题涉足生活情境，借助实际生活考查函数及统计与概率
命题·大预测：整套试题对知识和能力的考查相当灵活和宽泛，体现了北京高考教考衔接的理念和特点。测
试卷突出考查学生的思维品质和核心概念，引导高中数学教学遵循课程标准，突出基本目标，注重教材基
础知识、基本技能考查、分析解决问题能力考查
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知单位向量 和 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
4．下列函数中，是偶函数且在 上单调递减的是（ ）A． B．
C． D．
5．在 的展开式中， 项的系数为（ ）
A． B． C．16 D．144
6．已知抛物线 的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若 ，则 的面积
为（ ）
A．8 B． C． D．
7．已知 的三个内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知直线 与圆 ，则“ ，直线 与圆 有公共点”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，开创了秦朝统一度量衡的先
河.如图，升体是长方体，手柄近似空心的圆柱.已知铜方升总长是 ，内口长 ，宽 ，高
（忽略壁的厚度，取圆周率 ），若手柄的底面半径为 ，体积为 ，则铜方升的容积
约为（小数点后保留一位有效数字）（ ）
A． B． C． D．
10． 为公差不为零的等差数列， 是其前 项和， 是等比数列， 是其前 项和，则下列说法正
确的是（ ）
2 / 6A．对任意 ， ，如果 ，那么
B．存在 ， ，满足 ，且
C．对任意 ， ，如果 ，那么
D．存在 ， ，满足 ，且
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知 ，若 ，则 .
12．已知双曲线 ，则 的离心率为 ；以 的一个焦点为圆心，且与双曲线 的渐
近线相切的圆的方程为 .（写出一个即可）
13．已知 ， ，若对任意实数x都有 恒成立，则满足条件的一组有
序数对 为 .
14．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件 商品获利8元．现计划在“五一”期间对 商品进行广
告促销，假设售出 商品的件数 （单位：万件）与广告费用 （单位：万元）符合函数模型 ．
若要使这次促销活动获利最多，则广告费用 应投入 万元．
15．已知函数 ，下面命题正确的是 .
①存在 ，使得 ；
②存在 ，使得 ；
③存在常数 ，使得 恒成立；
④存在 ，使得直线 与曲线 有无穷多个公共点.三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（13分）如图所示，在四棱锥 中， ， ， ．
(1)若 平面 ，证明： 平面 ；
(2)若 底面 ， ，二面角 的正弦值为 ，求 的长．
17．（14分）已知函数 的最小正周期为 .
(1)求 的值；
(2)在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为 在 上的最大值，再从条件①、条
件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 的取值范围.条件①： ；
条件②： ；条件③： 的面积为S，且 .注：如果选择
多个条件分别解答，按第一个条件计分.
18．（13分）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、
困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计
他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：
4 / 6假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．
(1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；
(2)现按性别进行分层抽样，从该地区抽取了5名教师，求这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学
“很有帮助”的概率；
(3)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，
“很有帮助”记4分．统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为 ，其中年龄在40岁以
下（含40岁）教师得分的平均值记为 ，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为 ，请直接写出
的大小关系．（结论不要求证明）
19．（15分）已知椭圆 ， 的下顶点为 ，左、右焦点分别为 和 ，离心率为
，过 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点．若直线 垂直于 ，则 的周长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与坐标轴不垂直，点 关于 轴的对称点为 ，试判断直线 是否过定点，并说明理由．
20．（15分）设函数 ．
(1)若m＝－1，
①求曲线 在点 处的切线方程；
②当 时，求证： .
(2)若函数 在区间 上存在唯一零点，求实数m的取值范围.
21．（15分）给定正整数 ，设数列 是 的一个排列，对 ， 表示以 为
首项的递增子列的最大长度， 表示以 为首项的递减子列的最大长度.(1)若 ， ， ， ， ，求 和 ；
(2)求证： ， ；
(3)求 的最小值.
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