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2025 年高考考前信息必刷卷 02（北京专用）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D B D C C C B A C
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 或 12． 或（ ）
13． （答案不唯一） 14． 15．①③
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（13分）
【详解】（1）证明：∵ ， ， ，即 ，
∴ ，即 ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，（4分）
∴ ，又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；（6分）
（2）∵ 底面 ， 底面 ，
∴ ， ，又 ，
以点 为原点，以 所在的直线为 轴，过点 作 的平行线为 轴，建立空间直角坐标系如图
所示：（8分）令 ，则 ，
，则 ，
，
设平面 的法向量为⃗n =(x ,y ,z )，
1 1 1 1
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
设平面 的法向量为 ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∵二面角 的正弦值为 ，则余弦值为 ，
又二面角为锐角，∴ ，
2 / 11解得 ，所以 .（13分）
17．（14分）
【详解】（1）由题意可知：
，
因为函数 的最小正周期为 ，且 ，所以 .（4分）
（2）由（1）可知： ，
因为 ，则 ，
可知当 ，即 时， 取到最大值3，即 .（6分）
若条件①：因为 ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，
可得 ，且 ，则 ，
可得 ，所以 ，（10分）
由正弦定理可得 ，可得 ，
则
，因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得
所以 的取值范围为 ；（14分）
若条件②；因为 ，
由正弦定理可得： ，
则 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
即 ，且 ，所以 ，（10分）
由正弦定理可得 ，可得 ，
则
，
因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
4 / 11可得 ，则 ，可得
所以 的取值范围为 ；（14分）
若选③：因为 ，则 ，
整理得 ，且 ，所以 ，（10分）
由正弦定理可得 ，可得 ，
则
，
因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得
所以 的取值范围为 .（14分）
18．（13分）
【详解】（1）根据表格中数据，完善表格，可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为 ，（2分）
用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为 ；
（4分）
（2）男女比例为 ，故抽取的5名教师，有1名男教师，4名女教师，
用频率估计概率，估计该地区中小学教师中男教师认为对于教学“很有帮助”的概率为 ，
女教师认为对于教学“很有帮助”的概率为 ，（6分）
抽取的5名教师中，恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”，
则1名男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为 ，
1名女教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为 ，
故这5名教师中恰有1人认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为 ；（10分）
（3） ， ，
，
因为 ，所以 .（13分）
19．（15分）
【详解】（1）由题意可知 ，
因为离心率为 ，
所以 ，（2分）
所以 ，故 是正三角形，如图所示：
6 / 11若直线 ，则直线 垂直平分线段 ，
所以 ，
由于 的周长为 ，故 的周长为 ，（4分）
由定义可知： ，
所以 的周长为 ，故 ，
所以 ，故 ，
所以椭圆 的方程： .（6分）
（2）由题意可设直线 的方程为 ， ，则 ，如图所示：
可得直线 的方程为： ，
因为 ，
将其代入直线 方程，可得 ，（8分）可整理得： ，
联立方程 得 ，
则 ，
所以 ，即 ，
将其代入 式中，可得直线 方程为： ，（13分）
可见直线 过定点 ，
所以直线 过定点，坐标为 .（15分）
20．（15分）
【详解】（1）①当 时， ，可得 ，
则 ，（2分）
可得曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．（4分）
②令 ，
则 ，
当 时，可得 在 上单调递减，
又因为 ，所以 ，即 ，即 ，
即当 时， .（6分）
8 / 11（2）由函数 ，可得 ，
令 ，
当 时， ，即 在区间(0,1)上单调递增．
因为 ，所以 ，
所以函数 在区间(0,1)上没有零点，不符合题意；（10分）
当 时，函数 的图像开口向上，且对称轴为直线 ，
由 ，解得 ，
当 时， 在区间(0,1)上恒成立，
即 在区间(0,1)上单调递减．
因为 ，所以 ，
所以函数 在区间(0,1)上没有零点，不符合题意．（12分）
综上可得， ，
设 使得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
因为 ，要使得函数 在区间 上存在唯一零点，
则满足 ，解得 ，
所以实数m的取值范围为 ．（15分）
21．（15分）
【详解】（1）以 为首项的最长递增子列是 ，以 为首项的最长递减子列是 和 .所以 ， .（3分）
（2）对 ，由于 是 的一个排列，故 .
若 ，则每个以 为首项的递增子列都可以在前面加一个 ，
得到一个以 为首项的更长的递增子列，所以 ；
而每个以 为首项的递减子列都不包含 ，且 ，
故可将 替换为 ，得到一个长度相同的递减子列，所以 .（5分）
这意味着 ；
若 ，同理有 ， ，故 .
总之有 ，从而 和 不能同时为零，
故 .（7分）
（3）根据小问2的证明过程知 和 不能同时为零，故 .
情况一：当 为偶数时，设 ，则一方面有
；（8分）
另一方面，考虑这样一个数列 ： ， .
则对 ，有 ， .
故此时 .（10分）
结合以上两方面，知 的最小值是 .
10 / 11情况二：当 为奇数时，设 ，则一方面有
；（12分）
另一方面，考虑这样一个数列 ： ， .
则对 ，有 ， .
故此时 .（14分）
结合以上两方面，知 的最小值是 .
综上，当 为偶数时， 的最小值是 ；当 为奇数时， 的最小值是 .（15分）
