文档内容
2025 年高考考前信息必刷卷 02（上海专用）
数 学·参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。
1、 2、 / 3、
4、 5 5、 3 6、
7、 8、 9、254
10、 / 11、 12、
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一
个正确答案.
13 14 15 16
C B A A
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17、
【详解】（1）证明：连接 ，在正方体 中，E是 的中点，
所以E是 的中点，且 ，即 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， 平面 ,
所以 平面 .（6分）
（2）过 作 ，交 于 ，连接 ，
在正方体 中， 平面 ， ，
所以 平面 ，（8分）
又 平面 ，所以 ，
所以 是直线 与平面 所成的角. （10分）由题意，设 ，则 ，
，所以 ，
所以在 ， ，
故直线 与平面 所成角的大小是 .（14分）
18、
【详解】（1）已知等比数列 的公比为2，且 成等差数列，
， ，解得 ，
（6分）
（2） ，
.
综上， .（14分）
19、
【详解】（1）由题意得 ，解得 .
由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值：
.（6分）
（2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在 和 的各1件，分别记为 和 ，
来自甲型芯片指标在 和 分别为3件和1件，分别记为 ， ， 和 ，
从中任取2件，样本空间可记为 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， 共15个，记事件 ：至少有一件为航天级芯片,则 ， ， ， ， ，
， ， ， 共9个，
所以 .（14分）
20、
【详解】（1）在椭圆 中，左、右顶点分别为 ，
设点 ，则 .（4分）
（2）设 ，由已知可得 ， ，
由 得 ，化简得 ，
代入 可得 ，
联立 解得 ，
由 得直线 过点 ， ，
所以，所求直线方程为 .（10分）
（3）设 ，易知直线 的斜率不为 ，设其方程为 （ ），
联立 ，可得 ，
由 ，得 .
由韦达定理，得 . ， .
可化为 ，
整理即得 ，
，由 ，进一步得 ，化简可得 ，解得 ，
直线 的方程为 ，恒过定点 .（18分）
21、
【详解】（1）由 ，得到 ，所以 ，
又 ，由 ，得到 ，又当 时， ，当 时， ，
所以 只有一个极值点，且极值点为 ，此时 ，
所以函数 在 上的极值点不偏移. （4分）
（2）因为 ， 且 ， ，
由 ，得到 或 ，则 ，
又 ， ，则 有两根，
不妨设为 ，且 ，又 ，所以 ，
又 时， ， 时， ，所以函数 在 上只有一个极值点 ，且
，
又 ，
所以 ，故函数 在 上的极值点右偏移. （10分）
（3）由题知， ，令 ，得到 ，
当 时， ，当 时， ， 所以 是 的极值点，
且 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
又 ， 时， ， 时， ， ，则 有两个零点，不妨设为 ，且 ，所以 ， ，
令 ，
则 在 恒成立，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，
故 ，又 ，
故 ，得到 ，即 ，
所以当 时，函数 在 上的极值点左偏移．（18分）
