3 探索三角形全等的条件
第 3 课时
课时学习目标 素养目标达成
1.借助尺规能作出三角形 应用意识、几何直观、推理能力
2.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的
几何直观、推理能力
两个三角形全等
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
如图,已知AO=CO,若以“SAS”为依据说
明△AOB≌△COD,还要添加的条件是
BO=DO .
重点典例研析 循道而行 方能致远
【重点1】用尺规作三角形(几何直观、应用意识)
【典例1】作图题:已知∠α,∠β和线段a,求作△ABC,使∠B=∠α,∠C=∠β,BC=2a.
【自主解答】如图, ABC为所作.
△【举一反三】
1.下列所给的四组条件中,能作出唯一三角形的是(B)
A.AB=2 cm,BC=6 cm,AC=3 cm
B.BC=3 cm,AC=5 cm,∠C=70°
C.∠A=∠B=∠C=60°
D.AB=4 cm,AC=6 cm,∠B=30°
2.现已知线段a,b(a<b),∠MON=90°,求作Rt ABO,使得∠O=90°,OA=a,AB=b.嘉嘉
△
和琪琪的作法分别如下:
嘉嘉:以点O为圆心、线段a的长为半径画弧,交射线ON于点A;以点A为圆心、
线段b的长为半径画弧,交射线OM于点B,连接AB, ABO即为所求.
△
琪琪:以点O为圆心、线段a的长为半径画弧,交射线ON于点A;以点O为圆心、
线段b的长为半径画弧,交射线OM于点B,连接AB, ABO即为所求.
△
则下列说法中正确的是(A)
A.嘉嘉的作法正确,琪琪的作法错误
B.琪琪的作法正确,嘉嘉的作法错误C.两人的作法都正确
D.两人的作法都错误
3.已知:线段a(如图).
求作: ABC,使AB=2a,BC=AC=3a.
△
【解析】作射线 PN,在 PN 上截取 PQ=3a,作射线 AM,在 AM 上截取 AB=2a,分别
以A,B为圆心,PQ的长为半径作弧交于C,连接AC,BC,如图, ABC即为所求.
△
【技法点拨】
尺规作图的基本思路
1.已知:将条件具体化.
2.求作:具体叙述所作图形应满足的条件.
3.作法:依次叙述作图过程.
4.说明:为了验证作图的正确性,作完图后根据已知的定义、定理,并结合作法说
明所作的图形完全符合题设条件.一般不需要说明.【重点2】利用“SAS”证明全等(几何直观、推理能力)
【典例2】如图,BD∥AC,BD=BC,点E在BC上,且BE=AC.试说明:∠D=∠ABC.
【自主解答】因为BD∥AC,
所以∠ACB=∠EBD.
{
CB=BD,
在△ABC和△EDB中, ∠ACB=∠EBD,
AC=EB,
所以△ABC≌△EDB(SAS),
所以∠ABC=∠D.
【举一反三】
如图,已知BF=EC,AB=DE,∠B=∠E,点B,F,C,E在同一条直线上.求证:
∠A=∠D.
【证明】因为BF=EC,
所以BF+CF=EC+CF,
即BC=EF,在△ABC和△DEF中,
{DE=AB
∠E=∠B,
E=BC
所以△ABC≌△DEF(SAS),
所以∠A=∠D.
【重点3】三角形全等判定定理的综合应用(几何直观、推理能力)
【典例3】(教材再开发·P106T5强化)如图,AD=AC,AB=AE,∠DAB=∠CAE.
(1)试说明: ADE≌△ACB;
△
(2)判断线段DF与CF的数量关系,并说明理由.
【自主解答】(1)因为∠DAB=∠CAE,
所以∠DAE=∠CAB,
{
AD=AC
在△ADE与△ACB中, ∠DAE=∠CAB,
AE=AB
所以△ADE≌△ACB(SAS).
(2)DF=CF,理由如下:
{
AD=AC
在△ADB与△ACE中, ∠DAB=∠CAE,
AB=AE所以△ADB≌△ACE(SAS) ,
所以∠DBA=∠CEA,DB=CE,
因为△ADE≌△ACB,所以∠AED=∠ABC,所以∠DBF=∠CEF,
{∠DFB=∠CFE
在△DBF与△CEF中, ∠DBF=∠CEF,
DB=CE
所以△DBF≌△CEF(AAS),所以DF=CF.
【举一反三】
(2024·杭州一模)如图,点C,点E分别在线段AD,AB上,线段BC与DE交于点F,
且满足AB=AD.下列添加的条件中不能推得△ABC≌△ADE的是(D)
A.AC=AE B.BF=DF
C.BE=CD D.BC=DE
【技法点拨】
由已知说明两个三角形全等的一般思路
{找夹角➝SAS
1.若已知两边➝
找第三边➝SSS
边为角的对边➝找任一角➝AAS
{
2.若已知一边一角➝ { 找角的另一邻边➝SAS
边为角的邻边➝ 找边的另一邻角➝ASA
找边的对角➝AAS{找夹边➝ASA
3.若已知两角➝
找任一角的对边➝AAS
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)如图,AC和BD交于O,OA=OD,用SAS证明△AOB≌△DOC还
需添加的条件是(C)
A.∠A=∠D B.AB=DC
C.OB=OC D.∠AOB=∠DOC
2.(3分·推理能力)如图,在△ABC和△BDE中,再添两个条件不能使△ABC和△BDE
全等的是(B)
A.AB=BD,AE=DC
B.AB=BD,DE=AC
C.BE=BC,∠E=∠C
D.∠EAF=∠CDF,DE=AC
3.(6分·推理能力、应用意识)作图题(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).已知:如图,线段a,c,∠α.
求作: ABC,使得BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.
△
【解析】如图:
ABC即为所求.
△
4.(8分·推理能力)如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AC上一点,
AE=AB,连接DE.
(1)求证: ABD≌△AED.
△
(2)已知AB=9, CDE的周长为15,求△ABC的周长.
△
【解析】(1)因为AD是∠BAC的平分线,
所以∠BAD=∠CAD,
在△ABD和△AED中,{
AB=AE
∠BAD=∠CAD,
AD=AD
所以△ABD≌△AED(SAS);
(2)因为△ABD≌△AED,
所以DE=BD,
所以△CDE的周长=DE+CD+CE=BD+CD+CE=BC+CE=15,
因为AE=AB=9,
所以△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AE+CE+BC=9+9+15=33.
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