文档内容
1.1 三角形内角和定理 导学案
第1课时 三角形内角和定理
1.掌握三角形内角和等于 180∘ 的探索及证明过程。
2.能运用三角形内角和知识解决简单几何计算。
3.理解并运用 AAS 判定两个三角形全等.
学习重点：三角形内角和为 180∘ 的证明过程及 AAS 的正确应用.
学习难点：恰当使用辅助线并准确理解“移角”原理.
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
1.章节导读
我们曾经探索过三角形与特殊三角形的一些性质，如三角形三个内角的和等于 180°、等腰三角形“三线合
一”的性质等。你还记得这些结论的探索过程吗?你能根据已有的基本事实和定理证明这些结论吗?
本章将在“平行线的证明”的基础上，进一步证明:三角形内角和定理及其推论，等腰三角形、直角三角形
的性质定理和判定定理，线段的垂直平分线和角平分线的有关性质定理。还将研究直角三角形全等的特殊
判定方法。在这一过程中，你将深化对几何证明的认识，体会数学证明的力量，逐步养成重论据、合乎逻
辑的思考和表达习惯，发展几何直观、推理能力等。
2.情景引入
在八年级上册“命题与证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有
关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定义、定理，我们还可以证明有关三角形的一些
结论。
思考：我们已经知道，任意一个三角形的内角和等于 180°.与三角形的形状、大小无关.除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?
还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？你能根据已有的基本事实和定理证明三角形内角和吗?
新知自研：自研课本第2--4页的内容．
【学法指导】
自研课本P2-4页例题上面的内容，思考：
●探究一：三角形的内角和定理的证明
◆1.议一议
我们知道,三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗？
(1)如图，如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论的正确性吗？
解：如图，由操作可知∠A=∠1，可以利用“内错角相等，两直线平行”证明一组平行线，进而利用平行
线的性质及平角的定义说明结论是正确的.
(2)如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果?
解： 如果不移动∠A，那么可以思考构造平行线将等角进行转移.
如图，可以构造CE∥AB，这样同样可以达到将∠A转移到∠1的位置的效果.
(3)你能说说这个结论的证明思路吗？请试着写出证明过程，并与同伴进行交流。
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.【分析】你学过哪些与180°有关的结论？曾经的撕角拼图活动对你有什么启发？
【证明】如图，延长BC至D，过点C作射线CE，使CE∥BA，
则∠1=∠A，∠2=∠B.
∵ 点B，C，D在同一条直线上，
∴ ∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°.
◆2.知识归纳
三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于 180 °.
符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则 ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °.
◆3.思考交流
(1) 如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使
PQ∥BC，他的想法可行吗?如果可行，你能写出证明过程吗?
【解答】解：可行.
∵ PQ∥BC(已知)，
∴ ∠PAB=∠ABC，∠QAC=∠ACB(两直线平行，内错角相等).
又∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角的定义)，
∴ ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°(等量代换).
(2) 对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗?
【证明】在BC上任取一点D，过点D分别作MD∥ AC交AB于点M，ND∥ AB交AC于点N，
∵ MD∥ AC ， ND∥ AB，
∴ ∠1=∠C，∠3=∠B ， ∠2=∠BMD=∠A .又∠1+∠2+∠3=180°，
∴ ∠C+∠A+∠B=180°.
思考：上述多种方法证明三角形内角和定理的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角 .
◆4.知识归纳
①作辅助线：在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常
画成虚线.
②思路总结:为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常
用方法.
◆5.练一练
在△ABC中，∠A-∠B=35°，∠C=55°，则∠B=（ ）
A.50° B.55° C.45° D.40°
解析：由三角形内角和定理，得∠A+∠B=180°-∠C=180°-55°=125°，又∵∠A-∠B=35°，∴∠B=45°.∴
选C。
●探究二：全等三角形的判定定理和性质
◆1.想一想
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的
基本事实和已经学习过的定理证明它吗?
转化为几何语言为：
已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
【证明】∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），∴∠C=∠F（等量代换）.
∵BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
◆2.知识归纳
全等三角形的判定定理：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
根据全等三角形的定义，我们可以得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
◆3.练一练
如图所示,点 B,F,C,E 在一条直线上，AB∥ED，AB=ED，那么添加下列一个条件后，仍无法判定
△ABC≌△DEF的是( )
A.∠A=∠D
B.AC=DF
C.BF=EC
D.AC∥FD
解：B
【例题导析】
自研例1，例2和例3的内容，回答问题：
典例分析:
例1 如图所示，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAD 的度数，再利
用三角形内角和即可求∠ADB的度数.
【解答】解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理)
∵ ∠B=38°，∠C=62°（已知），
∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）.∵ AD平分∠BAC（已知）,
1 1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×80°=40°(角平分线的定义)
2 2
在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°.
∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证），
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）.
例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝
80°，求∠D.
【分析】由三角形内角和定理，可将求∠D转化为求∠CFD,即 ∠ AF E,再在△AEF 中求解即可解答.
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
例3 已知：如所示,点C在AE上，AB=EA，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证: ABC≌△EAD.
△
【分析】 由∠ECB=70°求得∠ACB=110°，从而得出∠ACB= ∠ D ，再由AB∥DE可证得∠CAB= ∠ E,再结合
已知条件AB=AE,可利用AAS 证得△ABC≌△EAD.
【解答】证明:∵∠ECB=70°,
∴∠ACB=110°.
又∵∠D=110°,
∴∠ACB=∠D.
∵AB∥DE,∴∠CAB=∠E.
在△ABC和△EAD中,
∵∠ACB=∠D,∠CAB=∠E,AB=EA,
∴△ABC≌△EAD(AAS).
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.操作并验证三角形的内角和等于180°；
B.探讨如何利用三角形的内角和定理证明三角形全等判定定理AAS.
C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式.
D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1.已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形
解：A．
2.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A.75° B.65° C.165° D.155°
解：C．
3.如图，△ABC中，AE是∠BAC的平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度
数为（ ）
A.35° B.5° C.15° D.25°解：B.
4.若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长是100 cm，AB=30 cm，DF=25 cm，则BC的长是 ( )
A.45 cm B.55 cm C.30 cm D.25 cm
解：A．
5. 如图所示,在等腰三角形ABC中,点D,E分别在腰AB,AC上，添加下列条件，仍不能判定△ABE≌△ACD的
是( )
A.AD=AE B.BE=CD
C.∠ADC=∠AEB D.∠DCB=∠EBC
解：B
6.如图所示，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是 ( )
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
解：B
7. 在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是______三角形 .
解：直角
8. 在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则∠A=______， ∠ B=______，∠ C=______.
解：60°，50°，70°
9.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=_______ .
解：280 °10.如图所示, ABC≌△DCB,∠A=75°,∠DBC=40°,则∠DCA的度数为_______ .
△
解：25°
11.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）
=42°．
12.如图所示,已知∠C=∠E,∠1=∠2,AB=AD, ABC和△ADE全等吗?试说明理由.
△
解：△ABC≌△ADE.
理由:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∵∠BAC=∠DAE,∠C=∠E,AB=AD,
∴△ABC≌△ADE(AAS).题型一 ：三角形内角和定理的证明
1．定理：三角形的内角和是180°．
已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三个内角．
求证：∠C+∠D+∠CED=180°．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在
锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出∠2=∠D，∠1+∠BEC=180°，即可推出结论．
【详解】解：证明：如图，作点E作直线AB，使得AB∥CD，
∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等），
∴∠1+∠BEC=180°，
∴∠1+∠D+∠CED=180°．
①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；
②@表示∠BEC，故②正确，符合题意；
③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；
综上：正确的有②④，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内
错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
2．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证
明“△ABC的内角和是180°”的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此
题．
【详解】解：①．由EF∥AB，则∠ECA=∠A，∠FCB=∠B．由
∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°，得∠A+∠ACB+∠B=180°，故符合题意．
②．由CE∥AB，则∠A=∠FCE，∠B=∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°，得
∠A+∠B+∠ACB=180°，故符合题意．
③．由CD⊥AB于D，则∠ADC=∠CDB=90°，无法证得三角形内角和是180°，故不符合题意．
④．由DF∥AC，得∠EDF=∠AED，∠A=∠FDB．由ED∥BC，得∠EDA=∠B，
∠C=∠AED，那么∠C=∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB=180°，得
∠B+∠A+∠C=180°，故符合题意，
共有：①②④符合条件，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关
键．
3．在证明“三角形内角和等于180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的
依据并按他的思路完成后续证明．
已知：如图，△ABC
求证：
证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F．∵DE∥AB，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依据：）．
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠3
【答案】∠A+∠B+∠C=180°，两直线平行，同位角相等，后续证明见解析．
【分析】首先过点D作AB、AC的平行线，利用两直线平行，同位角相等，可将△ABC的三个角放到一个
平角里面，根据平角=180°即可证明；
【详解】已知：如图，△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F．
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依据：两直线平行，同位角相等）．
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠3
∴∠3=∠A
又∵DF∥AC
∴∠4=∠C
又∵∠4+∠3+∠2=180°
∴∠A+∠B+∠C=180°．
【点睛】本题考查平行线的性质定理和三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质和平角的度数为180°是解
决本题的关键．
题型二： 应用三角形内角和定理求角度
4．如图，在△ABC中，AC⊥CB于点C，AD是∠BAC的平分线，若∠B=40°则∠ADC的度数为
（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】B
【分析】本题主要考查角平分线定义和直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=50°，由角平分线定义得∠CAD=25°，根据直角三角形两锐角互余得∠ADC．
【详解】解：在△ABC中，AC⊥CB即∠C=90°，∠B=40°，
∴∠BAC=50°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
1 1
∴∠CAD= ∠BAC= ×50°=25°，
2 2
∴∠ADC=90°−∠CAD=90°−25°=65°．
故选：B．
5．若△ABC的三个内角之比为1:3:5，那么△ABC中最大角的度数为 ．
【答案】100°
【分析】三角形的内角和为180°，然后按比例分配即可．
5
【详解】解：由题意得，最大角为180°× =100°．
1+3+5
故答案为：100°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
6．在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为
【答案】40°
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是掌握三角形内角和定理．先求出
∠BAC的度数，再根据角平分线定义求解即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°
∴∠BAC=180°−(∠B+∠C)=180°−(67°+33°)=80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
1 1
∠CAD= ∠BAC= ×80°=40°，
2 2
故答案为：40°
题型三： 应用三角形内角和定理解决三角板问题
7．将一副三角板（∠A=30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠CPE等于（ ）A．75° B．90° C．105° D．115°
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，直接利用三角板的性质结合平行线
的性质分析得到∠EDB=45°，根据三角形的内角和得到∠DPB=180°−∠EDB−∠B=75°，再根据
对顶角相等得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵AB∥EF，∠E=45°，
∴∠E=∠EDB=45°，
∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
在△BDP中，∠DPB=180°−∠EDB−∠B=75°，
∴∠CPE=∠DPB=75°，
故选：A．
8．将直角三角板（含30°）和直尺按如图方式摆放，则∠1的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余以及平行线
的性质是解题的关键．
先由直角三角形两锐角互余得到∠3=60°，再由平行线的性质即可求解．
【详解】解：如图，∵∠2=90°，
∴∠3=90°−30°=60°，
∵a∥b，
∴∠1=∠3=60°，
故选：D．
9．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°）按如图所示放置．若∠1＝50°，则∠2
的度数为 °．
【答案】110
【分析】根据三角形外角和内角的关系，先求出∠3的度数，再利用平行线的性质，求出∠2．
【详解】解：如图所示，∵∠1＝∠ADE＝50°，
∠3＝∠A+∠ADE
＝50°+60°
＝110°．
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝110°．
故答案为：110°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角定理和平行线的性质，准确计算是解题的关键．题型四： 三角形内角和与平行线的综合应用
10．如图，直线a∥b，若∠1=50°,∠2=70°，则∠3等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先求出∠4=∠1=50°，再根据三角形内角和
求出结论即可．
【详解】解：如下图：
∵a∥b ∠1=50°
， ，
∴∠4=∠1=50°，
∴∠4=∠5=50°，
∵∠2=70°，
∴∠3=180°−50°−70°=60°，
故选：D．
11．如图，已知AB∥CD，点E在直线CD上，BE与AD交于点G，∠C=∠ABE.
(1)求证：AC∥BE；
(2)若∠C=65°，AD⊥BE，求∠ADC的度数.
【答案】(1)见解析
(2)25°
【分析】本题考查了平行线的性质和判定以及三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理.（1）根据两直线平行，内错角相等，推出∠ABE=∠BED，利用已知条件，通过等量代换求证
∠C=∠BED，最后根据同位角相等，两直线平行求证AC∥BE.
（2）利用垂直性质和平行线的性质推出∠FAD=∠BGD=90°，根据三角形内角和即可求出∠ADC度
数.
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴ ∠ABE=∠BED，
∵∠C=∠ABE，
∴∠C=∠BED，
∴AC∥BE.
（2）解：∵AD⊥BE，
∴∠BGD=90°，
∵AC∥BE，
∴∠FAD=∠BGD=90°.
∴∠CAD=∠FAD=90°，
∵∠C=65°，
∴∠ADC=180°−90°−65°=25°.
12．已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，
∠C＝∠DGC．
（1）求证：AB//CD；
（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）108°
【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG＝∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结
论；
（2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代换得∠DGC+∠AHF=180°可判断EC//BF，两直线平行同位角相等得出∠B=∠AEG，结合（1）得出结论；
（3）由（2）证得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度数，由三角形内角和定理求得∠D的度数．
【详解】证明：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC
∴∠AEG=∠C
∴AB//CD
（2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180°
∴∠DGC+∠AHF=180°
∴EC//BF
∴∠B=∠AEG
由（1）得∠AEG=∠C
∴∠B=∠C
（3）由（2）得EC//BF
∴∠BFC+∠C=180°
∵∠BFC=4∠C
∴∠C=36°
∴∠DGC=36°
∵∠C+∠DGC+∠D=180°
∴∠D=108°
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内
角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
题型五： 三角形内角和与角平分线的综合应用
13．如图，∠A=70°，P是△ABC内一点，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的度数为（
）
A．105° B．115° C．125° D．135°
【答案】C
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的性质求出
∠PBC+∠PCB的度数，进而可得出结论．【详解】解：∵在△ABC中，∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−70°=110°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
1 1
∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB)= ×110°=55°，
2 2
∴∠BPC=180°−55°=125°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、角平分线的相关计算，熟知三角形内角和是180°是解答此题的
关键．
14．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．
【答案】13°
【分析】本题利用了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质求解．
由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ABD中，可求得∠BAD的度数，AE是角平分线，有
1
∠BAE= ∠BAC，故∠DAE=∠BAD−∠BAE．
2
【详解】解：∵△ABC中，∠B=47°，∠C=73°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=60°．
∵AE平分∠BAC，
1
∴∠BAE= ∠BAC=30°．
2
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°．
∴∠BAD=90°−∠B=43°．
∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=13°．
15．如图，点E在AC上，点F在CB的延长线上，AB与EF交于点G，∠AGE=∠CED，ED平分
∠CEF．(1)求证：AB∥DE；
(2)若∠F=30°，∠AGE=50°，求∠C的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠C=50°
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠≝=∠CED，结合∠AGE=∠CED可得∠AGE=∠≝¿，根据
“内错角相等，两直线平行”可证AB∥DE；
（2）由ED平分∠CEF可得∠CEF=2∠CED=100°，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵ED平分∠CEF，
∴∠≝=∠CED，
∵∠AGE=∠CED，
∴∠AGE=∠≝¿，
∴AB∥DE；
（2）解：∵∠AGE=∠CED，∠AGE=50°，
∴∠CED=50°，
∵ED平分∠CEF，
∴∠CEF=2∠CED=100°，
∵∠C+∠CEF+∠F=180°，∠F=30°，
∴∠C=180°-100°-30°=50°．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的判定，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握平行线的判
定方法，牢记三角形内角和为180度．
题型六： 应用三角形内角和定理探究角的数量关系
16．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠BAC＝130°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．【分析】（1）由三角形的外角性质可求得∠ACD＝160°，再由角平分线的定义可得∠ECD＝80°，即可求
得∠E的度数；
（2）由角平分线的定义可得∠ECD＝∠ECA，再由三角形的外角性质可得∠ECD＝∠B+∠E，∠BAC＝
∠ECA+∠E，即可求解．
【详解】（1）解：∵∠B＝30°，∠BAC＝130°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝160°，
∵CE平分∠ACD，
1
∴∠ECD= ∠ACD＝80°，
2
∴∠E＝∠ECD﹣∠B＝50°；
（2）证明∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ECA，
∵∠ECD＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ECA+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的
关系．
17．在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于
D；
(1)如图1，当点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°时，求∠EFD的度数；
(2)如果点F在线段AE上（不与点A重合）时，如图2，直接写出∠EFD、∠C、∠B的数量关系．
【答案】(1)10°1
(2)∠EFD= (∠C−∠B)
2
【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分线的性质易得∠EAC
的度数，可得∠EFD；
1
（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE=90°− (∠C+∠B)，外角的性质得出
2
1
∠AEC=90°+ (∠B−∠C)，在ΔEFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD．
2
【详解】（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°−50°−30°=100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=50°．
在△ACE中∠AEC=80°，
在Rt△ADE中∠EFD=90°−80°=10°．
1
（2）∠EFD= (∠C−∠B)
2
证明：∵AE平分∠BAC，
180°−∠B−∠C 1
∴∠BAE= =90°− (∠C+∠B)
2 2
∵∠AEC为△ABE的外角，
1 1
∴∠AEC=∠B+90°− (∠C+∠B)=90°+ (∠B−∠C)
2 2
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°．
1
∴∠EFD=90°−[90°+ (∠B−∠C)]
2
1
∴∠EFD= (∠C−∠B)．
2
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题
的关键．
18．如图，AB∥CD，E为线段CD上一点，∠BAD＝n°，n＝15xy，且❑√x−1+(y−3) 2=0．(1)求n的值．
(2)求证：∠PEC﹣∠APE＝135°．
(3)若P点在射线DA上运动，直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A、D重合的情
况）
【答案】(1)n＝45
(2)见解析
(3)①当P在线段AD上时，∠PEC+∠APE＝225°②当P在A点左边时，∠PEC﹣∠APE＝45°
【分析】（1）根据非负数的性质可求x＝1，y＝3，再代入n＝15xy计算可求n的值．
（2）作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠APF＝135°，再根据平行线的性质得到∠PEC＝∠FPE，根据
等量关系即可求解；
（3）分两种情况：①当P在线段AD上时；②当P在A点左边时；进行讨论即可求解．
【详解】（1）解：∵❑√x−1+(y−3) 2=0，
∴x﹣1＝0，y﹣3＝0，
∴x＝1，y＝3，
∴n＝15×1×3＝45；
（2）证明：如图1，过P作PF∥AB，则∠APF＝180°﹣∠BAD＝135°
∵AB∥CD，
∴CD∥PF，
∴∠PEC＝∠FPE，∴∠PEC﹣∠APE＝∠APF＝135°；
（3）解：分两种情况：
①当P在线段AD上时，如图2，
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝∠BAD＝45°，
∴∠DPE+∠DEP＝180°﹣45°＝135°，
∴∠PEC+∠APE＝360°﹣135°＝225°；
②当P在A点左边时，如图3，
∵∠PEC＝∠APE+∠PDE，
∴∠PEC﹣∠APE＝∠PDE＝45°．
【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，几何图形中角度的计算，
数形结合是解题的关键．
题型七： 应用“AAS”证明两三角形全等
19．如图，AC 是∠BAE 的平分线，点 D 是线段 AC 上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：
△BAC≌△DAE．【分析】根据全等三角形的判定：AAS证明△BAC≌△DAE解答即可．
【详解】证明：∵AC是∠BAE的平分线，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
{∠BAC=∠DAE
)
∠C=∠E ，
AB=AD
∴△BAC≌△DAE（AAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．
20．如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
求证：△ABE≌△ACD；
【分析】利用“AAS”可证明△ABE≌△ACD；
【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
¿，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质，垂直的定义，关键是掌握全等三角形的判定方法．
21．如图，在四边形 ABCD中，BC＝CD，点E，F分别是BC，CD的中点，∠BAE＝∠DAF，∠B＝
∠D．
求证：AE＝AF．1 1
【分析】由BE＝CE= BC，DF＝CF= CD，且BC＝CD，推导出BE＝DF，而∠B＝∠D，∠BAE＝
2 2
∠DAF，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABE≌△ADF，则AE＝AF．
【详解】证明：∵点E，F分别是BC，CD的中点，
1 1
∴BE＝CE= BC，DF＝CF= CD，
2 2
∵BC＝CD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△ADF中，
{
∠B=∠D
)
∠BAE=∠DAF ，
BE=DF
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF．
【点睛】此题重点考查线段的中点定义、全等三角形的判定与性质等知识，推导出 BE＝DF进而证明
△ABE≌△ADF是解题的关键．
▲1.三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于 180 °.
符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则 ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °.
▲2.全等三角形的判定定理：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
▲3.全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.·······
