文档内容
1.1 三角形内角和定理 导学案
第2课时 三角形的外角
1.了解并掌握三角形的外角的定义.
2.掌握三角形的外角的性质，能进行简单的推理论证与数值计算.
学习重点：三角形外角等于不相邻两内角之和的证明与应用.
学习难点：将外角定理与平行线、全等等知识结合，灵活进行几何推理和计算.
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 .
符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则∠A +∠B +∠C = .
②两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形 (AAS).
③全等三角形的 相等， 相等.
2.情景引入
在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下面我
们就给这种角命名，并且来研究它的性质．新知自研：自研课本第4--6页的内容．
【学法指导】
自研课本P4-6页的内容，思考：
●探究一：三角形的外角
◆1、尝试思考
外角的定义：
ABC 内角的一条边与另一条边的 组成的角，叫作△ABC 的外角。
△
如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
问题1：画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？
问题2：△ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系与数量关系）
◆2、知识归纳
三角形的外角的特征：
①角的顶点是三角形的 ；
②角的一边是三角形的 ；
③另一边是三角形中一边的 .
如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
每一个三角形都有 个外角．
◆3、练一练如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
【解答】解：∠BEC是 的外角;
∠AEC是△BEC和 的外角;
∠EFD是△BEF和 的外角.
●探究二三角形外角的性质
◆1、思考交流
（1）如图，△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
（2）如图, ABC 的外角∠ACD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？
△
（3）请证明你的结论，并与同伴进行交流.
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.（尝试用不同的方法来证明）
得到推论：三角形的一个外角等于和 的两个内角的和.
(4) ABC的外角∠ACD与它不相邻的两个内角（∠A、∠B）的大小关系如何呢？
△得到推论：三角形的一个外角大于任何一个和 的内角.
像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.
◆2、方法归纳
三角形内角和定理的推论1：
三角形的一个外角等于和 的两个内角的和.
几何语言：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角，
∴ ∠ACD= + .
三角形内角和定理的推论2：
三角形的一个外角大于任何一个和 的内角.
几何语言：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＞ ,∠ACD＞ .
◆3、练一练
点P是△ABC内一点，连结BP并延长交AC于D，连结PC，则图中∠1、∠2、∠A 的大小关系是（
）
A.∠A＞∠1＞∠2 B.∠A＞∠2＞∠1
C.∠2＞∠1＞∠A D.∠1＞∠2＞∠A
【例题导析】
自研下面例1和例2的内容，回答问题：
典例分析
例1 如图，在△ABC中，∠B= ∠C，AD平分外角∠EAC.
求证：AD∥BC.【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EAC=∠B+ ,再根据角平分
线的定义可得∠DAC= ，从而得到∠DAC= ,然后根据 相等两直线平行证明即
可解答.
【解答】
例2 已知: 如图,P 是△ABC内一点,链接PB，PC .
求证: ∠ BPC ＞ ∠A.
【分析】根据△PDC外角的性质知： ∠ BPC ＞ ，根据△ABD外角的性质知： ∠ PDC ＞
从而可以证得结论.（还可以连接AP并延长交BC于点E，利用推论2证明.）
【证明】
第二环节 合作探究
小组群学在小组长的带领下：
A.猜想并证明外角的性质及其推论；
B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，尝试用不同的方法解答.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1.如图所示，AB∥CD，∠A = 45°，∠C=28°,则∠AEC的大小为( )
A.17° B.62° C63° D.73°
2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120° B.115° C.110° D.105°
3.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ ）
A.26° B.63° C.37° D.60°
4.将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示,若∠1=40°，则∠2=_____.
5. 如图所示，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC的平分线与△ACB 的外角∠ACE的平分线交于点D，则∠D
的度数为_____.6．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是_____.
7. （1）如图，∠BDC是________的外角,也是______的外角；
(2)若∠B=45 °，∠BAE=36 °,∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
8. 已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．
求证：∠1>∠2．
9.如图所示，∠B=20°，∠C=30°，∠A =95°，求∠BDC的度数.
题型一：利用三角形的外角性质求角度
1.如图所示，点D是∠ACB内一点，若∠1=35°，∠2=40°，∠ADB=145°，则∠ACB的大小为（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
2.如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠1，∠3=80°，∠BAC=70°．则∠2的大小是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
3.如图，已知△ABC中，∠BAC=3∠ABC=3∠ACB，CD是AB边上的高，求∠ACD度数．
题型二：利用三角形的外角性质比较大小
4.如图，∠1，∠2，∠3的大小关系正确的是（ ）
A．∠1=∠2+∠3 B．2∠2=∠1+∠3 C．∠3>∠2>∠1 D．∠1>∠2>∠3
5.如图，点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于D，连接PC，则图中∠1,∠2,∠A的大小关系是
（ ）A．∠A>∠2>∠1 B．∠A>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠A D．∠1>∠2>∠A
6.如图，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是( ).
A．∠A＞∠DOE＞∠BEC B．∠DOE＞∠A＞∠BEC
C．∠BEC＞∠DOE＞∠A D．∠DOE＞∠BEC＞∠A
题型三：利用三角形的外角性质与角平分线的综合
7.如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A ，得∠A ；∠A BC和∠A CD
1 1 1 1
的平分线交于点A ，得∠A ；…；∠A BC和∠A CD的平分线交于点A ，则∠A ＝ °．
2 2 2021 2021 2022 2023
8.如图，在△ABC中，AN是∠BAC的角平分线，∠B=50°，∠ANC=80°．求∠BAC和∠C的度数．
9.某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠A＝66°，则∠BPC＝ °；
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝ ，则
∠BEC＝ （用 表示∠BEC）； α
α（3）如图3，BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．试确定∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．
题型四：利用三角形的外角性质与平行线的综合
10.如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=40°，那么∠E的大小为（ ）
A．75° B．85° C．90° D．95°
11.如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（ ）
A．β=α+γ B．α+β+γ=180°
C．β+γ−α=90° D．α+β−γ=90°
12.如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，且EF∥BC，AD是∠BAC的平分线，分别交EF
，BC于点H，D，则∠1、∠2和∠3之间的数量关系为（ ）A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=2∠2+∠3 C．∠1+∠2=2∠3 D．
∠1+∠3=2∠2
题型五：利用三角形的外角性质解决折叠问题
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E处，若∠B＝65°，
则∠ADE的大小为（ ）
A．40° B．50° C．65° D．75°
14.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若
∠BA′C＝115°，则∠1+∠2的度数为 ．
15.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A′处，若∠A=28°，∠BD A′=90°，则∠A′EC
的大小为 ．
题型六：三角形有关角度关系的证明题16.如图：CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，请猜测∠BAC和∠B的大小关系，并说明理由.
17.已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：
∠1＞∠2．
18.如图，D，E分别是锐角△ABC的边AC，BC上的点，P是与△ABC在同一平面内的一动点，且与点
D，点E不在同一直线上，令∠CDP＝∠1，∠BEP＝∠2．
（1）如图1，当P是△ABC的边AB上的一点时，已知∠C＝60°，∠1＝110°，∠2＝65°，求∠DPE的度
数．（2）当P是△ABC内一点时，直接写出∠1，∠2，∠C和∠DPE之间的数量关系．
（3）如图2，当P是AB的延长线上一点时，探索∠1，∠2，∠C和∠DPE之间的数量关系并加以证明．
▲1、外角的定义：
ABC 内角的一条边与另一条边的 组成的角，叫作△ABC 的外角。
△▲2、三角形内角和定理的推论1：
三角形的一个外角等于和 的两个内角的和.
几何语言：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角，
∴ ∠ACD= + .
▲3、三角形内角和定理的推论2：
三角形的一个外角大于任何一个和 的内角.
∴∠ACD＞ ,∠ACD＞ .
