1.3 直角三角形 导学案
第2课时 直角三角形全等的判定
1.通过经历直角三角形全等“HL”定理的探索过程，进一步体会证明的必要性，并能运用该定理解决实际问
题。
2.能使用尺规作出指定斜边和直角边的直角三角形，培养动手操作能力。
学习重点：掌握直角三角形全等的“HL”判定及应用。
学习难点：在复杂几何情境下准确判断适用条件，并通过尺规作图综合运用“HL”定理。
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①判定一般三角形全等的条件有哪几种？
解 :SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS .
②判断：如图具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A′B′C′（其中∠C＝∠C′＝90°）是否全等，在（ ）里填写
理由；如果不全等，在（ ）里打“×”：
（1）AC＝A′C′,∠A＝A′ （ ）
（2）AC＝A′C′，BC＝B′C′ （ ）
（3）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ （ ）
（4）AC＝A′C′，AB＝A′B′ （ ）
解：ASA，SAS，×，？
2.情景引入
问题(1)：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?证明: 这是一个假命题, 只要举一个反例即可. 如图:
由图①和图②可知,这两个三角形全等;
由图①和图③可知,这两个三角形不全等;
因此, 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
问题(2)：如果其中一组等边的对角都是直角，那么这两个三角形全等吗？请你画一画，并与同伴进行交流.
新知自研：自研课本第28--30页的内容．
【学法指导】
自研课本P2-3页例题上面的内容，思考：
●探究一：直角三角形全等的判定
◆1.想一想
已知斜边和一条直角边，如何作出这个直角三角形呢?
(1)假设满足条件的直角三角形已经作出，你能画出这个直角三角形的草图吗?
【解答】解：能，如图画一个直角三角形，标记为△ABC，其中 ∠C=90∘.标出直角符号在点 C 处.
设已知的斜边为c，已知的一条直角边为 a.
在草图上标注：斜边 AB=c，直角边 AC=a.
(2)你是按照怎样的步骤画这个草图的?先画一画，再用尺规试一试，并与同伴进行交流。
【解答】解：①先定直角顶点： 先画一个直角，确定 直角顶点 C 和两条直角边所在的射线．
②截取已知直角边： 在其中一条射线上，用圆规截取已知长度的直角边（例如 BC=a），确定第二个顶点
B．
③确定斜边端点： 以点 B 为圆心，以已知斜边长度 c 为半径画弧，这条弧会与另一条直角边所在的射线
交于一点，这个点就是第三个顶点A．
④连接成三角形： 连接 A、B 两点．
◆2.新知探究
梳理上述作图过程，请你总结“已知直角三角形的斜边和一条直角边用尺规作这个三角形”的方法和步骤。
如图，已知线段a，c（a<c） .用尺规作Rt △ABC，使∠C= 90°，AB=c，BC=a.
请按照给出的作法作出相应的图形：
作法 图形
1.作射线CN.
2.过点C作射线CN的垂线CM.
3.在射线CM上截取CB=a.
4.以点B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射
线 CN于点 A.
5.连接 AB.
△ABC就是所要作的直角三角形.
思考：把你作的三角形与同伴作的三角形进行比较、它们一定全等吗?
猜想:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
验证你的猜想：
已知：如图, 在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=90°, AC=A′C ′, AB=A′B′.
求证：△ABC≌△A′B′C′ .
【证明】在△ABC中，
∵∠C=90°，
∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）.
同理，B'C'2=A'B'2-A'C'2
.
∵AB=A'B',AC=A'C',
∴BC=B'C'.
∴ △ABC ≌ △A'B'C'（SSS）.
◆3.知识归纳
“斜边、直角边”判定方法
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.几何语言：
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∵AB=A′B′,BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
◆4.练一练
如图，AC⊥BC于点 C，BD⊥AD于点D，要根据“HL”直接证明Rt△ABC 与Rt△BAD全等， 则还需要添
加一个条件是（ ）
A．∠CAB=∠DBA B. AB=BD
C．∠ABC=∠BAD D．BC=AD
解：D
【例题导析】
自研下面例1和例2的内容，回答问题：
典例分析
例1 如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子竖直方向的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，两
个梯子的倾斜角 ∠CBA和∠EFD的大小有什么关系？
【分析】已知Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EF,AC=DF,利用“HL”可判断两三角形全等,根据确定找对应角
相等,根据直角三角形两锐角的互余关系，确定∠CBA和∠EFD的大小关系.
【解答】解：根据题意，可知
∠BAC= ∠EDF=90°，
BC=EF，AC=DF，
∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）∴ ∠CBA= ∠DEF（全等三角形的对应角相等）
∵ ∠DEF+ ∠EFD=90°（直角三角形的两锐角互余）
∴ ∠CBA+ ∠EFD=90°.
例2 如图，已知∠A＝∠D＝90°，E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：
Rt△ABF≌Rt△DCE.
【分析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明.
【证明】
∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形．
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∵BF=CE,AB=DC
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨用尺规作直角三角形以及如何用斜边、直角边证明两个三角形全等；
B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，强调易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1．如图所示,∠C=∠D=90°,若利用“HL”可以判定Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需要添加的条件是 ( )
A.∠BAC=∠BAD B.BC=BD或AC=AD
C.∠ABC=∠ABD D.以上都不正确解：B
2.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是 ( )
A.一个锐角和斜边分别相等
B.两条直角边分别相等
C.两个锐角分别相等
D.斜边和一条直角边分别相等
解：C．
3.如图，∠C=∠F=90°，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是( )
A. AC=DF，BC=EF C.∠A=∠D，AB=DE
B. AC=DF，AB= DE D.∠B=∠E，BC=EF
解：B
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AC上，点E在边BC上，DE=AD,DF⊥AB于点F，AF=CE，连
接BD，若AB=10,CE=2，则线段BE的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
解：B．
5. 如下图，在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC 与 BD 交于点 O，则有
△______≌△______，其判定依据是_______，
还有△______≌△______，其判定依据是_____．
A D
O
B C
解：ABC,DCB,HL,ABO,DCO,AAS6.如图，在Rt△ADB，∠C=90°，E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥AB于点E，若AC=10，则AD+ DE的值
为 .
解：10
7.如图所示，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O.
求证:OB=OC.
证明: 在Rt△ABC和Rt△DCB中,
∵AB=DC,BC=BC,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),
∴∠ACB=∠DBC,
∴OB=OC.
8.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，若AD＝AF，AC＝AE.
求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，
∴∠D＝∠F＝90°.
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
∵AC=AE,AD=AF,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，
∴CD＝EF.
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
∵AB=AB,AD=AF,
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，
∴BD＝BF，
∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.9.如图，BE⊥CD，垂足为E，DF交BE于A，AE=CE,AD=BC.
(1)求证：BE=DE；
(2)求∠CFD的度数．
（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠AED=90°，
在Rt△BCE和Rt△DAE中，
AE=CE,AD=BC，
∴Rt△BCE≌Rt△DAE(HL)，
∴BE=DE；
（2）解：∵Rt△BCE≌Rt△DAE，
∴∠B=∠D，
∵∠BEC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠D+∠C=90°，
∴∠CFD=180°−∠C−∠D=90°.
题型一 直角三角形全等判定的条件
1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件
是（ ）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC【分析】根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】解：条件是AB＝CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
{AB=CD)
，
BE=CF
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此
题的关键．
2．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．ASA D．HL
【分析】根据HL证明Rt△ABD和Rt△CDB全等即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
{AD=BC)
，
BD=DB
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、
HL．以及三角形全等的性质．
3．如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，要根据“HL”证明 Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是
．【分析】根据“HL”所需要的条件即可得到答案．
【解答】解：Rt△ABC和△DCB有一条公共直角边，
根据“HL”证明Rt△ABC≌△DCB，应添加的直接条件是AB＝CD．
故答案为：AB＝CD．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
4．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ．
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或
“HL”）可得需要添加条件AB＝AC．
【解答】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
{AB=AC)
，
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解：斜边和一条直角边对应相等的两个
直角三角形全等．
题型二 利用“HL”直接判定两三角形全等
5．如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，BF＝DE．求证：△BAE≌△DCF．【分析】先根据垂直的定义得到∠AEB＝∠CFD＝90°，再证明BE＝DF，然后根据“HL”可判断
△BAE≌△DCF．
【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
∵BF＝DE，
∴BF+EF＝DE+EF，
即BE＝DF，
在Rt△BAE和Rt△DCF中，
{AB=CD)
，
BE=DF
∴Rt△BAE≌Rt△DCF（HL）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用
哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
6．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2，求证：Rt△ADE≌Rt△BEC．
【分析】由∠1＝∠2得DE＝EC，进而可依据“HL”判定Rt△ADE和Rt△BEC全等．
【解答】证明：∵∠A＝∠B＝90°，
∴△ADE和△BEC均为直角三角形，
∵∠1＝∠2，
∴DE＝EC，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
{DE=EC)
，
AE=BC∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）．
【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，准确识图，熟练掌握直角三角形全等的判定定理是解
决问题的关键．
7．如图所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，点E，F在BC上，且BE＝CF．求证：AF＝DE．
【分析】由BE＝CF，证明BF＝CE，而AB＝DC，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明
Rt△ABF≌Rt△DCE，得AF＝DE．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
{BF=CE)
，
AB=DC
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴AF＝DE．
【点评】此题重点考查等式的性质、全等三角形的判定与性质，推导出 BE＝CE 并且证明
Rt△ABF≌Rt△DCE是解题的关键．
8．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC，求证：EB＝FC．
【分析】先根据角平分线上的点到两边的距离相等证得 DE＝DF，再利用 HL 判定，
Rt△DBE≌Rt△DCF，从而得到EB＝FC．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF；
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∴在Rt△DBE和Rt△DCF中{DE=DF)
DB=DC
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；
∴EB＝FC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL
（在直角三角形中）．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角
对应相等时，角必须是两边的夹角．
题型三 利用直角三角形全等解决实际问题
9．如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可
以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重
合，则两堵木墙之间的距离为 cm．
【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再
根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
{∠ADC=∠CEB
)
∠DAC=∠BCE ，
AC=BC
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝9cm，DC＝BE＝21cm，
∴DE＝DC+CE＝30（cm），
答：两堵木墙之间的距离为30cm．
故答案为：30．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且
垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝ 时，△ABC和△PQA全等．
【分析】当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．
【解答】解：当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵∠C＝90°，AO⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
①当AP＝5＝BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
{AB=PQ)
BC=AP
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP＝10＝AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
{AB=PQ)
AC=AP
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：5或10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有 ASA，
AAS，SAS，SSS，HL．
11．如图，操场上有两根旗杆间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M点，此时
他测得 CM 和 DM 的夹角为 90°，且 CM＝DM，已知旗杆 AC 的高为 3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：
（1）请你求出另一旗杆BD的高度；
（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？
【分析】（1）首先证明△CAM≌△MBD，可得AM＝DB，AC＝MB，然后可求出AM的长，进而可得DB
长；
（2）利用路程除以速度可得时间．
【解答】解：（1）∵CM和DM的夹角为90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠DBA＝90°，
∴∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠D，
{∠A=∠B
)
在△CAM和△MBD中， ∠1=∠D ，
CM=MD
∴△CAM≌△MBD（AAS），
∴AM＝DB，AC＝MB，
∵AC＝3m，
∴MB＝3m，
∵AB＝12m，
∴AM＝9m，
∴DB＝9m；
（2）9÷0.5＝18（s）．
答：小强从M点到达A点还需要18秒．【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△CAM≌△MBD，掌握全等三角形的判定
定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
12．张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地
面上用力一蹬，妈妈在距地面1.1m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到
OA的水平距离BD，CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．
（1）△OBD与△OCE全等吗？请说明理由；
（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等）
【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠OBD＝∠COE，根据AAS即可证明△OBD≌△OCE；
（2）由全等三角形的性质得出OD＝CE＝2m，OE＝BD＝1.6cm，再求出DE的长则可得出答案．
【解答】解：（1）△OBD与△COE全等，理由如下：
由题意得：∠BDO＝∠OEC＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠OBD＝∠COE，
在△OBD和△OCE中，
{∠BDO=∠OEC
)
∠OBD=∠COE ，
OB=OC
∴△OBD≌△OCE（AAS）；
（2）由题意得：爸爸是在距离地面AE高的地方接住张华的，AD＝1.1cm，
由（1）得：△OBD≌△OCE，
∴OD＝CE＝2m，OE＝BD＝1.6cm，
∴DE＝OD﹣OE＝2﹣1.6＝0.4（m），
∴AE＝AD+DE＝1.1+0.4＝1.5（m），
答：爸爸是在距离地面1.5m高的地方接住小明的．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，由 AAS 证明
△OBD≌△OCE是解题的关键．
题型四 直角三角形的判定与性质的综合应用
13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
【分析】（1）先证明BD＝CD，再证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可；
（2）先证明AB＝AC，再利用等腰三角形的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，
{BD=CD)
，
BE=CF
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴∠B＝∠C；
（2）∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵D是BC的中点，
∴AD是△ABC底边上的中线，
∴AD也是△ABC底边上的高，即AD⊥BC．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记全等三角形的判定方法与等
腰三角形的三线合一是解本题的关键．
14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点B，C分别作BF⊥AD，CE⊥AD，垂足为E，F．
（1）求证：BF＝CE．
（2）若BF＝3，AE＝2，求AC的长．
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明△BFD≌△CED即可证得结论；
（2）利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠BFD＝∠CED＝90°
在△BFD和△CED中
{∠BFD=∠CED
)
∠BDF=∠CDE ，
BD=CD
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴BF＝CE；
（2）解：在△AEC中，CE＝BF＝3，AE＝2，
∴AC=❑√AE2+CE2=❑√22+32=❑√13．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂直定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点F、G分别为AC、AB上的一点，接GF并延长交BD延长线
于点E，若EF＝AB，DF＝DB，∠C+∠2＝180°，求证：CB⊥AB．
【分析】根据HL证明Rt△EDF≌Rt△ADB得出∠E＝∠A，推出∠AGE＝90°，再根据平行线的性质即
可推出结论．
【解答】证明：∵BD⊥AC，
∴∠EDF＝∠ADB＝90°，
在Rt△EDF和Rt△ADB中，
{EF=AB)
，
DF=DB
∴Rt△EDF≌Rt△ADB（HL），
∴∠E＝∠A，
在△ABD中，
∵∠A+∠1+∠ADB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠A+∠1＝90°，
∴∠E+∠1＝90°，
∴∠AGE＝∠E+∠1＝90°，
∵∠C+∠2＝180°
∴GE∥BC，（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠ABC＝∠AGE＝90°
∴CB⊥AB．
故答案为：EF＝AB，三角形内角和定理，∠E，同旁内角互补，GE∥BC，两直线平行．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，
证明Rt△EDF≌Rt△ADB是解题的关键．
16．如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，AB＝AC，BE＝CF．（1）求证：∠1＝∠3；
（2）若AM＝4cm，求AN的长度．
【分析】（1）由AB＝AC，BE＝CF，根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△ACF，得∠BAE＝∠CAF，则
∠BAE﹣∠2＝∠CAF﹣∠2，所以∠1＝∠3；
（2）由全等三角形的性质得AE＝AF，可根据“ASA”证明△AEM≌△AFN，AM＝AN＝4cm，AN的长
度是4cm．
【解答】（1）证明：在Rt△ABE和Rt△ACF中，
{AB=AC)
，
BE=CF
∴Rt△ABE≌Rt△ACF（HL），
∴∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAE﹣∠2＝∠CAF﹣∠2，
∵∠1＝∠BAE﹣∠2，∠3＝∠CAF﹣∠2，
∴∠1＝∠3．
（2）解：由（1）得Rt△ABE≌Rt△ACF，∠1＝∠3，
∴AE＝AF，
在△AEM和△AFN中，
{∠E=∠F
)
AE=AF ，
∠1=∠3
∴△AEM≌△AFN（ASA），
∴AM＝AN．
∵AM＝4cm，
∴AM＝AN＝4cm，
∴AN的长度是4cm．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，证明Rt△ABE≌Rt△ACF，进而证明△AEM≌△AFN
是解题的关键．▲“斜边、直角边”判定方法
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∵AB=A′B′,BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
