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1.3 直角三角形
题型一 直角三角形的两个锐角互余
1．（25-26八年级上·广东广州·期中）在 中， ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， 是高， ，若 ，
则 的长度为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．（25-26八年级上·吉林白山·月考）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多 ，则
两个锐角分别为 ．
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学科网（北京）股份有限公司4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在 中， ， ， 于点 ，则
= °
5．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，在 中， 为边 上的高， ，
．
(1)求 的度数．
(2)若斜边 在直线 上，请直接写出 的度数．
题型二 锐角互余的三角形是直角三角形
1．（2025八年级上·全国·专题练习）在 中， ，则 是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）由下列条件不能判断 是直角三角形的是（ ）
A． B．一个外角等于和它相邻的一个内角
C． D．
3．（2025八年级上·全国·专题练习）一个三角形中，如果两个角的和为 ，那么第三个角是
，这个三角形是 三角形．
4．（2025八年级上·全国·专题练习）在 中， ， ，则 ，
是 三角形．
5．（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的 ，且这个内角与另一个
内角互余，则这个三角形是 三角形．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）若 中， ，则 ， 是
三角形．
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学科网（北京）股份有限公司7．（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图， ，垂足为 ， 是线段 上一点， 交 于 ，
．求证： 是直角三角形．
题型三 写出命题的逆命题
1．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ．
2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是 ．
3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）命题“若 ，则 或 ．”的逆命题为 ．
4．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）写出“如果 ，那么 ”的逆命题． ．
5．（25-26八年级上·浙江台州·期中）写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题 ．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）命题“正多边形的各边相等”的逆命题是： ．
7．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题
．（填写“成立”或“不成立”）
8．（2025八年级上·北京·专题练习）写出命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题，并判断逆命题的真
假．
9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）（1）证明：等腰三角形两底角的角平分线相等；
（2）写出这个命题的逆命题：__________，它是一个______命题（填“真”或“假”）．
题型四 判断是否为互逆命题
1．（22-23八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题
2．（18-19八年级·全国·单元测试）下列命题的逆命题正确的是( )
A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余
C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等
3．（22-23八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而
第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原
命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定
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学科网（北京）股份有限公司理的 ．
4．（20-21八年级下·湖北孝感·期中）命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，
那么 ．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为 ， ， ，且 ，那么这个三角形
是直角三角形．则命题1与命题2是 命题．
5．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的
真假．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)互为相反数的两个数的和为零．
题型五 定理与证明
1．（25-26八年级上·全国·期中）下面关于公理和定理的说法正确的是（ ）
A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理
C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）“等角的余角相等”是（ ）
A．定义 B．不确定 C．定理 D．假命题
3．（25-26八年级上·云南昭通·月考）下列关于命题与定理的说法：
①一个条件命题一定有逆命题；
②真命题一定是定理；
③真命题的逆命题一定是真命题；
④假命题的逆命题一定是假命题．
正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2025八年级上·全国·专题练习）下列所学过的真命题中，是公理的是（ ）
A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等
5．（25-26八年级上·全国·周测）下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．内错角相等 D．同角的补角相等
6．（25-26八年级上·全国·课前预习）下面关于公理和定理的说法不正确的是（ ）
A．公理和定理都是真命题
B．真命题可能是定理
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学科网（北京）股份有限公司C．公理就是定理，定理也是公理
D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
7．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有 个．
①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除；
③ 是方程 的根；④三角形的内角和是 ．
题型六 互逆定理
1．（25-26八年级上·河南南阳·月考）下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．三个角都相等的三角形是等边三角形
C．全等三角形的对应角相等 D．等角对等边
2．（25-26八年级上·河南南阳·月考）下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（）
A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题
B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题
C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”
D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理
3．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）下列定理中，有逆定理的是（ ）
A．对顶角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．两个全等三角形的面积相等
D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
4．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理
是（ ）
A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等
B．对应角相等的两个三角形全等
C．对应边不相等的两个三角形不全等
D．全等三角形的对应边相等
5．（2025八年级上·全国·专题练习）“互逆定理”是指两个定理之间的关系，其中一个定理是另一个定理
的 ．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）一个定理有逆定理的条件是这个定理的 是真命题．
7．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等角的补角相等” (填“有”或“没有”)逆定理．
8．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆定理是： ．
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学科网（北京）股份有限公司9．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“如果 ，那么 ”的逆定理是： ．
题型一 角平分线与直角三角形问题
1．（24-25八年级上·北京·期中）如图， ， 是 的中点， 平分 ，且
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）在 中， ， ， 和 分别为 的高线
和角平分线，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在 中 ， ， 是 的平分线，
， ，则 ．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在 中， ， ，AF是 的平
分线，交边BC于点D．过点C作 中AD边上的高CE，则 的度数为 ．
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学科网（北京）股份有限公司5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在 中， 于点 ， 的角平分线 交
于点 ， 已知 ， 求 的度数.
6．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图，在 中， ， ， 平分 ，E
为 上一点， 于F．
(1)求 的度数．
(2)求 的度数．
题型二 平行线与直角三角形问题
1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）将一块含有 的直角三角板叠放在如图所示的直尺上，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图， 中， ， ．若 ，则
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学科网（北京）股份有限公司的度数为 ．
3．（2026·江西·模拟预测）如图，直线 ，直线c交直线a于点A，交直线b于点B， 直线c，若
，则 的度数为 ．
4．（25-26九年级上·重庆·月考）如图， ， 交 于点G，过点F作 交 于点H，
连接 ，若 平分 ， ，则 ．
5．（25-26八年级上·全国·期中）已知：如图， 是 的高，点E在 上，G在 上，
， ．求证： ．
6．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图， 的平分线交 的平分线于点 ，交 于点 ，
若 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的面积．
7．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）如图，在 中， ， 于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若点 在边 上， 交 的延长线于点 ，请说明 的形状．
题型三 特殊直角三角形问题
1．（24-25八年级下·云南红河·期末）一技术人员用刻度尺（单位： ）测量某三角形部件的尺寸，如图
所示，已知 ，点A，D，B对应的刻度数依次为0，4，8，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 的斜坡，已知 ，
点D为 的中点，从A滑行至B的过程中，下列说法错误的是（ ）
A． B． 为等边三角形
C． D．整个过程中下降的高度为
3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， ， 是边
上的一个动点，以 为顶点作 ，点 在边 上，则 的长度可以是（ ）．
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学科网（北京）股份有限公司A．4 B．6 C．8 D．10
4．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在 中， ， ， ， 为边 的中
点，点 ， 分别在边 ， 上， ，则四边形 的面积为（ ）
A．16 B． C．8 D．
5．（2025七年级下·全国·专题练习）一副三角板如图所示摆放，C，B，E三点共线， ，
， ．若 ，则 的度数为 ．
6．（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）如图，在等腰 中， ， ， 是
边上的一个动点，连接 ，则 的最小值为 ．
7．（25-26八年级上·湖北黄石·月考）已知 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角
形， ，点D在直线 上，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若点D在线段 上，如图1，求证： ；
(2)若D在 延长线上，如图2，其他条件不变，线段 、 、 有怎样的关系？说明理由；
(3)若D在CB的反向延长线上，如图3，其他条件不变，写出线段 、 、 的关系并证明．
题型一 直角三角形的综合应用
1．（25-26八年级上·广东珠海·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 ，我们称这
两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在 中，如果 ， ，
那么 与 互为“友爱角”， 为“友爱三角形”．
(1)如图1， 是“友爱三角形”，且 与 互为“友爱角”（ ）， ．
①求 、 的度数．
②若 是 中 边上的高，则 、 都是“友爱三角形”吗？为什么？
(2)如图2，在 中， ， ， 是边 上一点（不与点 ， 重合），连接 ，
若 是“友爱三角形”，直接写出 的度数为______．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的 ，我们
称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在 中，如果 ，
，那么 与 互为“和谐角”， 为“和谐三角形”．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图①， 中， ， ，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．
________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
①②若 ，请判断 是否为“和谐三角形”，并说明理由．
(2)如图②， 中， ， ，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若
是“和谐三角形”，则 的度数为________．
3．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在 中， ，点 为 的中点．
(1)如图1，若 ，点 为 外一点，且 ，连接 ，过点 作 的垂线交
于 ，交 于点 ，交 的延长线于点 ．
①猜想 的度数，并证明你的猜想；
②连接 （自己连），求证： ．
(2)如图2，若 ，点 、 分别是 、 上的动点，且 ，连接 、 ，当
最小时，求 的度数．
4．（25-26八年级上·四川成都·期中）在 中， ， ，点 为 的中点，点 是
上一点．连接 ，过 作 交 ，于 ，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图 ． 与 相交于点 ；
①求证： ；
②当 ， 时，求 的长．
(2)如图 ，点 为 上一点，且 ， ，求 的值．
5．（25-26八年级上·福建福州·月考）初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题：
问题1：在 中， ， 是 中点，证明： ．
老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，
或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）请利用以上思路完成该证明．
问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财
物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三
棵树， ， ， 海盗头对一个水手说：“从 到 拉一根绳子，然后从 出发，沿着垂直于绳子的方向，
往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从 到 拉一
根绳子，然后从 出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地
点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把
财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了．
（2）设1号地点为点 ，2号地点为点 ，埋藏财宝的地点为点 ，连接 、 、 ，判断 的
形状，并证明．
（3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树 被台风刮走了，
没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树 、 还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏
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学科网（北京）股份有限公司宝的地点，并简要说明理由．
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