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1.3 直角三角形
题型一 直角三角形的两个锐角互余
1．（25-26八年级上·广东广州·期中）在 中， ，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余．
根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
故选：D．
2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在 中， ， 是高， ，若 ，
则 的长度为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握相关性质是解题关键；由
题意得 ，则 ，再可得 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是 的高，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：D．
3．（25-26八年级上·吉林白山·月考）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多 ，则
两个锐角分别为 ．
【答案】 和
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上
述知识点并能运用来求解．
通过设未知数，列方程求解两个锐角的度数．
【详解】解：设较小的锐角为 ，
则较大的锐角为 ．
根据直角三角形两锐角互余，得 ．
解得： ，
则 ．
故两个锐角分别为 和 ，
故答案为： 和 ．
4．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在 中， ， ， 于点 ，则
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学科网（北京）股份有限公司= °
【答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形两底角相等、直角
三角形两锐角互余是解题的关键．
先根据等腰三角形性质求出底角 的度数，再结合直角三角形两锐角互余求出 ．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，在 中， 为边 上的高， ，
．
(1)求 的度数．
(2)若斜边 在直线 上，请直接写出 的度数．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题主要考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质．
（1）根据三角形高的定义得出 ，根据 得出 ，
根据 ，求出结果即可；
（2）分两种情况：当点F在点C的右侧时，当点F在点C的左侧时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：∵ 为边 上的高，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：当点F在点C的右侧时，
；
当点F在点C的左侧时， ．
题型二 锐角互余的三角形是直角三角形
1．（2025八年级上·全国·专题练习）在 中， ，则 是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的判定．
由三角形的内角和定理，结合已知可得 ，即可求解．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是直角三角形．
故选：B．
2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）由下列条件不能判断 是直角三角形的是（ ）
A． B．一个外角等于和它相邻的一个内角
C． D．
【答案】C
【分析】根据判断三边能否构成直角三角形，三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形，
三角形的外角的定义及性质等知识，对各选项逐一验证，是否满足直角三角形条件，再作出判断．
【详解】解：∵三角形内角和为 ，
∵ ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，能判断为直角三角形，
故A不符合；
一个外角等于相邻内角，设外角为 ，相邻内角为 ，
则 ，
又 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，能判断为直角三角形，
故B不符合；
∵ ，
∴设 ， ， ，
则 ，
∴ ，
∴ ， ， ，无 角，
∴不能判断为直角三角形，
故C符合；
，由勾股定理逆定理， ，
∴能判断为直角三角形，
故D不符合，
故选：C．
【点睛】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角
三角形，三角形的外角的定义及性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
3．（2025八年级上·全国·专题练习）一个三角形中，如果两个角的和为 ，那么第三个角是
，这个三角形是 三角形．
【答案】 直角
【分析】本题考查直角三角形的判定．
由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型．
【详解】解：∵一个三角形中，两个角的和为 ，
∴第三个角是 ，
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为： ，直角．
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学科网（北京）股份有限公司4．（2025八年级上·全国·专题练习）在 中， ， ，则 ，
是 三角形．
【答案】
直角
【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得 ，即可判断三角形的类
型．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
故答案为： ，直角．
5．（2025八年级上·全国·专题练习）若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的 ，且这个内角与另一个
内角互余，则这个三角形是 三角形．
【答案】直角
【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方
程，求出各内角度数，进而判断三角形类型．
【详解】解：设这个内角为 ，则相邻外角为 ，而内角与外角的和为 ，
∴ ，
解得： ，
设另一个内角为 ，根据互余条件： ，
，
此时第三个内角为： ，
∴这个三角形是直角三角形；
故答案为：直角．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）若 中， ，则 ， 是
三角形．
【答案】 直角
【分析】本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定．
利用三角形内角和定理求出 的度数，再根据角度关系判断三角形的类型．
【详解】解：在 中， ．
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学科网（北京）股份有限公司， ，
则 ．
是直角三角形．
故答案为： ，直角．
7．（25-26八年级上·吉林白城·期末）如图， ，垂足为 ， 是线段 上一点， 交 于 ，
．求证： 是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得 即
可．
【详解】证明： ，
，
， ，
， ，
， ，
，
是直角三角形．
题型三 写出命题的逆命题
1．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为 ．
【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形
【分析】本题考查了逆命题的定义，掌握互逆命题的定义是解题的关键．找出原命题的题设和结论，交换
后即可得逆命题．
【详解】解：原命题的题设：三角形是直角三角形，结论：两个锐角互余，
交换题设和结论后，逆命题为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．
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学科网（北京）股份有限公司2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）“等腰三角形的两个底角相等”这个命题的逆命题是 ．
【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形
【分析】本题考查逆命题，将原命题的题设和结论互换，写出逆命题即可．
【详解】解：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形；
故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形．
3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）命题“若 ，则 或 ．”的逆命题为 ．
【答案】若 或 ，则
【分析】本题考查了命题和逆命题，将原命题的条件和结论互换即可求解，找出原命题的条件和结论是解
题的关键．
【详解】解：命题“若 ，则 或 ．”的逆命题为“若 或 ，则 ”，
故答案为：若 或 ，则 ．
4．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）写出“如果 ，那么 ”的逆命题． ．
【答案】如果 ，那么
【分析】本题考查写出逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换即可．
【详解】解：原命题的题设是“ ”，结论是“ ”，互换后得到逆命题“如果 ，那么
”．
故答案为：如果 ，那么 ．
5．（25-26八年级上·浙江台州·期中）写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题 ．
【答案】如果对顶角相等，那么两直线平行
【分析】本题考查了写逆命题．
逆命题是通过交换原命题的条件和结论而得到的新命题．原命题“两直线平行，对顶角相等”是一个条件
命题，可以表述为“如果两直线平行，那么对顶角相等”．
【详解】解：原命题的条件是“两直线平行”，结论是“对顶角相等”，
交换条件和结论，得到逆命题“如果对顶角相等，那么两直线平行”．
故答案为：如果对顶角相等，那么两直线平行．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）命题“正多边形的各边相等”的逆命题是： ．
【答案】各边相等的多边形是正多边形
【分析】本题考查了互逆命题，逆命题是将原定理的条件和结论互换，原命题的条件是“正多边形”，结
论是“各边相等”，因此逆命题是“各边相等的多边形是正多边形”．
【详解】解：命题“正多边形的各边相等”的逆命题是“如果多边形的各边相等，那么它是正多边形”，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：各边相等的多边形是正多边形．
7．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题
．（填写“成立”或“不成立”）
【答案】不成立
【分析】本题主要考查了逆命题、判断命题真假等知识点，灵活运用举反例判定命题是假命题是解题的关
键．
先写成逆命题，再通过反例判断逆命题的真假即可解答．
【详解】解：原命题的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等”． 举反例，如
，但 ，所以逆命题不成立．
故答案为：不成立．
8．（2025八年级上·北京·专题练习）写出命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题，并判断逆命题的真
假．
【答案】逆命题：同位角相等，两直线平行；真命题
【分析】本题主要考查的是写出一个命题的逆命题的方法的知识点，简单概括为条件和结论互相交换位置
就是互逆命题的联系，此命题和逆命题都是常见的平行线的判定和性质，都是真命题．
【详解】解：∵原命题的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”，
∴交换题设和结论得到逆命题：“同位角相等，两直线平行”，
这个逆命题是真命题，是平行线的判定定理．
故答案为：逆命题：同位角相等，两直线平行；真命题．
9．（25-26八年级上·陕西西安·月考）（1）证明：等腰三角形两底角的角平分线相等；
（2）写出这个命题的逆命题：__________，它是一个______命题（填“真”或“假”）．
【答案】（1）见详解
（2）如果一个三角形的两个底角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理证明两条角平分线相等；
（2）写出原命题的逆命题并判断其真假即可．
【详解】（1）证明：设等腰三角形 中， ， 为 的角平分线， 为 的角平分线，
如下图，
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学科网（北京）股份有限公司∵
∴
∵ 平分 ， 平分
∴ ，
∴
在 和 中
，
∴ ，
∴ ；
（2）逆命题：如果一个三角形的两个底角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形
它是一个真命题．
故答案为：如果一个三角形的两个底角的角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形，真．
题型四 判断是否为互逆命题
1．（22-23八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题
【答案】A
【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可．
【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”
“相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”
条件和结论互换，所以是互为逆命题．
定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题，
所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理．
故选：A．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键．
2．（18-19八年级·全国·单元测试）下列命题的逆命题正确的是( )
A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余
C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等
【答案】B
【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确．
【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题；
B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题；
C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题；
D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，
比较简单．
3．（22-23八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而
第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原
命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定
理的 ．
【答案】 结论 条件 逆命题 逆定理
【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题
的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一
个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫
它是原定理的逆定理，进行作答即可．
【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命
题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆
命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理．
故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理．
【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
4．（20-21八年级下·湖北孝感·期中）命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，
那么 ．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为 ， ， ，且 ，那么这个三角形
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学科网（北京）股份有限公司是直角三角形．则命题1与命题2是 命题．
【答案】互逆
【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题
的题干和结论，则称它们为互逆命题．
【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题，
故答案为：互逆
【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键．
5．（23-24八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的
真假．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)互为相反数的两个数的和为零．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查命题书写及判断真假：
（1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案；
（2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
“若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等，
∵三角形全等对应边相等，
∴该命题是真命题，
逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题；
（2）解：由题意可得，
“若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零，
∵两个互为相反的数和为0，
∴是真命题，
逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题．
题型五 定理与证明
1．（25-26八年级上·全国·期中）下面关于公理和定理的说法正确的是（ ）
A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理
C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互
关系．
根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性．
【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明
的真命题．
A：公理和定理都是真命题，此说法错误；
B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误；
C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确；
D：公理无需证明即可使用，此说法错误．
故选：C．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）“等角的余角相等”是（ ）
A．定义 B．不确定 C．定理 D．假命题
【答案】C
【分析】本题考查几何命题的分类、余角的定义，根据余角的定义进行判断即可．
【详解】解：设 ，则 的余角为： ， 的余角为 ，
∵ ，
∴ ，
即等角的余角相等，
∴“等角的余角相等”是一个真命题，且是经过证明的，故为定理，
故选：C．
3．（25-26八年级上·云南昭通·月考）下列关于命题与定理的说法：
①一个条件命题一定有逆命题；
②真命题一定是定理；
③真命题的逆命题一定是真命题；
④假命题的逆命题一定是假命题．
正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理的基本概念，包括逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的
真假性，熟练掌握相关概念是解题关键．根据逆命题的存在性、真命题与定理的关系，以及逆命题的真假
性逐个判断即可得．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：①对于任何一个条件命题，都可以通过交换它的条件和结论得到其逆命题，所以一个条件命
题一定有逆命题；原说法正确；
②真命题不一定都是定理；定理是经过证明的真命题，但有些真命题可能未被证明或不是基本定理，则原
说法错误；
③真命题的逆命题不一定是真命题；反例：原命题：对顶角相等为真命题，但其逆命题：相等的角是对顶
角为假命题；则原说法错误；
④假命题的逆命题不一定是假命题；反例：原命题：相等的角是对顶角为假命题；但其逆命题：对顶角相
等为真命题；则原说法错误；
故选：A．
4．（2025八年级上·全国·专题练习）下列所学过的真命题中，是公理的是（ ）
A．邻补角互补 B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．两数相乘，同号得正 D．同角的余角相等
【答案】B
【分析】本题考查了公理的概念以及对一些几何和代数真命题的理解，因为判断一个真命题是否为公理，
核心就是看它是否是无需证明的基本事实，是后续推理的基础，掌握公理的定义是解题的关键．
公理是无需证明的基本事实，来源于长期实践总结，而非推导，作为证明其他命题的依据；可通过其他知
识证明的命题、依赖具体运算或推导的规则都不是公理，以此为标准对选项逐个判断．
【详解】解：A、“邻补角互补” 是可以通过补角的定义等证明的定理，不符合题意；
B、“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行” 是人们在长期实践中总结出的基本事实，无需
证明，符合题意；
C、“两数相乘，同号得正” 是代数中的运算规律，可通过有理数乘法的定义等推导，不符合题意；
D、“同角的余角相等” 是可以通过余角的定义和等式的性质证明的定理，不符合题意．
故选：B．
5．（25-26八年级上·全国·周测）下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．内错角相等 D．同角的补角相等
【答案】D
【分析】本题考查定理的判断，掌握定理、命题的定义是关键．
根据定理的概念，逐一进行判定即可．
【详解】解：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意；
B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意；
D、同角的补角相等，是定理，符合题意．
故选：D．
6．（25-26八年级上·全国·课前预习）下面关于公理和定理的说法不正确的是（ ）
A．公理和定理都是真命题
B．真命题可能是定理
C．公理就是定理，定理也是公理
D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
【答案】C
【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键．
公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为
正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意；
B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题
意；
C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判
断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题
意；
D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
7．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有 个．
①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除；
③ 是方程 的根；④三角形的内角和是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命
题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命
题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论
证的，据此可以解决问题．
【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理；
②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理；
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学科网（北京）股份有限公司③把 代入 ，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理；
④三角形的内角和是 ，是经过证明的真命题，故是定理；
∴可以作定理的有2个
故答案为：2
题型六 互逆定理
1．（25-26八年级上·河南南阳·月考）下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等 B．三个角都相等的三角形是等边三角形
C．全等三角形的对应角相等 D．等角对等边
【答案】C
【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键在于判断其逆命题的真假．
分别写出各选项中定理的逆命题，再判断真假即可．
【详解】解：选项A：逆命题为“同位角相等，两直线平行”，是真命题，故A有逆定理，不符合题意要
求；
选项B：逆命题为“等边三角形的三个角都相等” ，是真命题，故B有逆定理，不符合题意要求；
选项C：逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，是假命题，故C没有逆定理，符合题意要求；
选项D：逆命题为“等边对等角”，是真命题，故D有逆定理，不符合题意要求；
故选：C．
2．（25-26八年级上·河南南阳·月考）下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（）
A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题
B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题
C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”
D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理
【答案】B
【分析】本题考查了逆命题与逆定理，根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否
是真命题即可．
【详解】解：A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命
题，故该选项正确，不符合题意；
B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项不正确，
符合题意；
C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项正确，不符合题意；
16 / 49
学科网（北京）股份有限公司D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项正
确，不符合题意；
故选：B．
3．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）下列定理中，有逆定理的是（ ）
A．对顶角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．两个全等三角形的面积相等
D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
【答案】D
【分析】本题考查逆定理的定义；判断每个定理的逆命题是否成立，若成立则有逆定理.
【详解】解：A、其逆命题为“相等的角是对顶角”，可举“等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶
角”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故A不符合题意；
B、其逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，可举“大小不一样的等边三角形所有的角都
相等，但不是全等三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故B不符合题意；
C、其逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”，可举“面积相同，但形状不一样的两个三角
形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故C不符合题意；
D、其逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，逆命题成立，有逆定理，故D符
合题意.
故选：D.
4．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理
是（ ）
A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等
B．对应角相等的两个三角形全等
C．对应边不相等的两个三角形不全等
D．全等三角形的对应边相等
【答案】A
【分析】本题考查互逆定理．
将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理．
【详解】解：“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆命题为“如果两个三角形的三条
边对应相等，那么这两个三角形全等”，
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学科网（北京）股份有限公司∵“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”是真命题，
∴定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是“如果两个三角形的三条边对应
相等，那么这两个三角形全等”．
故选：A．
5．（2025八年级上·全国·专题练习）“互逆定理”是指两个定理之间的关系，其中一个定理是另一个定理
的 ．
【答案】逆定理
【分析】本题考查了互逆定理．互逆定理是指两个定理之间，一个定理的题设和结论是另一个定理的结论
和题设．
【详解】解：在初中数学中，互逆定理描述的是两个定理互为逆定理的关系，即第一个定理的题设是第二
个定理的结论，第一个定理的结论是第二个定理的题设．
因此，其中一个定理是另一个定理的逆定理．
故答案为：逆定理．
6．（2025八年级上·全国·专题练习）一个定理有逆定理的条件是这个定理的 是真命题．
【答案】
逆命题
【分析】本题考查了定理与逆定理，命题与真假命题．
根据逆定理的定义，一个定理有逆定理的条件是其逆命题为真命题．
【详解】解：在数学中，定理是真命题，其逆命题是将原定理的条件和结论互换后得到的命题， 如果逆
命题也为真，则称为原定理的逆定理，
因此，空白处应填逆命题，
故答案为：逆命题．
7．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等角的补角相等” (填“有”或“没有”)逆定理．
【答案】有
【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；定理“等角的补角相
等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”．根据等式的性质即可得出其逆命题成立，即可求解．
【详解】解：定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”．
设两个角分别为 和 ，它们的补角分别为 和 ．
若补角相等，即 ，根据等式的性质，可得 ，
因此逆命题成立．故有逆定理．
故答案为：有
18 / 49
学科网（北京）股份有限公司8．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆定理是： ．
【答案】
每一组邻角都互补的四边形是平行四边形
【分析】本题考查互逆定理．将原定理的题设和结论互换可得逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则
该逆命题为原定理的逆定理．据此解答即可．
【详解】解：“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆命题是“每一组邻角都互补的四边形是平行四边
形”，
∵“每一组邻角都互补的四边形是平行四边形”是真命题，
∴定理“平行四边形的每一组邻角都互补”的逆定理是“每一组邻角都互补的四边形是平行四边形”．
故答案为：每一组邻角都互补的四边形是平行四边形．
9．（2025八年级上·全国·专题练习）定理“如果 ，那么 ”的逆定理是： ．
【答案】
如果 ，那么
【分析】本题考查互逆定理．
将原定理的题设和结论互换得到逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理．
【详解】解：“如果 ，那么 ”的逆命题为“如果 ，那么 ”，
∵“如果 ，那么 ”是真命题，
∴定理“如果 ，那么 ”的逆定理是“如果 ，那么 ”．
故答案为：如果 ，那么 ．
题型一 角平分线与直角三角形问题
1．（24-25八年级上·北京·期中）如图， ， 是 的中点， 平分 ，且
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，
先根据角平分线的定义求出 ，再根据直角三角形的两个锐角互余得出答案．
【详解】解：∵ 平分 ， ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
故选：B．
2．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）在 中， ， ， 和 分别为 的高线
和角平分线，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直定义，由三角形内角和定理可得
，通过角平分线定义可得 ，根据 ，
，从而求得 ，最后通过角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是
解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 的度数是 ，
故选： ．
3．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在 中 ， ， 是 的平分线，
， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线定义，垂直定义，直角三角形的性质，由角平分线定义得
，又 ，则 ，根据直角三角形性质可得 ，
最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵ ， 是 平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在 中， ， ，AF是 的平
分线，交边BC于点D．过点C作 中AD边上的高CE，则 的度数为 ．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】先利用直角三角形的内角和求出 的度数，再通过角平分线的定义得到 的度数，接着
在三角形中求出 的邻补角的度数，最后结合高的性质，利用直角三角形的两锐角互余计算出
的度数．
【详解】解：在 中， ，根据直角三角形两锐角互余，得：
，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ 中， ，根据三角形内角和为 ，得：
，
∵ 与 是对顶角，
∴ ，
∵ 是 边上的高，
∴ ，
在 中，根据直角三角形两锐角互余，得：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义及对顶角的性质，掌握直角三角形两锐角互余，
结合角平分线、对顶角的性质推导角度是解题的关键．
5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在 中， 于点 ， 的角平分线 交
于点 ， 已知 ， 求 的度数.
【答案】
【详解】本题考查了角的计算，三角形内角和定理，角平分线，高线的应用，熟练掌握三角形内角和定理
是解题的关键．根据题意，易得 ， 可知 的度数，利用三角形内角和定理，得 ，
结合角平分线，有 ， 即可得到结果．
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学科网（北京）股份有限公司【解答】解： ，
，
，
，
，
，
，
平分 ，
，
．
6．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）如图，在 中， ， ， 平分 ，E
为 上一点， 于F．
(1)求 的度数．
(2)求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理；
（1）由三角形内角和定理求出 ，再依据角平分线定义即可求出 ；
（2）由三角形内角和定理求出 ，再由 即可求出 .
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴
∵ 平分 ，
.
∴
（2）解：∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
.
∴题型二 平行线与直角三角形问题
1．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）将一块含有 的直角三角板叠放在如图所示的直尺上，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是直角三角形的性质及对顶角相等的有关知识，根据题意作出辅助线是解答此题的关
键．根据题意画出图形，再根据对顶角相等及直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图所示：
由对顶角相等可得 ，
∵此三角形是直角三角形，
∴ ，即 ．
故选：C．
2．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图， 中， ， ．若 ，则
的度数为 ．
【答案】 /38度
【分析】本题考查平行线的性质，直角三角形的性质，关键是由平行线的性质推出 ．由直角三
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学科网（北京）股份有限公司角形的性质求出 ，由平行线的性质推出 ．
【详解】解： ， ，
，
，
．
故答案为： ．
3．（2026·江西·模拟预测）如图，直线 ，直线c交直线a于点A，交直线b于点B， 直线c，若
，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
根据直角三角形锐角互余得到 ，再由平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵ 直线c， ，
∴ ，
∵直线 ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（25-26九年级上·重庆·月考）如图， ， 交 于点G，过点F作 交 于点H，
连接 ，若 平分 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义，熟知平行线的性质、角平分线的
定义及垂线的定义是解题的关键．
根据平行线的性质、角平分线的定义及垂线的定义进行计算即可．
【详解】解：∵ 平分 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
5．（25-26八年级上·全国·期中）已知：如图， 是 的高，点E在 上，G在 上，
， ．求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了平行线的判定，余角，掌握内错角相等两直线平行是解题的关键．
根据同角的余角相等，得到 ，结合 ，得到 ，根据内错角相等两直线平行，即可
求证．
【详解】证明： 是 的高，
，
，
，
，
，
，
．
6．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图， 的平分线交 的平分线于点 ，交 于点 ，
若 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义，平行线的判定，三角形全等的判定与性
质，勾股定理等：
（1）由直角三角形的两个锐角互余，结合角平分线的定义，可得 ，根据平行线的判
定即可证得结论；
（2）证明 ，从而求出 ，再用勾股定理求出 ，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：在 中， ，
分别平分
；
（2）解：∵ ， 平分 ，
∴在 和 中，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．
27 / 49
学科网（北京）股份有限公司7．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）如图，在 中， ， 于点 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若点 在边 上， 交 的延长线于点 ，请说明 的形状．
【答案】(1) ；
(2) 的形状是等腰三角形，理由见解析．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂直的定义，平行线的性质，掌握知
识点的应用是解题的关键．
（ ）由 ，则 ，所以 ，然后通过等腰三角形的“三
线合一”性质即可求解；
（ ）根据 ，得 ，然后由（ ）得， ，所以 ，最后通过等腰
三角形的判定即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（2）解： 的形状是等腰三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ；
由（ ）得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
题型三 特殊直角三角形问题
1．（24-25八年级下·云南红河·期末）一技术人员用刻度尺（单位： ）测量某三角形部件的尺寸，如图
所示，已知 ，点A，D，B对应的刻度数依次为0，4，8，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质．
由图求得 的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：由图可知 ，点D为边 的中点，
∵在 中， ，
,
故选：B．
2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为 的斜坡，已知 ，
点D为 的中点，从A滑行至B的过程中，下列说法错误的是（ ）
A． B． 为等边三角形
C． D．整个过程中下降的高度为
【答案】D
【分析】本题主要考查了含 直角三角形的性质，直角三角形斜边的一半等于斜边的一半，等边三角形
的判定，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．根据含 直角三角形的性质，直角三角形斜边的
一半等于斜边的一半，等边三角形的判定方法，逐项进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴整个过程中下降的高度为 ，
∵点D为 的中点，
29 / 49
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意．
故选：D．
3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， ， 是边
上的一个动点，以 为顶点作 ，点 在边 上，则 的长度可以是（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形的性质和等腰三角形的判定，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键．
由 ， 可以得出 是等腰三角形，故 越大， 就越大．当点D与点A重合时，
取最大值．计算出此时 的值，对比选项即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 越大， 就越大，
当点D与点A重合时， 取最大值，即 取最大值，如图，
30 / 49
学科网（北京）股份有限公司此时 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即点C为斜边 的中点，
∴ ，
∴点D运动过程中， ，只有选项A符合．
故选：A．
4．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在 中， ， ， ， 为边 的中
点，点 ， 分别在边 ， 上， ，则四边形 的面积为（ ）
A．16 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识，根据题意
得到 ， ， 证明 ，根据
即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：连接 ，如图：
∵ ， ， 为边 的中点， ，
∴ ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
5．（2025七年级下·全国·专题练习）一副三角板如图所示摆放，C，B，E三点共线， ，
， ．若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两个锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的
关键．
由 ， ，根据直角三角形两个锐角互余，即可求出 、 的度数，在 中
根据三角形内角和定理即可求出 的度数．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ， ．
，
，
，
，
，
即 的度数为 ．
故答案为： ．
6．（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）如图，在等腰 中， ， ， 是
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学科网（北京）股份有限公司边上的一个动点，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，掌握垂线段最短是解题的关键．由勾股
定理可得 的长，过点 作 于 ，由垂线段最短可得 ，由直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半可得 ，即可得解．
【详解】解：如图，过点 作 于 ，
在等腰 中， ， ，
，点 是 的中点，
，
由垂线段最短可知， ，
的最小值为 ．
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·湖北黄石·月考）已知 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角
形， ，点D在直线 上，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若点D在线段 上，如图1，求证： ；
(2)若D在 延长线上，如图2，其他条件不变，线段 、 、 有怎样的关系？说明理由；
(3)若D在CB的反向延长线上，如图3，其他条件不变，写出线段 、 、 的关系并证明．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性
质是关键．
（1）根据等腰直角三角形的定义，得到 ，即得 ，再证明
，可得 ，即可证明结论；
（2）类似于（1）的思路证明 即可；
（3）类似于（1）的思路证明 即可．
【详解】（1）证明： 和 都是等腰直角三角形，
，
，
， ，
，
，
；
（2）解： ；
理由：
和 都是等腰直角三角形，
，
，
， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
；
（3）解： ．
理由：
和 都是等腰直角三角形，
，
，
， ，
，
，
．
题型一 直角三角形的综合应用
1．（25-26八年级上·广东珠海·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 ，我们称这
两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在 中，如果 ， ，
那么 与 互为“友爱角”， 为“友爱三角形”．
(1)如图1， 是“友爱三角形”，且 与 互为“友爱角”（ ）， ．
①求 、 的度数．
②若 是 中 边上的高，则 、 都是“友爱三角形”吗？为什么？
(2)如图2，在 中， ， ， 是边 上一点（不与点 ， 重合），连接 ，
若 是“友爱三角形”，直接写出 的度数为______．
【答案】(1) ， ；② 、 都是“友爱三角形”，见解析
(2) 或 ①
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，一元一次方程与几何问题，理解
“友爱角”的概念和计算方法，掌握三角形内角和定理，几何问题与一元一次方程的综合运用是解题的关
键．
（1）①根据材料提示的“友爱三角形”得到 ，再根据直角三角形两锐角互余可得
，由此即可求解；②由 是 中 边上的高，得到 ，
根据三角形两锐角互余可得 ， ，结合 与 互为“友爱角”即可求解；
（2）根据三角形内角和定理，设 ，则 ，根据 是“友爱三角形”，分当
与 互为“友爱角”时， ，或 ；当 与 互为“友爱角”
时， ，或 ；当 与 互为“友爱角”时， ，或
，求解即可．
【详解】（1）解：①∵ 是“友爱三角形”， 与 互为“友爱角”（ ），
∴ ，
∵ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴ ，解得， ，
∴ ；
② 、 都是“友爱三角形”．理由如下：
∵ 是 中 边上的高，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理， ， ，
∴ ，
∵ 与 互为“友爱角”（ ），
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学科网（北京）股份有限公司∴ 与 互为“友爱角”，
∴ 是“友爱三角形”；
同理， 与 互为“友爱角”，
∴ 是“友爱三角形”；
（2）解：在 中， ，
设 ，
则 ，
∵ 是“友爱三角形”，
当 与 互为“友爱角”时，
，
或 ，
∵ ，
∴不符合题意，舍去；
当 与 互为“友爱角”时，
若 ，
则 ，
解得， ，
若 ，
则 ，
解得， ，
不符合题意，舍去；
当 与 互为“友爱角”时，
若 ，
则 ，
解得， ，
不符合题意，舍去；
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学科网（北京）股份有限公司若 ，
则 ，
解得， ，
不符合题意，舍去；
∴ 的度数为 或 ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：在一个三角形中，如果有一个角的度数是另一个角的 ，我们
称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”．例如：在 中，如果 ，
，那么 与 互为“和谐角”， 为“和谐三角形”．
(1)如图①， 中， ， ，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．
________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
①②若 ，请判断 是否为“和谐三角形”，并说明理由．
(2)如图②， 中， ， ，D是线段AB上一点（不与点A，B重合），连接CD．若
是“和谐三角形”，则 的度数为________．
【答案】(1) 是② 是“和谐三角形”，理由见解析
①
(2) 或
【分析】（1）①根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论；②根
据三角形内角和定理求出 的度数，由 可知 ，再求出各角的度数，进而可得出结论；
（2）由“和谐三角形”的定义可知分 或 两种情况求解，据此得出结论．
【详解】（1）解：① 是“和谐三角形”，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 是“和谐三角形”；
故答案为：是．
② 是“和谐三角形”．理由如下：
， ，
．
，
，
，
，
是“和谐三角形”．
（2）解： 或
【提示】由题意知， ， ．
， ，
，
．
又 ， ，
∴当 是“和谐三角形”时，分 或 两种情况求解．
当 时， ；
当 时，
，
．
综上所述， 的度数为 或 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了三角形内角和定理，以及新定义“和谐角”和“和谐三角
形”的概念，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键．
3．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在 中， ，点 为 的中点．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，若 ，点 为 外一点，且 ，连接 ，过点 作 的垂线交
于 ，交 于点 ，交 的延长线于点 ．
①猜想 的度数，并证明你的猜想；
②连接 （自己连），求证： ．
(2)如图2，若 ，点 、 分别是 、 上的动点，且 ，连接 、 ，当
最小时，求 的度数．
【答案】(1) 猜想 ，证明见解析；
②证明见解析①
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、线段
垂直平分线的性质．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形．
（1）①在 上截取 ，连接 ，可证 ，利用全等三角形的性质可得 是等腰
直角三角形，所以可知 ；
②根据角之间的关系可得 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证 ，
根据 可证 是 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证 ，根据等腰三角形的
性质可证结论成立；
（2）作 ，使 ，连接 ， ，可证 ，根据全等三角形的性质可知
，所以当点 ， ， 共线时， 取得最小值，可证此时 是等边三角形，
根据等边三角形的性质可证 ，根据全等三角形对应角相等可以求出 的度数．
【详解】（1）①解：猜想 ，
证明：如下图所示，在 上截取 ，连接 ，
在 和 中，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
；
②证明：连接 、 ，
， ，
，
， ，
，
，
，
点 为 的中点，
，
，
是 的垂直平分线，
，
，
，
；
41 / 49
学科网（北京）股份有限公司（2）解：如下图所示，作 ，使 ，连接 ， ，
，点 为 的中点，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
当点 ， ， 共线时，如图②， 取得最小值，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
42 / 49
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
，
．
4．（25-26八年级上·四川成都·期中）在 中， ， ，点 为 的中点，点 是
上一点．连接 ，过 作 交 ，于 ，连接 ．
(1)如图 ． 与 相交于点 ；
①求证： ；
②当 ， 时，求 的长．
(2)如图 ，点 为 上一点，且 ， ，求 的值．
【答案】(1) 证明见详解；
② ；①
(2) ．
【分析】（1）①利用等腰直角三角形“三线合一”的性质，结合垂直条件推导角相等，再通过 判定
三角形全等，进而得到边或角的关系；
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学科网（北京）股份有限公司②借助全等三角形的性质，结合等腰直角三角形的边长比例关系，设未知数建立方程求解边长；
（2）通过构造全等的辅助线（截取等长线段），利用全等三角形的对应边、对应角相等，结合外角性质
推导角的关系，结合勾股定理建立方程，求出线段长度的比例关系．
【详解】（1）①证明： 在 中， ， ，点 为 的中点，
， ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
；
② ，
，
，
是等腰直角三角形，
又 ， ，
，
，
，
在 和 中，
，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
设 ，则 ，
是等腰直角三角形，
，
，
解得： ，
；
（2）解：如图，在 的延长线上截取 ，连接 ，
，
，
， ，
由②知， ，
，
，
，
，
即 ，
，
，
设 ， ， ，
， ， ，
在 中，由勾股定理得， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练利用图
形中的角度、边长关系推导全等，结合方程思想求解是解题关键．
5．（25-26八年级上·福建福州·月考）初二某班开展数学综合与实践活动，遇到了如下几个问题：
问题1：在 中， ， 是 中点，证明： ．
老师给学生们提示解这类问题的思路：条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑“倍长”中线，
或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）请利用以上思路完成该证明．
问题2：有这样一个数学故事，从前，一群海盗用船装着他们抢来的财物，来到一个荒岛上，要把这些财
物埋下．因为怕时间久了会被人发现，所以他们来不及画标记位置的藏宝图了．但海盗们发现，岛上有三
棵树， ， ， 海盗头对一个水手说：“从 到 拉一根绳子，然后从 出发，沿着垂直于绳子的方向，
往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做1号地点．“海盗头又对另一个水手说：”从 到 拉一
根绳子，然后从 出发，沿着垂直于绳子的方向，往岛里走一段等于这段绳子的长度．这一点叫做2号地
点．”第二个水手也这样做了．等水手找到1号、2号地点的时候，海盗头便下令说：“伙计们，我们把
财宝埋在这两点的正当中吧！”海盗们把财宝埋好了，上船走了．
（2）设1号地点为点 ，2号地点为点 ，埋藏财宝的地点为点 ，连接 、 、 ，判断 的
形状，并证明．
（3）过了几个月，其中一个水手想利用这笔财宝救助难民，于是就偷偷回到岛上．可树 被台风刮走了，
没有留下一点儿痕迹，只有另外两棵树 、 还在，水手非常懊恼．请你利用作图的方式，帮助他找到藏
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学科网（北京）股份有限公司宝的地点，并简要说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） 为等腰直角三角形，见解析；（3）作图步骤：连接 ，作
且 ，取 中点，即为藏宝地点 ．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的三线合一性质，利用中点模型构造全等三角
形是解题关键．
（1）过点C作 ，交 延长线于点D，容易证明 ，由此得出 ，
，进而可证明 ，即可得出 ，由此证明 ；
（2）过点 作 ，交 延长线于点 ，连接 ，同理可以证明 ，进而可
得 ， ，再利用五边形 内角和为 ，结合 ， ，可得
，而 ，由此证明
，进而可得 ，得出 ， ，由
可得 是等腰直角三角形，再由 是中点得出
，即可得出 为等腰直角三角形．
（3）构造同（2）的 是等腰直角三角形，取 的中点即可．
【详解】（1）如图，过点C作 ，交 延长线于点D，
∴ ，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．，
（2） 为等腰直角三角形，
理由如下：
过点 作 ，交 延长线于点 ，连接
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵五边形 内角和为 ，即： ，
， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形．
（3）如图：连接 ，过点B作 ，且 ，取 中点 ，即为藏宝地点 ，
由作法可知： 是等腰直角三角形，
由（2）可知：藏宝地点 是 的中点 ．
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