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第四章 三角形
4.5 利用三角形全等测距离
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根
据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】C
【分析】由题意可知：被墨迹污染了的三角形保留了完整的两角及其夹边，于是可根据
ASA进行判断.
【详解】解：由题意可知：被墨迹污染了的三角形保留了完整的两角及其夹边，可根据
ASA画出一个与书上完全一样的三角形；
故选：C.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确理解题意、熟练掌握全等三角形的判定方法
是解题的关键.
2．（2023春·全国·七年级专题练习）庆阳湖国家水利风景区位于甘肃省庆阳市西峰区，依
托庆阳市城市雨洪集蓄工程而建，景区规划面积 ，其中水域面积 ，属于城市
河湖型水利风景区，亿万年前，这里是一个巨大的史前湖泊，范围之大，难以想象．如图，
小明利用全等三角形的知识测量庆阳湖两端M、N的距离，若 ，则只需测
出其长度的线段是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴要测量出M、N的距离，只需要测出线段 的长度即可，
故选B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．
3．（2022秋·广西南宁·八年级南宁三中校考期中）如图，要测量河两岸相对的两点A、B
的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点
A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE
的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（ ）
A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要
根据已知选择判断方法．
【详解】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，
∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、
ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个
三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距
离，小明同学在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，BC=CD，再画出BF的垂线DE，使
点E与A，C在同一条直线上，可得△ABC≌△EDC，从而DE=AB．判定△ABC≌△EDC的依
据是（ ）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要
根据已知选择判断方法．
【详解】解：在△ABC和△EDC中：
，
∴△ABC≌△EDC（ASA）．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
5．如图，将两根钢条 ， 的中点O连在一起，使 ， 可绕点O自由转动，就
做成了一个测量工件，则 的长等于内槽宽 ，那么判定 的理由是
（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
【答案】A
【分析】由已知有 ，且对顶角相等，则由SAS可判断 ，
从而问题解决．
【详解】由已知
∵
∴ (SAS)
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的几个判定方法是关键．
6．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，
另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离 与 的距离间的关
系是（ ）
A． B． C． D．不能确定【答案】C
【分析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木
桩上”可以判断 ，又 ， ，所以 ，所以
．
【详解】解： ，
，
由 ， ，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻
找三角形全等的条件．本题关键是证明 ．
二、填空题
7．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他
根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是__．
【答案】
【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的
判定方法解答即可．
【详解】解：小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三
角形，
他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）．
故答案为：ASA．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、
SAS、ASA、AAS、HL．
8．（2022秋·广东河源·八年级校考期末）如图，要测量水池宽 ，可从点 出发在地面
上画一条线段 ，使 ，再从点 观测，在 的延长线上测得一点 ，使
，这时量得 ，则水池宽 的长度是__m．【答案】120
【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】 ，
，
， ，
，
，
故答案为120．
【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问
题．
9．（2020秋·北京·八年级校考期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块
（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大
小的三角形?应该带______．依据__________________．
【答案】 2 角边角
【分析】应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行一一验证．
【详解】解：（1）1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，
所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，故应带第2块；
（2）第2块具备三角形全等的要素两角及夹边，所紧依据是角边角；
故答案为：2；角边角．
【点睛】此题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．
判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的两边分别在坐标轴上， ，
．点 是线段 上的动点，从点 出发，以 的速度向点 作匀速运动；
点 在线段 上，从点 出发向点 作匀速运动且速度是点 运动速度的 倍，若用
来表示运动 秒时 与 全等，写出满足 与 全等时 的所有
情况_____________．【答案】 或
【分析】当 和 全等时，得到OA＝CQ，OQ＝PC或OA＝PC，OQ＝QC，代入即
可求出a、t的值．
【详解】当 和 全等时，
OA＝CQ，OQ＝PC或OA＝PC，OQ＝QC
∵OA＝8=BC，PC＝2t，OQ＝2at，QC＝12−2at，代入得：
或 ，
解得：t＝2，a＝1，或t＝4，a＝ ，
∴ 的所有情况是 或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形的性质等知
识点，解此题的关键是正确分组讨论．
三、解答题
11．（2020秋·安徽铜陵·八年级铜陵市第二中学校考阶段练习）如图， ≌ ，
已知 ， ，求 的度数．
【答案】
【分析】由全等三角形的对应角相等知∠B=∠D=30°，然后由三角形外角定理来求∠EFC的
度数．
【详解】解：∵ ≌ ， ．
又∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质．全等三角形的对应边相等及全等三角形的对
应角相等是解题的关键．
12．（2020秋·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，AD=CB，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F是
垂足，AE=CF．求证：（1）AB=CD
（2）AB//CD．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用HL得到直角三角形ADE与直角三角形CBF全等，利用全等三角形的对
应边相等得到DE=BF，可得DF=BE，利用SAS得到三角形AEB与三角形CFD全等，利用全等
三角形的对应边相等即可得证；
（2）由全等三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得
证．
【详解】证明：（1） ，
，
∴DE=BF
∵ ，
∴ （SAS）
∴AB=CD；
（2）∵
∴
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的
关键．提升篇
一、填空题
1．（2020秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，
点E，F是AD上的任意两点、若 ， ，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】12
【分析】利用SSS证明 ADC≌△ADB，可得 ABD的面积= ACD的面积，通过拼接可得阴影
部分的面积= ABD的面积，再利用三角形的面积公式可求解．
△ △ △
【详解】解：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
△
∴△ADC≌△ADB（SSS），
∴S =S ，
ADC ADB
∵BC=8，
△ △
∴BD=4，
∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
∴EB=EC，FB=FC，
∵EF=EF，
∴△BEF≌△CEF（SSS）
∴S =S ，
BEF CEF
∵AD=6，
△ △
∴S =S = BD•AD＝ ×4×6＝12．
阴影 ADB
故答案为△：12．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积，理解S =S 是解题的
阴影 ADB
关键．
△
2．（2022秋·全国·八年级假期作业）如图，小明用 块高度都是 的相同长方体小木块，
垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放一个等腰直角三角尺 ，点 在
上，点 ， 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______ ．【答案】7
【分析】根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到
∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，
利用全等三角形的性质进行解答．
【详解】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD=EC=2cm，DC=BE=5cm，
∴DE=DC+CE=7（cm），所以两堵木墙之间的距离为7cm．
故答案为：7
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
3．（2020秋·北京海淀·八年级海淀实验中学校考期中）教材中有如下一段文字：
思考：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC，固定住长木棍，转
动短木棍，得到△ABD，这个实验说明了什么？
如图中的△ABC与△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB＝AB，AC＝AD，∠B
＝∠B，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角
形不一定全等．
小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两
个三角形全等．请你判断小明的说法_____．（填“正确”或“不正确”）
【答案】正确
【分析】根据题意画出图形，写出已知条件，然后可得∠ACG＝∠DFH，进而可根据全等三
角形的性质与判定进行分析问题．
【详解】解：小明的说法正确．
理由：如图，△ABC和△DEF中，AB＞AC，ED＞DF，AB＝DE，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，作AG⊥BC于G，DH⊥EF于H．
∵∠ACB＝∠DFE，
∴∠ACG＝∠DFH，
在△ACG和△DFH中， ，
∴△ACG≌△DFH，
∴AG＝DH，
在Rt△ABG和Rt△DEH中， ，
∴△ABG≌△DEH，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF．（当△ABC和△DEF是锐角三角形时，证明方法类似）．
故答案为正确．
【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定及三角形全等的性质与判定，熟练掌握直角
三角形全等的判定及三角形全等的性质与判定是解题的关键．
4．（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）如图， ，垂足为 ， ，
，射线 ，垂足为 ，动点 从点 出发，以 的速度设射线 运
动， 为射线 上一动点，随着点 运动而运动，且始终满足 ．设点 的运动
时间为 ，当 ______s时， 与 全等．【答案】6或10或16
【分析】根据题意可分点P在点B的左侧和右侧进行分类求解即可．
【详解】解：设点P的运动时间为t秒，由题意得： ，
①当点P在点B的左侧时，且满足 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ；
②当点P在点B的右侧时，且满足 ，则 ，
∴ ，即 ，
解得： ；
③当点P在点B的右侧时，且满足 ，则 ，∴ ，即 ，
解得： ；
综上所述：当 为6或10或16秒时， 与 全等．
故答案为6或10或16．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解
题的关键．
5．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，已知四边形 中， 厘米，
厘米， 厘米， ，点E为线段 的中点．如果点P在线段 上以
3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段 上由C点向D点运动．当点Q
的运动速度为______厘米/秒时，能够使 与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．
【答案】 或
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．
【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则 ， ，
∵ ，
∴①当 ， 时， ，
此时 ，
解得 ，∴ ，
此时，点Q的运动速度为 厘米/秒；
②当 ， 时， ，
此时， ，
解得 ，
∴点Q的运动速度为 厘米/秒；
综上所述，点Q的运动速度为3厘米/秒或 厘米/秒时，能够使 与以C、P、Q三点
所构成的三角形全等．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用．解决问题的关键是掌握全等三角形
的对应边相等．
二、解答题
6．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图1，在四边形 中，
，E，F分别是 上的点，且 ，
请猜想图中线段 之间的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化 ，四周修有步行小径，且
，在小径 上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一
池塘，不能直接到达经测量得到 ， 米， 米，试求两凉亭之
间的距离 ．
【答案】（1） ，证明见解析；（2） 米
【分析】（1）延长 到点G，使 ，连接 ，利用 证明 ，推出 ，再证明 ，据此即可得到
；
（2）延长 至H，使 ，连接 ，利用 证明 ，推出
，再证明 ，据此计算即可求解．
【详解】解：（1）猜想： ，
证明：如图1，延长 到点G，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）如图2，延长 至H，使 ，连接 ，∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 米， 米，
∴ （米）．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角
形是解题的关键．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老
师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走 有一树C，继续前行 到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处时停止行走；
④测得 的长为6米．
根据他们的做法，回答下列问题：
(1)河的宽度是多少米？
(2)请你证明他们做法的正确性．
【答案】(1)6米
(2)见解析
【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得 ；
（2）利用“角边角”证明 和 全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
【详解】（1）由数学兴趣小组的做法可知， ，
故河宽为6米
（2）由题意知 ， 米
又∵光沿直线传播
∴
又∵在 和 中
∴
∴ ．
即他们的做法是正确的．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
8．（2023·全国·九年级专题练习）【问题情境】如图，池塘的两端有 ， 两点，现需要
测量该池塘的两端 ， 之间的距离，需要如何进行呢？
【方案解决】
同学们想出了如下的两种方案：方案①：如图1，先在平地上取一个可直接到达 ， 的点 ，再连接 ， ，并分别
延长 至点 ， 至点 ，使 ， ，最后量出 的距离就是 的距
离；
方案②：如图2，过点 作 的垂线 ，在 上取 ， 两点，使 ．接着过
点 作 的垂线 ，在垂线上选一点 ，使 ， ， 三点在一条直线上，则测出
的长即是 的距离．
(1)方案①是否可行？请说明理由；
(2)方案②是否可行？请说明理由；
(3)李明同学提出在方案②中，并不一定需要 ， ，只需要__________就可
以了，请把李明所说的条件补上．
【答案】(1)方案①可行，理由见解析
(2)方案②可行，理由见解析
(3) ．
【分析】（1）利用 定理证明 可得 ；
（2）利用 定理证明 可得 ；
（3） ，可得 ，利用 定理证明 可得 ．
【详解】（1）可行，理由如下：
在 和 中，
，
，
；
（2）可行，理由如下：
， ，
，
在 和 中，，
，
；
（3）只需 即可，
，
，
在 和 中，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定与性质．
