文档内容
专题 18 圆锥曲线核心考点压轴小题全面梳理与分类解析
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................2
题型一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线.............................................................................2
题型二：蒙日圆.............................................................................................................4
题型三：阿基米德三角形.............................................................................................7
题型四：仿射变换问题.................................................................................................9
题型五：圆锥曲线第二定义.......................................................................................11
题型六：焦半径问题...................................................................................................13
题型七：圆锥曲线第三定义.......................................................................................15
题型八：定比点差法与点差法...................................................................................17
题型九：切线问题.......................................................................................................18
题型十：焦点三角形问题...........................................................................................21
题型十一：圆锥曲线的光学性质问题.......................................................................24
重难点突破：圆锥曲线与四心问题...........................................................................28
02 重难创新练.............................................................................................................31
题型一：阿波罗尼斯圆与圆锥曲线
1．希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆”.
后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中，点， ，若点 是满足 的阿氏圆上的任意一点，点 为抛物线 上的动点，
在直线 上的射影为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
化简整理得 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心1为半径的圆，
抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
则
，
当且仅当 （ 两点在 两点中间）四点共线时取等号，
所以 的最小值为 .故选：B.
2．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满
足 ，则 面积的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】设经过点A，B的直线为x轴， 的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB
的中点O为原点，建立平面直角坐标系.则 ， ．
设 ，∵ ，∴ ，
两边平方并整理得 ，即 ．
要使 的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时，
此时面积为 ．
故选：C.
3．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成
果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比 ，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点 为 轴上一点，
且 ，若点 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ，所以 ，
又 ，所以 ．
因为 且 ，所以 ，
整理可得 ，
又动点M的轨迹是 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，因为 ，
所以 的最小值为 ．
故选：C．
题型二：蒙日圆
4．加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线
的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图）．已知椭圆 ：， 是直线 ： 上一点，过 作 的两条切线，切点分别为 、 ，连接 （
是坐标原点），当 为直角时，直线 的斜率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由椭圆 ： 可知： ，
当如图长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为 和 ，
其对角线长为 ，因此蒙日圆半径为4，圆方程为 ，
当 为直角时，可知点当 在圆 ，
因为 到直线 的距离为 ，
所以直线 ： 为圆的切线，
因为直线 ， ，所以 .
故选：D.
5．法国数学家蒙日发现椭圆两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴和短半轴的平方和．如图所示为稀圆
x2 y2
E: + =1(a>b>0)及其蒙日圆 ，点 均为蒙日圆与坐标轴的交点， 分别与 相切于点
a2 b2
，若 与 的面积比为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，蒙日圆 为 ，设 ，
则直线 的方程为 ，
由 ，消 得到 ，
显然有 ，解得 ，
又 与 的面积比为 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，得到 ，所以 ，
故选：C.
6．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，其蒙日圆方程为
，M为蒙日圆上的一个动点，过点 作椭圆 的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，
若 面积的最大值为36，则椭圆 的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令椭圆 的半焦距为c，
由椭圆 的离心率 ，得 ， ，
因此椭圆 的蒙日圆方程为 ，由蒙日圆的性质得 ，
于是线段PQ是圆 的直径，即 ，
则 面积的最大值为 ，即 ， ，
所以椭圆 的长轴长为 .
故选：B题型三：阿基米德三角形
7．已知抛物线 的焦点为F，直线l与抛物线 在第一象限相切于点P，并且与直线 和x轴
分别相交于A，B两点，直线PF与抛物线 的另一个交点为Q．过点B作 交PF于点C，若
，则|PF|等于（ ）
附加结论：抛物线上两个不同的点A，B的坐标分别为A(x ,y )，B(x ,y )，以A，B为切点的切线PA，
1 1 2 2
PB相交于点P，我们称弦AB为阿基米德 的底边．
定理：点P的坐标为 ；
推论：若阿基米德三角形的底边即弦 AB过抛物线内定点 ，则另一顶点P的轨迹方程为
.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为直线PQ过抛物线的焦点 ，
由推论可知以PQ为底边的阿基米德三角形的另一个顶点P的轨迹方程为 ，
又因为切线PA与直线 相交于点A，
故 为抛物线的阿基米德三角形，AQ也与抛物线相切．如图，设点P，Q在直线 （抛物线的准线）上的射影分别为 ， ，
连接 ， ， 与x轴相交于点D．
由 可得 ．
因为 ，则 ．
又因为 ，所以 ．
设P(x ,y )，Q(x ,y )，则有 ①．
1 1 2 2
由定理可得 ，得 ，
即 ，故 ②．
联立①②两式，解得 ， ，
故 ．
故选：C．
8．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西
西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做
阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的
弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的 （即右图中阴影部分面积等于 面积的 ）．若抛物线方程为 ，且直线 与抛物线围成封闭图形的面积为6，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即 时，
，即 ，
故选：D．
题型四：仿射变换问题
9．过椭圆 的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则 面积最大值为 .
3
【答案】 /
2
【解析】作变换 之后椭圆变为圆，方程为 ， ，
由于 ，因此 时面积最大，
此时 ，
那么 ，故答案为：
10．已知A，B，C分别是椭圆 上的三个动点，则 面积最大值为 .
【答案】 /4.5
【解析】作变换 之后椭圆变为圆，方程为 ，
是圆的内接三角形，设 的半径为 ，
设 所对应边长为 ，所以
，当且仅当 时取等，
因为 在 上为凸函数，则 ，
，当且仅当
时取等，
所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此 ，又因为 ，
.
∴
故答案为： .
11．已知椭圆 左顶点为 ， 为椭圆 上两动点，直线 交 于 ，直线 交 于 ，
直线 的斜率分别为 且 ， （ 是非零实数），求
.【答案】1
【解析】解法1：可得点 ，设 ，则 ，
由 可得 ，即有 ，
， ，两边同乘以 ，可得 ，
解得 ，将 代入椭圆方程可得 ，由 可得
，可得 ；
故答案为： ．
解法2：作变换 之后椭圆变为圆，方程为 ，
，
设 ，则 ，
，
∴ ，
，
.
∴
故答案为： ．题型五：圆锥曲线第二定义
12．已知点 ，且 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上任意一点，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取椭圆的右焦点为 ，故 ,
由于 ,故 ，
因此 ，
故 的最小值为5，当且仅当 三点共线，且 在上半椭圆时取到最小值，
故选：B
13．设 、 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 作x轴的垂线交C于A、B两点，
其中点A在第一象限，且 .若P是C上的动点，则满足 是直角三角形的点P的个数为
（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由题 ，又 ， .
，即 （t为参数），取上顶点时 最大，此时 .
不会为直角， 只有当 或 是直角才符合题意，
所以由对称性可知满足 是直角三角形的点P的个数为4.
故选：C.
14．已知点 ， ，动点 满足 ，当点 的纵坐标是 时，点 到坐标原点
的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，由 ，得点 的轨迹是以 为焦点，
实轴长为2的双曲线右支，方程为 ，当 时， ，
所以点 到坐标原点的距离是 .
故选：A
题型六：焦半径问题
15．已知双曲线 ，焦点到一条渐近线的距离为 ，离心率 ，过左焦点F的直线l交
双曲线C的同一支于A，B两点，若 ，则 ．【答案】
【解析】令双曲线 左焦点 ，其渐近线方程为 ，
依题意， ，又 ，解得 ，
双曲线 的方程为 ， ，当直线 斜率存在时，设其方程为 ，
由 消去 得 ，
设 ，则 ，显然 ，
， ，
由 ，得
，
当直线 时，由 ，得 ， ，
所以 .
故答案为：
16．已知点A、B位于抛物线 上， ，点M为线段 的中点，记点M到y轴的距
离为d.若d的最小值为7，则当d取该最小值时，直线 的斜率 为 .【答案】 /
【解析】如图：分别从 作准线的垂线，垂足为 ,
(x +x y + y )
设A(x ,y ),B(x ,y )， 中点M 1 2, 1 2 ，
1 1 2 2 2 2
,则 到 轴的距离为 ，
当 到 轴的距离最小时， 最小，等号为 三点共线时取得，所以 ，解得
.
故抛物线方程为 ，当 三点共线时，设直线 的方程为 ，
与抛物线方程联立消去 得： ，所以 ，
所以 ，解得 （负根舍去）.
故答案为：
17．已知抛物线 和圆 ，过 点作直线 与上述两曲线自左而右依次交于点
，则 的最小值为【答案】
【解析】根据题意可知，抛物线 的焦点为(0,1)，
圆 的圆心为F(0,1)，半径为 ，即焦点与圆心重合，如下图所示：
设直线 的方程为 ，A(x ,y ),B(x ,y )，且 ， ，
1 1 2 2
联立直线和抛物线方程可得 ，
所以 ，
由抛物线定义可知 ，又易知 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立；
所以 的最小值为 .
故答案为：
题型七：圆锥曲线第三定义
18．“过原点的直线 交双曲线 于 ， 两点，点 为双曲线上异于 ， 的动点，
若直线 ， 的斜率均存在，则它们之积是定值 ”．类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：过原点的直线 交椭圆 于 ， 两点，点 为椭圆上异于 ， 的动点，若直线 ，
的斜率均存在，则它们之积是定值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用椭圆与双曲线方程形式上的类似，结合椭圆方程化简即可得到 的值.“过原点的直线
交双曲线 于 ， 两点，点 为双曲线上异于 ， 的动点，若直线 ， 的斜
率均存在，则它们之积是定值 ”，
类比双曲线的性质，可得出椭圆的一个正确结论：过原点的直线[交椭圆： 于 ，
两点，若直线 ， 的斜率均存在，则 ，
证明如下：
设 ，则 ，且 ，
设 ，
则 ，
所以
又 ， ，
代入可得：
故选：B
19．已知 是椭圆 上关于原点对称的两点，若椭圆 上存在点 ，使得直线 斜率的绝对值之和为1，则椭圆 的离心率的取值范围是 .
【答案】
【解析】分析：由 是椭圆 上关于原点对称的两点，易知 斜率之积为定值，结合均值不等式即
可建立关于 的不等式，从而得到椭圆 的离心率的取值范围.
不妨设椭圆C的方程为 , ,则 ，
所以 ，,两式相减得 ，所以 ，所以直线 斜率
的绝对值之和为 ，由题意得， ，所以 =4 ，即
，所以 ，所以 .
故答案为
题型八：定比点差法与点差法
20．已知椭圆 ，过点 的直线 与椭圆 交于 两点，若点 恰为弦 中点，则直线
斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设出 的坐标代入椭圆方程后，作差变形，根据斜率公式和中点坐标公式可得解.设
，则 ，
则 ， ，两式相减得 ，
所以 ，
即直线 斜率是 .
故选：C
21．已知椭圆 ，一组平行直线的斜率是 ，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段
的中点轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】设这组平行直线的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
由 可得 ，
则 ，所以它们与椭圆交点的中点坐标为 ，
即这些点均在轨迹 上，
即直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是 .
故答案为： ．
22．设 、 分别为椭圆 的左、右焦点，点A、 在椭圆上，若 ，则点A的坐标是 ．
【答案】 ， 或 ，
【解析】椭圆 中， ， ，
则左焦点 ， ，右焦点 ， ，设 ， ， ， ．则 ，
，
则有 ， 解得
由点 ， 在椭圆上，则有
解之得 ，或
故有 或 即 ， 或 ，
故答案为： ， 或 ，
题型九：切线问题
23．已知圆 与抛物线 相交于两点 ，分别以 为切点作 的切
线 . 若 都经过 的焦点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，由 消去 得： ，
则有 ，又 为圆的切线， ，由抛物线的定义得 ，即有 化简得： ，
解得 ，因此 ，整理得 ，
而 ，
所以 .
故选：C
24．已知双曲线 的虚轴长为4，C的一条渐近线与曲线 在 处的切
线垂直，M，N为C上不同两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，则 （ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】A
【解析】由题意可知： ，即 ．
又因为 ，则 ，可得 ，
即曲线 在 处切线的斜率 ，
由题意可知：双曲线C的一条渐近线为 ，即 ，解得 ，
所以双曲线C的方程为 ．
以MN为直径的圆经过坐标原点O，连接OM，ON，可知 ，
设直线OM的方程为 ，可知 ，
则直线ON的方程为 ，
联立方程 ，消去y整理得 ，
即 ，故 ，则 ，
同理可得： ，
所以 .
故选：A．
25．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过 向圆 引切线交椭圆于点
为坐标原点，若 ，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意画出图形，如下图：
设切点为M，连接 ，由已知 ，∴ ，
∵ ，∴ ，又 是 的中点，
圆 的半径为 ，
， ，
∴ ，即 ，得 ，
.
故选：C.
题型十：焦点三角形问题
26．已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，圆 与C交于
A，B两点，则 （点M为圆M的圆心）的面积为 ．
【答案】【解析】因为抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，
所以 解得 ．将 代入 得 ，解得 或1，
因为 ，所以 ，所以 ．因为点M到直线 的距离 ，
所以 ，
所以 的面积为 ．
故答案为： .
27．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于 两点，点 ，则当
的面积取得最大值时， ．
【答案】
【解析】由抛物线 的焦点为(0,1)，得 ，抛物线 ．
由 消去 得 ．因为 ，所以 ．
设A(x ,y )，B(x ,y )，则 ， ．
1 1 2 2
设直线 与 轴交于点 ，则 的面积
．设函数 ，则 ．
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值，即 的面积取得最大值．
故答案为：
28．已知抛物线 的焦点为F，准线为 过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作l
的垂线，垂足分别为M，N，若 ，则 的面积是 面积的 倍.
【答案】
【解析】设直线 ，
代入抛物线C方程，消元可得 ，
设 ， ，
则 ， ， ，
由 ，得 ， ， ，则 ，因为 ，
，
所以
，
由抛物线定义得 ， ，
则 ，
得 ，
所以 ，
即 ，
又 ，
则
故答案为： .题型十一：圆锥曲线的光学性质问题
29．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，抛
物线内部平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线
的焦点为 ，点 是抛物线 上一点，一条光线沿 射出，经过抛物线 上的点 （异于点 ）反射，
反射光线经过点 ，若 ，则抛物线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，
，设 ， ，直线AB的方程为 ，，
则 ，解得： ，
将 代入 得 ，
又因为 ，
即： ，即： ，
又因为 ，
所以 ，即： ，
所以抛物线方程为 .
故选：B.
30．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的
反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，从 发出
的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点 和 ，且 ，则 的离心率
为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知直线CA，DB都过点 ，如图，则有 ， ，
设 ，则 ，
所以 ，故 ，
所以 ，
因此 ，
在 ， ，
即 ，
整理得 即 ，解得 ，
所以 ，
令双曲线半焦距为c，
在 中， ，即 ，
解得 ，
所以 的离心率为 .
故选：B
31．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，从 发
出的光线经过图2中的 ， 两点反射后，分别经过点 和 ，且 ， ，则 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，直线 都过点 ，如图，有 ， ，
设 ，则 ，显然有 ， ，
，
因此， ，在 ， ，
即 ，解得 ，即 ，令双曲线半焦距为c，在 中， ，即 ，解得 ，
所以E的离心率为 .
故选：C.
重难点突破：圆锥曲线与四心问题
32．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，过焦点 的直线l与椭圆C相交于 两点，
椭圆C在 两点处的切线交于点P，则点P的横坐标为 ，若 的垂心为点H，则 的最小
值是 ．
【答案】 4
【解析】由椭圆C： 可知 ， ，
设 的方程为 ，设 ，
则由题意可得切线 的方程为 ，
同理切线 的方程为 ，
即 ，则 ，
即 ，所以P点的横坐标为4；
又 ，
故 的垂心为点H，则 ，故 的方程为 ， 的方程为 ，
将两方程联立解得 ，即 ，
故 ，
当且仅当 即 时取得等号，
故 的最小值为 ，
故答案为：4；
33．已知 三点均在抛物线 上.若抛物线的焦点 恰好是 的重心，则 的三条中线
的长度之和为 .
【答案】27
【解析】依题意，抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由重心的性质有 .
由抛物线的定义可知 ，
所以 的三条中线的长度之和为 .
故答案为：27.
34．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，圆 上的点到 的一条渐
近线的距离的最大值为 是双曲线 右支上一点，线段 与双曲线 的左支交于点 ，若 的
重心与内心重合，则直线 的方程为 ．
【答案】 或
【解析】 即 ，则圆心为 ，半径 ，原点 在圆的内部，则的渐近线与圆相交，
依题意可得圆心到渐近线的距离为 的渐近线方程为 ，
则 ， 得 ，
设双曲线的焦距为 ，则 ．由题不妨设 在 轴上方，
若 的重心与内心重合，则 为等边三角形，
．
由双曲线的定义得 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以在 中， ，
则 ，故直线 的斜率为 ．
由对称性可知，当 在 轴下方时，直线 的斜率为 ．
综上，直线 的方程为 或 ，即 或 ．
故答案为： 或 ．1．（2025·福建厦门·一模）过抛物线C： 的焦点F的直线l交C于A，B两点，交直线 于点
P，若 ，则 与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】抛物线C： 的焦点 ，准线方程为 ，
过A，B分别作直线 的垂线，垂足分别为M，N， ，
由 ，得 ，即 ，
所以 与 的面积之比为 .
故选：B
2．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线与抛物线交
于 两点， 为坐标原点，若直线 与 的斜率之和为2，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C【解析】设点 、 的坐标分别为 ， ，因为直线 过焦点 ，根据相关性质可知 ，
. 直线 ， 斜率之和为2，即 ，
由于 ， ，所以 .
又因为 ，所以 .
进而推出 .
直线 的斜率为 ，而 ，
对 进行变形，可得 .
则 ，那么 .
又因为前面已求得 ，所以 .
故选：C.
3．（2025·海南·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点P，Q在 的准线上且关于 轴对称， ，线段 与 分别相交于点 ，且 ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：
设PQ与 轴的交点为 ，则 .
又 ，
即 ，解得 ，
所以 .
作AN垂直 的准线于点 ，
则 ，
解得 ，
所以 ，
所以 的周长 .
故选：C
4．（2025·广东佛山·一模）在平面直角坐标系 中，满足不等式组 的点 表示的区
域面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意， ，
所以不等式组表示的区域是圆 与圆 公共的内部区域，
画出图象如下图所示， ，两圆半径都是 ，
设两个圆相交于 两点，则 ，
由于 ， ，
所以 是圆 的切线， 是圆 的切线，
同理 是圆 的切线， 是圆 的切线，
，所以四边形 是正方形，
所以区域面积为 .
故选：D
5．（2025·云南昆明·模拟预测）双曲线 的左､右焦点分别为 ，过 的直线l与双曲线的左､
右两支分别交于A，B两点，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在双曲线 中， ，渐近线方程为 ，
由对称性，不妨令点 在第一象限，设直线 的方程为 ， ，
由 消去 得 ，设 ， ，
则 ，令 ，联立消去 得 ，
整理得 ，而 ，即 ，解得 ，
因此 ，所以 的取值范围是 .
故选：B
6．（24-25高二上·天津武清·阶段练习）抛物线： 焦点为 ，准线与 轴交于K，点P为抛
物线上任意一点， 的角平分线与 轴交点为 ，则m最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，焦点F ，准线方程为x＝−1，过点P 作PM垂直于准线，M为垂足，由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1，
记∠KPF的平分线与 轴交于 ， ，
根据角平分线定理可得 ，
，
当 时， ，
当 时， ，
，
综上： ．
故选：B．
7．（24-25高三上·安徽亳州·期末）已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 交于 ，
两点，则 的面积为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】B
【解析】 .
解得： 或 ，由图， ，则 .又由题可得F(1,0)，则点F到PQ距离为 .
则 的面积为 .
故选：B
8．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知 分别为抛物线 的焦点，平行于x轴
的直线与 分别交于A，B两点，且 ，则四边形 为（ ）
A．任意不规则的四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．平行四边形
【答案】D
【解析】设A(x ,y ),B(x ,y )，根据题意知 ，即 ，故 ，
1 1 2 2
由抛物线的定义，知 ，
当 时， ，故 ，
所以 ，即四边形 是平行四边形.
故选：D9．（多选题）（24-25高三上·海南三亚·期末）设计一个实用的门把手，其造型可以看作图中的曲线
的一部分，则（ ）
A．点 在 上
B．将 在 轴上方的部分看作函数 的曲线，则 是 的极小值点
C．过 作 的切线，其与 的交点的横纵坐标均为有理数
D． 在 轴左边的部分到坐标原点 的距离均大于
【答案】AD
【解析】对于A，将点 代入曲线方程中，得到 ，即 ，所以点 在 上，因此，选项
A正确;
对于B，由于曲线 在 轴上方的部分是函数 的曲线，则 ，当
时，得到 ，
因此， 不是 的极小值点，所以，选项B是错误的；
对于C，由B中可知 ， 设切线方程为 ，即 .
将切线方程代入曲线方程中，得到： ，即 ，显然x=1是方程的根，，.
解得： 或 ，因此，选项C错误；
对于D，设 的解为 ， ，
.
当 时， ， 单调递增，
当 时 ， 单调递减，
， ，
， ，
所以 ，
设曲线上的点为 ，设 的解为 ，
则 ，则 ，
到原点 的距离为 ，
由 可得 ，
令 ，
，令 ，解得： ，
因为 ，所以取 ，
当 时， ，ℎ(x)单调递增，当 时， ，ℎ(x)单调递减，
， ，
所以当 时， ， ,选项D正确.
故选：AD
10．（多选题）（24-25高三上·贵州黔南·期末）已知直线y=k(x−1)与抛物线 交于 两点，
是抛物线的焦点，则下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则
B． 的最小值为5
C．过点 作 的垂线，垂足为 ，则 三点共线
D．以 为直径的圆与 相切
【答案】ACD
【解析】对于A：设A(x ,y ),B(x ,y )．当 时，由 ，得 ，
1 1 2 2
故 ，所以 ，A正确；
对于B：设直线倾斜角为 ，由 ，故 ，
同理 ，故 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，B错误；
对于 ，联立 ，得 ，所以 ，则 ．
因为 ，所以 ，所以 三点共线，所以C正确；
对于D：由题意知 是抛物线的准线，过点 作 垂直 于点 ，
过点 作 垂直 于点 ，取 的中点 ，
过点 作 垂直 于点 ，
所以 ，
所以以 为直径的圆与准线 相切，D正确，
故选：ACD．
11．（多选题）（2025·广东·一模）设双曲线 的左、右顶点分别为 为 上一点，且位
于第一象限，直线 交 轴于点 ，记 的面积为 ，则（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】BC【解析】依题意， ，设点 ，则 ，
直线 的斜率为 的斜率为 ，
对于A， ，A错误；
对于B，直线 的斜率为 ，则 ，即 ，B正确；
对于C，由对称性，得 ，由 ，得 ，
而 ，则 ，
，C正确；
对于D，由 ，得 ，则 ，
， ， ，D错误.
故选：BC
12．（24-25高三上·浙江·阶段练习）设 ， 为抛物线 上不同象限内的两点，且直线
的斜率为1．记 为原点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设直线 的方程为 ， ，由 消去 得： ， ，
，则 ， ,
, ，
，
，令 ，则 ，
，当 时， ，
当 ，即 时， ，
当 ，即 时， ，
因此 ，而 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：13．（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）在平面上给定相异两点 ，设点 在同一平面上且满足
，当 且 时， 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我
们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线 分别为双曲线的左、右焦点， 为
双曲线虚轴的上，下端点，动点 满足 面积的最大值为4.点 在双曲线上，且关于原点
对称， 是双曲线上一点，直线 和 的斜率满足 ，则双曲线方程是 ；
【答案】
【解析】设 ，
由题意知 ，可得 ，即 ，
整理得 ，可得圆心为 ，半径 ，
所以 的最大面积为 ，解得 ，即 ，
设 ，则 ，
则 ，可得 ，同理
则 ，则 ，
整理得 ，所以双曲线的方程为 .故答案为： .
14．（24-25高三上·贵州铜仁·期末）已知边长为 的等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在
抛物线 上，则 的方程是 ；设点 在直线 上，过点 的两条直线分
别与 相切于 两点，记直线 的斜率分别为 ，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】因抛物线和等边三角形均关于 轴对称，设等边三角形在第一象限的顶点坐标为 ，
则 ，即 ，
代入抛物线 ，解得 ，所以 ；
显然，过点 的切线斜率必存在，如图，可设过点P(x ,y )的切线 的方程为： ，
0 0
由 消去 ，可得 ，
因为直线 和抛物线 相切，所以
化简可得： ，即 （*），
依题意， 为方程（*）的两根，则 .
因为 ，所以
，当且仅当 时，等号成立，
即当 时， 取得最小值为3.
故答案为： ；3.
