1.3 直角三角形 第2课时 教学设计
1.教学内容
本节选自北师大版八年级下册第一章“三角形的证明及其应用”第1.3节“直角三角形 第2课时
”，核心知识点是直角三角形全等的“HL”判定。内容包括：由反例探究“两边及其夹角”不一定全等，
进而引出在直角三角形中斜边和一条直角边对应相等时的全等判定，以及用尺规作已知斜边与直角边
的直角三角形。
2.内容解析
教学重点在“HL”定理的正确理解与应用：如果两个直角三角形有一组斜边相等且另有一组直角
边相等，则这两个直角三角形全等。学生还需掌握用尺规作图的方法：给定直角边与斜边，依照“画
直角—截取边—作弧交射线—连接成三角形”的步骤完成作图。通过实例可引导学生理解理论并进行
运用。
1.教学目标
•通过经历直角三角形全等“HL”定理的探索过程，进一步体会证明的必要性，并能运用该定理解决实
际问题。
•能使用尺规作出指定斜边和直角边的直角三角形，培养动手操作能力。
2.目标解析
•理解“HL”判定及证明过程，并运用到几何推理和计算。
• 聚焦作图实践，要求学生能根据已知条件规划作图流程，熟练使用工具完成构图。
3.重点难点
• 教学重点：掌握直角三角形全等的“HL”判定及应用。
• 教学难点：在复杂几何情境下准确判断适用条件，并通过尺规作图综合运用“HL”定理。
学生已具备三角形常规全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS）基础，也了解勾股定理。对直角三角
形的特殊性质有所认识，但对“HL”判定的证明原理和作图步骤缺乏系统理解，需要通过操作与讨论加
深认知。运用所学几何知识综合解题仍是难点，需多加演练。创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①判定一般三角形全等的条件有哪几种？
解:SSS、SAS、ASA 、 AAS.
②判断：如图具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A′B′C′（其中∠C＝∠C′＝90°）是否全等，在（ ）里
填写理由；如果不全等，在（ ）里打“×”：
（1）AC＝A′C′,∠A＝A′ （ ）
（2）AC＝A′C′，BC＝B′C′ （ ）
（3）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ （ ）
（4）AC＝A′C′，AB＝A′B′ （ ）
解：ASA，SAS，×，？
2.情景引入
问题(1)：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?
证明: 这是一个假命题, 只要举一个反例即可. 如图:
由图①和图②可知,这两个三角形全等;
由图①和图③可知,这两个三角形不全等;
因此, 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
问题(2)：如果其中一组等边的对角都是直角，那么这两个三角形全等吗？请你画一画，并与同伴进行
交流.
【设计意图】引导学生在已有三角形全等基本判定方法的基础上，通过对典型反例和直角三角形特殊
性的思考，激发探究兴趣，为新课“直角三角形全等的HL判定”做好铺垫，明确学习方向。
探究点1：直角三角形全等的判定
1.想一想
已知斜边和一条直角边，如何作出这个直角三角形呢?
(1)假设满足条件的直角三角形已经作出，你能画出这个直角三角形的草图吗?解：能，如图画一个直角三角形，标记为△ABC，其中 ∠C=90∘.标出直角符号在点 C 处.
设已知的斜边为c，已知的一条直角边为 a.
在草图上标注：斜边 AB=c，直角边 AC=a.
(2)你是按照怎样的步骤画这个草图的?先画一画，再用尺规试一试，并与同伴进行交流。
解：①先定直角顶点： 先画一个直角，确定直角顶点 C 和两条直角边所在的射线。
②截取已知直角边： 在其中一条射线上，用圆规截取已知长度的直角边（例如 BC=a），确定第二个
顶点 B。
③确定斜边端点： 以点 B 为圆心，以已知斜边长度 c 为半径画弧，这条弧会与另一条直角边所在的
射线交于一点，这个点就是第三个顶点A。
④连接成三角形： 连接 A、B 两点。
2.新知探究
梳理上述作图过程，请你总结“已知直角三角形的斜边和一条直角边用尺规作这个三角形”的方法和
步骤。
如图，已知线段a，c（a<c） .用尺规作Rt △ABC，使∠C= 90°，AB=c，BC=a.
请按照给出的作法作出相应的图形：
作法 图形
1.作射线CN.
2.过点C作射线CN的垂线CM.
3.在射线CM上截取CB=a.
4.以点B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射
线 CN于点 A.
5.连接 AB.
△ABC就是所要作的直角三角形.
教师提问：把你作的三角形与同伴作的三角形进行比较、它们一定全等吗?
可以发现:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
转化为几何语言：已知：如图, 在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=90°, AC=A′C ′, AB=A′B′.
求证：△ABC≌△A′B′C′ .
证明：在△ABC中，
∵∠C=90°，
∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）.
同理，B'C'2=A'B'2-A'C'2
.
∵AB=A'B',AC=A'C',
∴BC=B'C'.
∴ △ABC ≌ △A'B'C'（SSS）.
3.知识归纳
“斜边、直角边”判定方法
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.
几何语言：
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∵AB=A′B′,BC=B′C′,
∴Rt△ABC △ AR′tB△′C′ (HL).
4.练一练
如图，AC⊥BC于点 C，BD⊥AD于点D，要根据“HL”直接证明Rt△ABC 与Rt△BAD全等， 则还需
要添加一个条件是（ ）
A．∠CAB=∠DBA B. AB=BD
C．∠ABC=∠BAD D．BC=AD
解：D5.典例分析
例1 如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子竖直方向的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，
两个梯子的倾斜角 ∠CBA和∠EFD的大小有什么关系？
解：根据题意，可知
∠BAC= ∠EDF=90°，
BC=EF，AC=DF，
∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）
∴ ∠CBA= ∠DEF（全等三角形的对应角相等）
∵ ∠DEF+ ∠EFD=90°（直角三角形的两锐角互余）
∴ ∠CBA+ ∠EFD=90°.
例2 如图，已知∠A＝∠D＝90°，E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：
Rt△ABF≌Rt△DCE.
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形．
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∵BF=CE,AB=DC
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL).
【设计意图】通过“梯子高度与倾斜角”这一生活情境，学生更易理解HL定理在现实中的运用价值。
引入综合题型，强化学生对HL判定法的应用技能，逐步突破“直角三角形”全等的证明难点。
1．如图所示,∠C=∠D=90°,若利用“HL”可以判定Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需要添加的条件是 ( )
A.∠BAC=∠BAD B.BC=BD或AC=AD
C.∠ABC=∠ABD D.以上都不正确解：B
2.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是 ( )
A.一个锐角和斜边分别相等
B.两条直角边分别相等
C.两个锐角分别相等
D.斜边和一条直角边分别相等
解：C．
3.如图，∠C=∠F=90°，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是( )
A. AC=DF，BC=EF C.∠A=∠D，AB=DE
B. AC=DF，AB= DE D.∠B=∠E，BC=EF
解：B
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在边AC上，点E在边BC上，DE=AD,DF⊥AB于点F，
AF=CE，连接BD，若AB=10,CE=2，则线段BE的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
解：B．
5. 如下图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有
△______≌△______，其判定依据是_______，
还有△______≌△______，其判定依据是_____．
A D
O
B C
解：ABC,DCB,HL,ABO,DCO,AAS
6.如图，在Rt△ADB，∠C=90°，E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥AB于点E，若AC=10，则AD+
DE的值为____.解：10
7.如图所示，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O.
求证:OB=OC.
证明: 在Rt△ABC和Rt△DCB中,
∵AB=DC,BC=BC,
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),
∴∠ACB=∠DBC,
∴OB=OC.
8.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，若AD＝AF，AC＝AE.
求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，
∴∠D＝∠F＝90°.
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
∵AC=AE,AD=AF,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，
∴CD＝EF.
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
∵AB=AB,AD=AF,
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，
∴BD＝BF，
∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.
9.如图，BE⊥CD，垂足为E，DF交BE于A，AE=CE,AD=BC.
(1)求证：BE=DE；
(2)求∠CFD的度数．（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠AED=90°，
在Rt△BCE和Rt△DAE中，
AE=CE,AD=BC，
∴Rt△BCE≌Rt△DAE(HL)，
∴BE=DE；
（2）解：∵Rt△BCE≌Rt△DAE，
∴∠B=∠D，
∵∠BEC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠D+∠C=90°，
∴∠CFD=180°−∠C−∠D=90°.
【设计意图】巩固练习环节旨在让学生通过多样化题型进行针对性练习，进一步掌握“斜边、直角
边”判定方法（HL）及其应用，在不断地迁移和运用中熟练掌握几何推理的思路与技巧，提升综合解
题能力与逻辑思维水平。
主板书 副板书
1.3 直角三角形 第二课时 例题
探究点1 直角三角形全等的判定学生练习板演
课堂小结
1.必做题：习题1.3第3~6题。
2.探究性作业：习题1.3第9题。
