文档内容
1.3 直角三角形 导学案
第1课时 直角三角形的性质与判定
1.掌握勾股定理及其逆定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
2.证明直角三角形的性质定理与判定定理。
3.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
学习重点：勾股定理及其逆定理的理解与应用，直角三角形判定与性质。
学习难点：对互逆命题、逆定理的理解，以及灵活运用勾股定理与逆定理进行综合解题。
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①直角三角形的定义：
有一个内角是 的三角形叫作直角三角形.
②直角三角形的表示与构成：
(1)通常，我们用符号 “ △ABC”表示“直角三角形ABC ” .
(2)如图，直角所对的边称为直角三角形的 ，夹直角的两条边称为直角三角形的直角边．
2.情景引入
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的 13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉
成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？
我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？新知自研：自研课本第24--26页的内容．
【学法指导】
自研课本P24-26页的内容，思考：
●探究一：直角三角形的性质与判定
◆1.议一议
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
【解答】
【总结】定理：直角三角形的两锐角 .
（2）如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
【解答】
【总结】定理：有两个角 的三角形是直角三角形．
◆2.练一练
具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D．∠A＝∠B＝3∠C
●探究点2：勾股定理及其逆定理的证明
◆1.议一议
我们曾经用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.实际上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾
股定理（有关证明过程参见本节“阅读·欣赏”）.
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 .
(勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.)几何语言：
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 .
◆2.尝试交流
在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用测量的方法得出“这个三角形是直角三
角形”的结论.你能用基本事实和已有定理证明这一结论吗？与同伴进行交流.
已知：如图①，在△ABC中， AB2+AC2=BC2.
求证：△ABC是直角三角形.
【分析】要证明△ABC是直角三角形，一般需要证明有一个角是直角。这里的已知条件是边的关系，由此
你能想到什么?借助边的关系，你能构造一个直角三角形，使它与△ABC全等吗?
【证明】
◆3.知识归纳
勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于 的平方，那么这个三角形是直角三角形．
几何语言：如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形.
特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条
的平方和等于 的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对角为 .
◆4.练一练
下列线段a∶b∶c的值，能够组成直角三角形的是（ ）
A.3∶4∶6 B.5∶12∶13
C.1∶2∶4 D.1∶3∶5
●探究点3：互逆命题与互逆定理
◆1.观察交流
(1) 观察本节第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?第三个定理和第四个定理呢?
与同伴进行交流。
(2)观察下面三组命题:
①如果两个角是对顶角，那么他们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
②如果a=b，那么a2=b2；
如果a2=b2，那么a=b。
③一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等。
上面每组中两个命题的条件和结论有类似的关系吗？与同伴进行交流.
◆2.尝试思考
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？
一个命题是真命题,它的逆命题却 是真命题.
◆3.知识归纳
◎互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题称为 命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的 .
◎互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个 ,这两个定理称为
,其中一个定理称另一个定理的 .
例如本节课学习的第一个定理和第二个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互逆定
理.
【注意1】逆命题、互逆命题 是真命题，
但逆定理、互逆定理， 是真命题.
【注意2】不是所有的定理都有 .
◆4.练一练
下列说法中,正确的是 ( )
A.每个命题都有逆命题
B.假命题的逆命题一定是假命题
C.每个定理都有逆定理
D.真命题的逆命题一定是真命题
【例题导析】
自研下面的例1和例2的内容，回答问题：
典例分析
例1 如图，点D在△ABC中，∠BDC=90°，CD=3，BD=4，AC=12，AB=13．
（1）求BC长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】(1)根据勾股定理和∠BDC=90°，BD=4，CD=2,可以先求出BC的长;
(2)根据勾股定理的 先判断△ABC的形状，从而利用割补法求出阴影部分的面积
【解答】例2 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
【分析】写出各个命题的逆命题，作出判断即可解答.
【解答】
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨直角三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理以及如何判定互逆命题与互逆定理；
B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，总结解题方法.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1．在△ABC中，∠C=90°,∠A=2∠B，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°2.已知△ABC的三边分别为a,b,c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2=a2−c2 B．∠A+∠B=∠C
C．a=6,b=8,c=10 D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
3.在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，O为坐标原点．若要使△OAB是直角三角形，则点B的坐标不可
能是（ ）
A．(−4,2) B．(0,4) C．(4,2) D．(−2,2)
4.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结
论错误的是（ ）
A. AB=❑√5 B．AC=5 C．BC=2❑√5 D．∠ACB=30°
5. 给出下列四个命题，其中真命题的个数为（ ）
①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；
②一次函数y=3x-2，y随x的增大而增大；
③直角三角形两个锐角互余；
④三角形的一个外角大于任一内角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.命题“两直线平行，同位角相等.”的逆命题是______.
7.若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，它是直角三角形，则m的值为______．
8.若一个三角形的三边比为❑√3：❑√5：2❑√2,则此三角形是____三角形.
9.在△ABC中，AB=13 cm，AC=20 cm，BC边上的高AD的长为12 cm，则△ABC的面积为_____cm2.
1
10.如图，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝ AD，
4
求证：CE⊥EF.11.先判断下列命题的真假,再写出它的逆命题,最后指出其中的互逆定理.
(1)如果x2>0,那么x>0;
(2)长方形是正方形;
(3)内错角相等,两直线平行.
12.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．
(1)求证：∠ACD＝∠B.
(2)若AC＝3，BC＝4，AB＝5，求CD的长．
题型一：直接利用直角三角形的性质求角度
1．如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°
2．如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形ABC的直角顶点C，交斜边AB于点D；直尺的另一边缘分别
交AB、AC于点E、F，若∠B＝30°，∠AFE＝70°，则∠DCB＝ 度．
3．如图，已知EF∥GH，Rt△ABC的两个顶点A，C分别在直线EF，GH上，∠B＝90°，AB交GH于点
D，若CD平分∠ACB，∠FAC＝32°，则∠BAC的度数为（ ）
A．20° B．24° C．26° D．33°
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为
AC延长线上的一点，连接DF．
（1）若∠A＝40°，求∠DBE的度数；
（2）在（1）的条件下，若∠F＝25°，求证：BE∥DF；
（3）若BE∥DF，探究∠A、∠F有怎样的数量关系，直接写出答案，不用证明．题型二：直接利用直角三角形的与折叠问题
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 为 AC 边上一动点，将△CBD 沿着直线 BD 对折得到
△EBD．若∠ABD＝15°，则∠ABE的度数为 ．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边
上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ ．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是边AB上一点，点D是边AC上一点，将△ABC沿
PD折叠，使点A落在边BC上的A′处，若A′P∥AC，则∠PDA′的度数为 ．
8．如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70°，∠C＝90°，则∠2的度数为 ．题型三：直角三角形的判定
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9．在下列条件中：①∠A﹣∠B＝90°；②∠A＝∠B﹣∠C；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠ B= ∠C
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中，不能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，E是△ABC的边AC上一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D．若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角
形吗？为什么？
11．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．求证：△ACD是直角
三角形．12．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE；
（2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形．
题型四：勾股定理的逆定理
13．已知△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝2，c=❑√5 B．a＝40，b＝50，c＝60
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C．a= ，b＝1，c= D．a=❑√41，b＝4，c＝5
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14．如图，在四边形ABCD中，AB＝7cm，AD＝24cm，∠BAD＝90°，BC＝20m，CD＝15cm．
（1）连接BD，求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．15．在△ABC中，若AB＝2，AC＝6，BC＝2❑√10，求BC边上的高．
16．如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度
数．
题型五：逆命题和逆定理
17．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A．对顶角相等
B．全等三角形的面积相等
C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0
D．两直线平行，内错角相等
18．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
19．下列命题写出逆命题后，两者是互逆定理的是（ ）
A．若两条直线垂直，则两条直线有交点
B．若a+b＝0，则a与b相等
C．同位角相等，两直线平行
D．若直线a⊥c，b⊥c，则a∥b
20．先指出下列各命题的条件和结论，再写出它们的逆命题，并判断其真假：
（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
（2）等边三角形的每个角都等于60°；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）如果a＝b，那么a3＝b3．
▲1、直角三角形性质定理：直角三角形的两锐角 .
▲2、直角三角形判定定理：有两个角 的三角形是直角三角形．
▲3、勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于 的平方，那么这个三角形是直角三角形．
几何语言：如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形.
▲4、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论
是第二个命题的 ，那么这两个命题称为 命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的 .
▲5、互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个 ,这两个定理称为
,其中一个定理称另一个定理的 .
