文档内容
3.1 图形的平移
题型一 生活中的平移现象
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】C
8．
【答案】(1)图1，垂直；图2，平行，包含的运动是平移
(2)答案不唯一，见解析
【分析】本题主要考查垂直的定义和平行线的定义，熟练判断直线位置关系是解题的关键．
（1）根据垂直的定义和平行线的定义可直接得出结论；
（2）想象生活中的场景，属于垂直或平行关系即可．
【详解】（1）解：图1中支撑桥梁结构的直线与桥梁直线是垂直关系；
图2中楼梯的台阶边缘直线相互平行，电梯的上下运行可看作是平移运动；
故答案为：图1，垂直；图2，平行，包含的运动是平移；
（2）生活中这样的线条组合很多，例如：桌角的两条直线属于垂直，铁轨等属于平行，答案不唯一，符
合垂直关系或平行关系的直线均可．
题型二 利用平移的性质求解
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】25
5．【答案】3
6．
【答案】(1)见解析
1 / 27
学科网（北京）股份有限公司(2)平行；相等
【分析】本题考查了平移作图和平移的性质，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）首先根据点 和点 的位置，得出点 到 移动的方向和距离，然后点 和点 作相应的移动得到
点 与点 ，顺次连接就可得到 ；
（2）根据平移的性质对应点的连线平行且相等，直接得出 ，且 ．
【详解】（1）解：由点 的对应点为点 可知：将 点向右平移 个单位长度，向上平移 个单位长度得
到点 ；根据点 的平移方向和距离，同样平移点 和点 ，得出点 与点 ，顺次连接 、 、
，就可得到 ．
如图所示：
（2）解：根据平移性质可知： ，且 ，
故答案为：平行；相等．
7．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段平行、平移距离对应线段的长度是解题的关键．
（1）利用平移的性质得到对应线段平行，结合已知角的度数，通过邻补角的关系计算 的度数；
（2）根据平移距离确定对应线段的长度，结合 的长度，通过线段和计算 的长．
【详解】（1）解：由平移的性质知， ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：由平移的性质知， ．
∵ ，
∴ ．
2 / 27
学科网（北京）股份有限公司题型三 求点沿坐标轴平移后的坐标
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】
7．【答案】
8．【答案】
题型四 已知平移后的坐标求原坐标
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】
5．【答案】
6．
【答案】(1)当 且 时，点 在第二象限；
(2)
【分析】本题考查了点的坐标特征，点的坐标的平移法则，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关
键．
（1）根据第二象限的点的特征：横坐标小于零，纵坐标大于零，得出 ， ，求解即可得出结
果；
（2）根据点的坐标的平移法则：左减右加，上加下减，计算即可得出结果．
【详解】（1）解：∵点 在第二象限，
∴ ， ，
解得 ， ，
3 / 27
学科网（北京）股份有限公司即当 且 时，点 在第二象限；
（2）解：∵点 先向下平移 个单位长度，纵坐标变为 ；再向右平移 个单位长度，横坐标
变为 ，得到点 ，
∴ ，
解得： ．
题型一 平移作图
1．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平移作图，点的平移的坐标变化．
（1）根据平移作出点 ，依次连接即可得到三角形 ；
（2）根据平移作出点D，再根据坐标系中点的平移的坐标变化即可得到点D的坐标．
【详解】（1）解：如图，三角形 为所求．
（2）解：点 先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D，如图所示，则点D的
坐标为 ．
4 / 27
学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
2．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】本题考查了平移作图，作轴对称图形，最短路径，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用平移的性质，得点 ，再依次连接，即可作答．
（2）根据将 沿着y轴翻折，得出 与 关于y轴对称，据此找出点 ，再依次连
接，即可作答．
（3）先得出点 关于x轴的对称点 ，再把 与 连接，与x轴的交点，即为点D，故
，此时 的值最小．
【详解】（1）解： 如图所示：
（2）解： 如图所示：
5 / 27
学科网（北京）股份有限公司（3）解：点D如图所示．
3．
【答案】(1)图见解析，
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了作图，待定系数法求函数解析式，熟练掌握画图是解题的关键．
（1）根据题意进行平移即可；
（2）根据对应点作出图形；
（3）由题意得直线l是第二、四象限的角平分线，进而写出函数解析式即可．
【详解】（1）解：图形如图所示， ，
故答案为： ．
（2）解：图形如图所示
6 / 27
学科网（北京）股份有限公司（3）解：根据 关于直线l对称的 ，可得直线l是第二、四象限的角平分线，
∴直线l的函数解析式为 ，
故答案为： ．
4．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3) 的面积为 ．
【分析】本题考查作图﹣平移变换、轴对称、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决
问题．
（1）利用平移的性质即可解答；
（2）利用轴对称的性质即可解答；
（3）利用正方形面积减去三角形的面积计算即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）如图所示：
（3）由题意可得： ．
5．
【答案】(1)见解析
7 / 27
学科网（北京）股份有限公司(2)见解析
(3)3
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和平移，坐标与图形，熟知轴对称和平移的知识是解题
的关键．
（1）根据平移规律可得 三点，然后顺次连接 即可；
（2）关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得 的坐标，描出 ，并顺次连
接 即可；
（3）根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解：如图所示， 即为所求；
（3）解： ．
题型二 由点平移前后的坐标确定平移方式
1．【答案】B
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】
7．
【答案】(1)见解析
(2) ， ，
8 / 27
学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了点的平移．
（1）根据A到 坐标的变化求出平移方式，进而标出 ， 位置点即可；
（2）直接根据平面直角坐标系作答即可．
【详解】（1）解：由图可知， 移动后到达 ，即向上平移了9个单位，
作图如下：
（2）解：由平面直角坐标系可知， ， ， ．
8．
【答案】(1)见详解，3
(2)
【分析】该题考查了平移作图，点坐标规律探究，三角形面积计算，解题的关键是找到点的规律
（1）根据平移的性质的画图即可得出 ，再根据围成 的矩形的面积减去三个三角形的面积
即可求出 的面积．
（2）根据题意得出 ， ，根据规律解答即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，
9 / 27
学科网（北京）股份有限公司的面积 ．
故答案为： ；
（2）解：根据题意得出 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
题型三 已知图形的平移求点的坐标
1．【答案】 6 2
2．【答案】
3．【答案】
4．【答案】
5．
【答案】(1) ， ，
(2)图见解析，
【分析】本题考查了已知点平移前后的坐标，判断平移方式、已知图形的平移，求点的坐标、最短路径问
题、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据点 经过平移后的对应点为 ，得出 向左平移5个单位，向上平移2个
10 / 27
学科网（北京）股份有限公司单位得到 ，结合 中顶点的坐标，即可求解；
（2）作点 关于 轴对称的点 ，连接 ，与 轴交于点 ，根据轴对称的性质得出 ，根据
两点之间线段最短确定点 的位置，根据待定系数法求出直线 的解析式，再求出直线 与 轴的交
点坐标，即可．
【详解】（1）解： 中 ， ， ，
∵点 经过平移后的对应点为 ，
故 向左平移5个单位，向上平移2个单位得到 ，
故点 的对应点 的坐标为 ，点 的对应点 的坐标为 ，点 的对应点 的坐标为 ．
（2）解：作点 关于 轴对称的点 ，连接 ，与 轴交于点 ，点 即为所求，如图：
∵点 的坐标是 ，
故点 关于 轴对称的点 的坐标为 ，
设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入，得 ，
11 / 27
学科网（北京）股份有限公司解得 ，
故直线 的解析式为： ，
当 时， ，
即点 的坐标为 ．
6．
【答案】(1) ， ；
(2) 先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到
(3)
【分析】本题主要考查坐标与图形的特点，掌握平面直角坐标系的特点，图形平移的性质是关键．
（1）根据坐标与图形的特点即可求解；
（2）根据图形平移的特点即可求解；
（3）结合（2），根据平移规律得到点的坐标．
【详解】（1）解：由图可得： ， ；
（2）根据图可知： 先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到 ；
（3）∵ 先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到 ，
则 先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到 ，
∴ 内部的对应点 的坐标是 ．
7．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，确定平移规则是解题的关键：
（1）根据点的位置，写出点的坐标即可；
12 / 27
学科网（北京）股份有限公司（2）根据对应点的坐标确定平移规则，进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可知： ， ；
（2）∵ 平移后的对应点为 ，
∴ 先向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到 ，
∵点 是 内部一点，平移后对应点 的坐标为 ，
∴ ，
解得 ．
题型四 坐标系中的平移
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】 或
5．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移、坐标与图形性质及三角形面积计算，解题关键是利用平移
性质确定点的坐标，结合坐标特征分析图形关系并计算．
（1）由 轴得 纵坐标与 相同，结合 平移后 在 轴，通过平移量确定 、 坐标；
（2）根据 的横坐标 ，结合 、 坐标，用三角形面积公式列式；
（3）设平移距离，结合面积关系列方程求平移量，再利用 建立等式求 ，得 坐标．
【详解】（1）解：∵点 平移后在 轴上，
∴点 先向右平移4个单位，
∵ 轴，
∴ 点纵坐标为2，
∴点 向上平移2个单位，
13 / 27
学科网（北京）股份有限公司∴平移规则为，先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，
∴ ．
（2）解：如图：
∵
∴ ，
∵ 的横坐标为 ，
∴ 的面积为 ．
（3）解：当 在 上时，如图：
设 ，则 ，
的面积比三角形 的面积大2，
解得 ，
∴ ，
14 / 27
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
当 在 的延长线上时，如图：
设 ，则 ，
∵ 的面积比三角形 的面积大2，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
综上： 或 ．
6．
【答案】(1) ,
(2)点Q是由点P先向右平移2个单位长度，再向上平移 个单位长度得到的
【分析】（1）根据题意，列出关于m，n的方程求解即可；
（2）先求出t，再求出Q点坐标与P点坐标，再确定平移关系即可．
【详解】（1）解：∵点 在第四象限，且点 到 轴和 轴的距离分别为3和1，
∴ ， ，
解得： ， ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵设 的立方根为 ，
15 / 27
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵点 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴点Q是由点P向右平移2个单位长度，再向上平移 个单位长度得到的．
【点睛】本题考查了已知点所在的象限求参数，求点到坐标轴的距离，坐标系中的平移，求一个数的立方
根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
7．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（ ）根据非负数的性质解答即可；
（ ）由题意得 ， ，再分点 在 上和点 在 的延长线上两种情况解答即可；
（ ）设点 ，由平移的性质得 ，过点 作 轴于 ，可得
， ，进而得到
，即得到 ，再根据 得 ，解方程即可求解；
本题考查了非负数的性质，平移的性质，坐标与图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
16 / 27
学科网（北京）股份有限公司∴ ；
（2）解：∵ ， 轴于 ， 轴于 ，
∴ ， ，
由题意得， ， ，
当点 在 上，即 时，则 ，
∴
，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
当点 在 的延长线上，即 时，则 ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
综上，当 时， 的取值范围为 或 ；
（3）解：设点 ，则 ，
∵ ， ，
17 / 27
学科网（北京）股份有限公司∴由平移的性质得， ，
过点 作 轴于 ，如图，
则 ， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 或 ，
∵点 在第三象限，
∴ ，
∴ ，
18 / 27
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
题型五 利用平移解决实际问题
1．【答案】C
2．【答案】7
3．【答案】
4．【答案】176
5．【答案】
6．
【答案】400元
【分析】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是掌握平移的性质，不改变图形的大小和形状．
根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，再求得其面积，则购买地毯的钱
数可求．
【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，长、宽分别为 米， 米，
即地毯的长度为 米，
地毯的面积为 平方米，
故买地毯至少需要 元．
7．
【答案】(1) （平方米）
(2) 平方米
【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，多项式乘以多项式的运算，平移的性质，熟练掌握平移的性
质和多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
（1）将两条小路进行平移，则空白部分可以看成一个新的长方形，表示出长和宽，再利用多项式乘以多
项式的运算法则计算面积即可；
（2）根据小路面积等于大长方形面积减去空白部分面积列式，计算多项式乘以多项式，然后再代入求值
即可．
【详解】（1）解：将两条小路进行平移，则空白部分可以看成一个新的长方形，
长为： ，宽为： ，
19 / 27
学科网（北京）股份有限公司∴草坪（空白部分）的面积为： （平方米）
（2）解：小路面积为： （平方
米），
当 时， （平方米）．
8．
【答案】【数学建模】 ， ， ；【问题拓展】作图见解析
【分析】本题主要考查了轴对称①的性质、两点之间线段最短以及平移的性质．作 关于直线 的对称点 ，
根据轴对称的性质可知 ，再将 转化为 ，根据两点之间线段最短，得出
的最小值为 的长度；在问题拓展中，通过平移的方法，将桥 的长度固定，把问题转化为求两点之
间的最短路径问题，利用了平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置的性质即可画出此时桥
的位置．
【详解】根据轴对称的性质可知， ，
，
根据两点之间线段最短，
故选①，
最小值为 ，
故答案为： ， ① ， ；
桥 修建在如图所示的位置才能使得 到 的路线最短．
题型一 平移综合
20 / 27
学科网（北京）股份有限公司1．
【答案】(1)
(2) 或 ；②图见详解，点 平移的距离为：2或 或
①
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理，解一元二次方程，等
知识，其中第（2）步分类讨论是解题的关键．
（1）设直线 解析式为 ，点 坐标为 ，∴点A坐标为 ， 结合 在
直线 上可得 ，即可求出直线 解析式为 ；
（2）①先求出 ，再求出 ，根据平移性质得到C的纵坐标为3， ，设 ，
列方程 ，求出 或 ，从而得到 或 ，
即可求出 或 ；
②设点P平移的距离为 ，则 ，根据两点间距离公式即可得到 ， ，
，再分 ， ， 三种情况讨论，列方程，解方程，舍去不合题意解，
问题得解．
【详解】（1）解：设直线 解析式为 ，
则点 坐标为 ，
∵ ，
∴点A坐标为 ，
∵ 在直线 上，
∴ ，
21 / 27
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴直线 解析式为 ；
（2）解：∵直线 解析式为 ，
∴点A坐标为 ， 坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
①∵ ，
∴将线段 沿x轴正方向平移到 ， ，
C的纵坐标为3， ，
∴
设 ，
则 ，
解得 或 ，
∴ 或 ，
∵ ， ，
∴ 或 ；
②设点P平移的距离为 ，
∴ ，
∵点A坐标为 ， 坐标为 ，
∴ ，
，
22 / 27
学科网（北京）股份有限公司，
如图，当 时，
，
解得 ；
如图，当 时，
，
解得 或 （舍去）；
当 时，
，
解得 或 （舍去）；
综上所述，点P平移的距离为2或 或 ．
2．
【答案】（1） ；（2）① ， ；② 点的坐标 ；（3）① ， ；②
23 / 27
学科网（北京）股份有限公司或 ，过程见解析
【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，平行线的性质，一次函数与坐标轴交点问题，数形结合是
解题的关键；
（1）设 的长为 ，根据题意得， ，进而列出方程，解方程，即可求解．
（2）①根据算术平方根与偶次幂的非负性求得 ；
②过点 ， 分别作 轴，垂足为 ， 轴，垂足为 ，设 ，根据
，建立方程，解方程即可求解；
（3）①待定系数法求得直线 解析式为 ，即可得出 ，根据平移的性质得出 ；
②分两种情况：点 在 点的左边和左边，分别根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：（1）设 的长为 ，根据题意得，
∴
解得：
（2）解：∵
∴
∴ ，则 ，
故答案为： ， ．
②过点 ， 分别作 轴，垂足为 ， 轴，垂足为 ，
24 / 27
学科网（北京）股份有限公司∴
∵ ，
∴
设
根据题意得：
解得：
∴
（3）①设直线 解析式为 ，代入 ，
解得：
∴直线 解析式为
当 时，
∴
∵将线段 沿 轴向右平移 个单位得到线段 ， 的对应点为 ，
∴
故答案为： ， ．
②分两种情况：
第一种情况：如图所示，点 在 点的左边
过点 作 ，
25 / 27
学科网（北京）股份有限公司将线段 沿 轴向右平移 个单位得到线段 ，
， ，
，
，
，
，
第二种情况：如图所示，点 在 点的右边
过点 作 ，
， ，
将线段 沿 轴向右平移 个单位得到线段 ，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
、
，
26 / 27
学科网（北京）股份有限公司．
， ， 之间满足的数量关系为 或
．
27 / 27
学科网（北京）股份有限公司
