文档内容
专题 15 直线与圆
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 直线的方程
1、直线的倾斜角
（1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l
的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．
（2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2、直线的斜率
（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，
倾斜角是的直线没有斜率．
（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)的直线的斜率公式为k＝．
1 1 1 2 2 2 1 2
3、直线方程的五种形式
形式 几何条件 方程 适用范围
点斜式 过一点(x，y)，斜率k y－y＝k(x－x) 与x轴不垂直的直线
0 0 0 0
斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线与x轴、y轴均不垂直的
两点式 过两点(x，y)，(x，y) ＝
1 1 2 2
直线
不含垂直于坐标轴和过原
截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1
点的直线
Ax＋By＋C＝0 平面直角坐标系内所有直
一般式
（A2＋B2≠0） 线
【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
知识点2 两条直线的位置关系
1、两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
①对于两条不重合的直线l，l，若其斜率分别为k，k，则有l∥l k＝k．
1 2 1 2 1 2 1 2
②当直线l，l 不重合且斜率都不存在时，l∥l．
1 2 1 2 ⇔
（2）两条直线垂直
①如果两条直线l，l 的斜率存在，设为k，k，则有l⊥l k·k＝－1．
1 2 1 2 1 2 1 2
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l⊥l．
⇔ 1 2
2、两条直线的交点的求法
直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0(A，B，C ，A，B，C 为常数)，
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2
则l 与l 的交点坐标就是方程组的解．
1 2
3、三种距离公式
（1）平面上的两点P(x，y)，P(x，y)间的距离公式|PP|＝．
1 1 1 2 2 2 1 2
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝．
（2）点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
0 0
（3）两条平行线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0间的距离d＝．
1 2
4、直线系方程的常见类型
（1）过定点P(x，y)的直线系方程是：y－y＝k(x－x)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x)，也就是平
0 0 0 0 0
常所提到的直线的点斜式方程；
（2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
（3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
（4）过两条已知直线l：Ax＋By＋C ＝0和l：Ax＋By＋C ＝0的交点的直线系方程是：
1 1 1 1 2 2 2 2
Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By＋C )＝0(λ∈R，但不包括l)．
1 1 1 2 2 2 2
知识点3 圆的方程
1、圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r
圆心：
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
半径：r＝
2、点与圆的位置关系
点M(x，y)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
0 0
理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系
(x－a)2＋(y－b)2r2 点在圆上
0 0
三种情况 (x－a)2＋(y－b)2r2 点在圆外
0 0 ⇔
(x－a)2＋(y－b)2r2 点在圆内
0 0 ⇔
3、二元二次方程与圆的关系
⇔
不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时
才表示圆．
若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：
（1）当F＝0时，圆过原点．
（2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．
（3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．
（4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．
知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系
（1）直线与圆位置关系的判断方法
①――――――――――――――――→
②――――――――――――→
（2）圆的切线与切线长
①过圆上一点的圆的切线
过圆x2＋y2＝r2上一点M(x，y)的切线方程是xx＋yy＝r2．
0 0 0 0
过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x，y)的切线方程是(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2．
0 0 0 0
②过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x ，y)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜
0 0
率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x．
0
③切线长
从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x，y)引圆的两条切线，切线长为 ．
0 0
两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b
的积，即b＝．
【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
（3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2.
②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则有|AB|＝|x－x|＝|y－y|．
1 2 1 2
2、圆与圆的位置关系
（1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r，r，d＝|OO|)
1 2 1 2
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
交点个数 0 1 2 1 0
d与 ， 的关系
【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
（2）两圆公切线的条数
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线
重难点01 与直线有关的最值问题
1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短;
2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短．
【典例1】（23-24高三上·山东济宁·月考）在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 为直
线 上一动点，则 的最小值是 .
【答案】4
【解析】设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当点 为线段 与直线 的交点时等号成立，
所以 的最小值是4.
【典例2】（23-24高三上·重庆·零诊）（多选）已知直线 和三点 ， ， ，
过点C的直线 与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（ ）
A．P在直线l上，则 的最小值为
B．直线l上一点 使 最大
C．当 最小时 的方程是
D．当 最小时 的方程是
【答案】BC
【解析】对于A：设点 关于直线l的对称点为 ，
则 ，解得
，
当 三点共线时取最小值.A错误；
对于B： ，当 三点共线时取最大值，
又 ，即 ，
联立 ，解得 ，即直线l上一点 使 最大，B正确；
对于C：设 ，
当 时， ，当 时， ，
即 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
此时 ，即 ，C正确；
对于D： ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
此时 ，即 ，D错误.故选：BC.
重难点02 与圆有关的最值问题
求解与圆有关的最值问题步骤
第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型；
第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解；
第三步求值：根据图形，利用相关知识求解．
【典例1】（23-24高三上·北京顺义·期中）过直线 上一动点 ，向圆 ： 引两条切线，
、 为切点，则圆 上的动点 到直线 距离的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，点 在直线 上，设 ，则 ，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，则 ， ，
则点 、 在以 为直径的圆上，
又由 ，则以 为直径的圆的方程是 ，
圆 的方程为 ，
联立两个圆的方程可得：直线 的方程为 ，即 ，
因为 ，所以 ，代入直线 的方程，
得 ，即 ，
当 且 ，即 ， 时该方程恒成立，所以直线 过定点 ，
点 到直线 距离的最大值即为点 ， 之间的距离加上圆的半径，
即点 到直线 距离的最大值为 ．
动点 到直线 距离的最大值为 ，故选：B
【典例2】（23-24高三上·江苏苏州·月考）已知点 ，点O是坐标原点，点Q是圆
上的动点，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
又由点 ，可得点 在直线 上的动点，
因为点O是坐标原点，点Q是圆 上的动点，
则 ，
如图所示，设点 关于直线 的对称点为 ，
可得 ，解得 ，即 ，
设直线 与直线 的交点为 ，则直线 的方程为 ，联立方程组 ，解得 ，
即 ，则 ，
当点 与 重合时，此时 ，则 ，
此时 取得最大值，最大值为 ，
所以 ，即 的最大值为 .
故答案为： .
【典例3】（23-24高三上·湖北荆州·月考）已知 ，过 轴上一
点 分别作两圆的切线，切点分别是 ，当 取到最小值时，点 坐标为 .
【答案】
【解析】如图所示：
设 ，则 ，
，
，
取 ，
则 ，当且仅当 三点共线时，取等号，此时 ，直线AB的方程为 ，
令 ，得 ，所以 ，
故答案为： .
重难点03 隐圆问题及其应用
1、隐圆问题的几大类型
（1）类型一：到定点的距离等于定长；
（2）类型二：到两定点距离的平方和为定值；
（3）类型三：到两定点的夹角为直角；
（4）类型四：对角互补、数量积定值；
（5）类型五：阿波罗尼斯圆
2、阿波罗尼斯圆
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点 ， 的距离之比为正数 的点
的轨迹是 为圆心， 为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．
【典例1】（23-24高三下·陕西铜川·模拟预测）已知 ， ，若圆
上存在点P满足 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点 ，则 ， ，
所以 ，
所以P的轨迹方程为 ，圆心为 ，半径为3．
由此可知圆 与 有公共点，
又圆 的圆心为 ，半径为2，
所以 ，解得 ，
即 的取值范围是 ．故选：A．
【典例2】（23-24高三上·江西宜春·月考）若A，B是平面内不同的两定点，动点 满足 （且 ），则点 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯
圆，简称阿氏圆．已知 是圆 上的动点，点 ， ，则 的最大值为
．
【答案】
【解析】由题意得设 ， ，
所以 ，则 ，
由于P(x,y)是圆 上的点，
所以 ，
所以 ，解得 ，即 ，
所以 ，如图，
所以 的最大值为 ，
故答案为： .
一、直线的倾斜角与斜率范围的求法
1、求倾斜角的取值范围的一般步骤
（1）求出斜率k＝tan α的取值范围．
（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2、斜率取值范围的2种求法（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；
（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．
【典例1】（23-24高三上·云南曲靖·月考）若直线 的倾斜角的取值范围是 .
【答案】
【解析】设直线倾斜角为 ，当 时直线斜率不存在，此时倾斜角 为 ；
当 时，斜率为 ，直线
化为斜截式为 ，
，因为 且 ，
所以 ，
即 ，所以 ；
综上有： .
【典例2】（23-24高三上·四川雅安·期中）若直线l： 经过直线 在第一象限上的点，则
直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为直线 与坐标轴交于点 ， ，直线l恒过点 ，
所以 ，所以 ．故选：A
二、求解直线方程的两种方法
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)
求出参数；④把参数的值代入所设直线方程
【典例1】（23-24高三上·福建福州·月考）已知 的顶点 ，边 上的高线 所在的直线方程
为 ，边 上的中线 所在的直线方程为 ．(1)求点 的坐标；
(2)求直线 的方程．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1）由边 上的高线 所在的直线方程为 ，得直线 的斜率为1，
直线 方程为 ，即 ，
由 ，解得 ，
所以点 的坐标是 .
（2）由点 在直线 上，设点 ，
于是边 的中点 在直线 上，
因此 ，解得 ，即得点 ，
直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
【典例2】（23-24高三上·福建莆田·月考）已知 的三个顶点分别为 .
(1)求边 的垂直平分线的方程；
(2)已知平行四边形 ，求点 的坐标.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）设线段 的中点 ，且 ，
则边 的垂直平分线的斜率 ，
由直线的点斜式可得 ，
化简可得 .（2）由四边形 为平行四边形，且 ，则 ，
又 ，则 .
三、由一般式方程确定两直线位置关系的方法
l：Ax＋By＋C ＝0(A＋B≠0)，
1 1 1 1
直线方程
l：Ax＋By＋C ＝0(A＋B≠0)
2 2 2 2
l 与l 垂直的充要条件 AA＋BB＝0
1 2 1 2 1 2
l 与l 平行的充分条件 ＝≠(ABC ≠0)
1 2 2 2 2
l 与l 相交的充分条件 ≠(AB≠0)
1 2 2 2
l 与l 重合的充分条件 ＝＝(ABC ≠0)
1 2 2 2 2
【典例1】（23-24高三上·江西南昌·月考）已知 ， ，直线 和 垂直，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，直线 ， ，且 ，
，即 ．
则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 的最小值为8，故选：B．
【典例2】（23-24高三上·江苏·月考）已知直线 则“ ”是“
”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．非充分也非必要
【答案】C
【解析】若 ,则 ，所以两个直线的斜率
且 不重合，所以 .
若 ，则 ，解得 ，
当 时， ，两个直线重合，舍去.
故 .
所以“ ”是“ ”的充分必要条件.故选：C
四、两条直线的交点与距离问题
1、求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也
可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
【典例1】（23-24高三上·河北衡水·月考）已知斜率均为负的直线 与直线
平行，则两条直线之间的距离为 ．
√3 1
【答案】 / √3
3 3
【解析】因为斜率均为负的直线 与直线 平行，
所以 同号，且 ，解得： ，
所以直线 与直线 ，
所以这两条直线之间的距离为 .
故答案为： .
【典例2】（23-24高三上·江苏淮安·月考）已知直线 满足：原点到它的距离为 ，点 到它的距离为
，请写出满足条件的直线 的一个方程： .
【答案】 （答案不唯一， ）【解析】当直线 的斜率不存在时，设 的方程为 ，于是 ，且 ，显然无解，
当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，即 ，
于是 ，整理得 ，消去常数项得 ，
即有 或 ，由 解得 或 ，
而方程组 无解，因此 或 ，
所以直线 的方程为 或 .
故答案为：
五、对称问题的求解方法
1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有
4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
【典例1】（23-24高三上·重庆九龙坡·月考）已知直线 恒过定点P，则点P关于直线
的对称点的坐标是 ．
【答案】
【解析】由直线 化为 ，
令 ，解得 ，于是此直线恒过点 ．
设点P关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，∴ ．
故答案为：【典例2】（23-24高三上·陕西榆林·模拟预测）已知直线 ： 关于直线 的对称直线为 轴，
则 的方程为 .
【答案】 或
【解析】
直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，
设直线 的方程为 ，则 关于直线 的对称点 在 轴上，
所以 ，则 的中点 在直线 上，所以 ①，
又 ②，联立①②可得 或 ，
所以直线 的方程为 或 .
故答案为： 或 .
六、求圆的方程的两种方法
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关
于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F的
方程组，进而求出D，E，F的值．
【典例1】（23-24高三上·陕西榆林·模拟预测）圆心在x轴的正半轴上，半径为8，且与直线 相
切的圆的方程为 ．
【答案】
【解析】根据题意，设圆心为坐标为
因为圆的半径为8，且与直线 相切，则圆心到直线 的距离 ，
解得 或 （舍），则圆的坐标为 ，
所求圆的方程为
故答案为：
【典例2】（23-24高三上·宁夏银川·月考）已知 ，则 外接圆的方程为
．
【答案】
【解析】设圆的方程为 ，
则 ，解得 ，
所以 外接圆的方程为 .
故答案为： .
七、求与圆有关的轨迹问题的方法
1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
2、定义法：根据圆、直线等定义列方程；
3、几何法：利用圆的几何性质列方程；
4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式
【典例1】（23-24高三上·青海西宁·期中）已知 ， ，C为平面内的一个动点，且满足
，则点C的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设 ，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解.
【解析】依题意，设 ，由 ，得 ，即 ，整得得 ，
所以点 的轨迹方程为 .
故答案为：
【典例2】（23-24高三上·山东烟台·月考）已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平
分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ．
【答案】 ．
【解析】设 ，则 ，设 ，
由 为 的角平分线，可得 ，即有 ，
可得 , ，即 ， ，
可得 ， ，
则 ，即为 ．
故答案为： ．
八、解决有关弦长问题的常用方法及结论
1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系
式：|AB|＝2
2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(x ，y )，B(x ，y )两点，
A A B B
则|AB|＝·＝ ·|y －y | (其中k≠0)．
A B
特别地，当k＝0时，|AB|＝|x －x |；当斜率不存在时，|AB|＝|y －y |．
A B A B
【典例1】（23-24高三上·四川成都·期末）写出经过坐标原点，且被圆 截得的弦长
为 的直线 的方程 .
【答案】 或
【解析】由题意可知圆心 ，半径 ，显然横轴与圆相切，不妨设 ，由点到直线的距离公式可知C到l的距离为
或 ，
所以 的方程为： 或 .
故答案为： 或 .
【典例2】（23-24高三上·江苏盐城·月考）（多选）若直线 与圆 相交于
两点，则 长度可能等于（ ）
A．2 B．4 C． D．5
【答案】BCD
【解析】由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，
又由直线 恒过定点 ，且点 在圆 的内部，可得 ，
当直线 时，此时直线 与圆 相交，截得的弦长|AB|最短，
此时 ，
当直线 过圆心时，此时截得的弦长|AB|最长，此时 ，
所以弦长|AB|的取值范围为 ，结合选项，选项B、C、D符合题意.故选：BCD.
九、求过一点(x，y)的圆的切线方程的方法
0 0
1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y ＝k(x－x)，即kx－y＋y －kx ＝0.由圆心到直线的
0 0 0 0
距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；
2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y ＝k(x－x)，即y＝kx－kx ＋y ，代入圆的方程，得
0 0 0 0
到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证．
【典例1】（23-24高三上·河北邢台·期末）已知圆 ，过 作圆 的切线 ，则直线 的倾斜角为 ．
【答案】 （或写为 ）
【解析】因为 ，所以，点 在圆 上，直线 的斜率为 ，
由圆的几何性质可知， ，则直线 的斜率为 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，则 ，故 .
即直线 的倾斜角为 （或 ）.
故答案为： （或写为 ）.
【典例2】（23-24高三上·江苏南京·月考）从圆 外一点 向这个圆作两条切线，
则两切线夹角（锐角或直角）的余弦值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【解析】圆 即 ，其圆心 ，半径 ，
则过 向这个圆作两条切线，切点为 ，如图：
又 ，
则 ，
所以 .故选：B.十、圆与圆的位置关系问题
可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系：
（1）集合法：通过比较两圆半径为r，r 与圆心距d＝|OO|之间的关系判断；
1 2 1 2
（2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系．
【典例1】（23-24高三下·山东·模拟预测）已知圆 的圆心到直线 的距
离是 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．内含
【答案】D
【解析】圆 ： ，所以圆心 ，半径为 .
由点到直线距离公式得： ，且 ，所以 .
又圆 的圆心 ，半径为：1.
所以 ， .
由 ，所以两圆内含.故选：D
【典例2】（23-24高三上·河北保定·月考）（多选）已知圆 ，圆 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．若 和 外离，则 或
B．若 和 外切，则
C．当 时，有且仅有一条直线与 和 均相切
D．当 时， 和 内含
【答案】ABC
【解析】圆 的圆心为 ，半径 ，
圆 的圆心为 ，半径 ，
所以 ，
若 和 外离，则 ，解得 或 ，故A正确；若 和 外切，则 ，解得 ，故B正确；
当 时， ，则 和 内切，故仅有一条公切线，故C正确；
当 时， ，则 和 相交，故D错误.故选：ABC．
十一、两圆的公共弦问题
公共弦长的求法
（1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
（2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公
共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得
弦的一半，进而得到公共弦长．
【典例1】（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知圆 ： ，圆 ： ，
则圆 与圆 的公共弦所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，则 ， ；
由 ，则 ， ；
所以 ，两圆相交，
将两圆作差得 ，所以公共线方程 .故选：B
【典例2】（23-24高三下·浙江金华·月考）两圆 与 的公共弦长为
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】两圆的圆心分别为 ,半径均为1，故圆心距离为 ,故两圆相交，
圆 与圆 的公共弦所在的直线方程为：
，即 ，
圆 的圆心 到公共弦 的距离：
，圆 的半径 ，公共弦长 ．故选：B．
十二、两圆的公切线问题
两圆公切线方程的确定
（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为 ，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，
两圆心到直线 的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于 和 的方程，解这个方程组得到 ，
的值，即可写出公切线的方程；
（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．
【典例1】（23-24高三上·山东济宁·期末）已知圆 和圆 ，
则圆 与圆 的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】根据题意，圆 ，即 ，
其圆心 ，半径 ，
圆 ，其圆心 ，半径 ，
两圆的圆心距 ，
因此两圆外切；则圆 与圆 的公切线有3条．故选：C．
【典例2】（23-24高三下·江西·月考）已知圆 和 ，则圆 与圆 的
所有公切线中斜率的最大值为 .
【答案】
【解析】 的圆心和半径分别为 ，
的圆心和半径分别为 ，
由于 ，
因此两圆外切，有3条公切线，
作出两圆的位置关系图如下：
由图可知：外公切线一条平行于 轴，斜率为0，一条斜率为负，而内公切线的斜率为正，故斜率最大，
由于 ,故内公切线的斜率为 ,
故答案为：
易错点1 误解“截距”和“距离”的关系
点拨：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是
非负数，对此考生应高度重视。
【典例1】（23-24高三上·安徽六安·月考）过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程
【答案】 或
【解析】过点 的直线在两坐标轴上的截距相等，所以直线的斜率存在且不为零，
设直线方程为 ，
令 ，得到 ；令 ，得到 ，
所以 ，解得 或 ，
所以直线方程为 或 ．
故答案为： 或 .
【典例2】（23-24高三下·河南开封·模拟预测）若直线 经过点 ，则直线l在x
轴和y轴上的截距之和取最小值时， （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为直线 经过点 ，则 ，则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为 ，
此时 ，则 .故选：D
易错点2 平行线间的距离公式使用不当
点拨：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其
他条件求解．
【典例1】（23-24高三上·江苏扬州·月考）已知直线 ， 平行，
则这两条平行直线之间的距离为 .
【答案】
【解析】已知两直线平行,
则 ，解得 或 ，
当 时，两直线方程相同，舍去，
当 时， ， ，
则两直线间距离为 .
故答案为：
【典例2】（23-24高三上·辽宁沈阳·期中）若直线 ： 与 ： 平行，则 ，
间的距离是 ．
【答案】
【解析】因为两直线平行可得 且 ，解之得 ，
所以 ， ，
故两直线的距离为 .故答案为： .
易错点3 忽视斜率不存在的情况
点拨： (1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l∥l k ＝k 求解，忽略k ，k 不存在的情况，就会
1 2 1 2 1 2
导致漏解．
⇔
(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l⊥l k·k ＝－1求解，要注意其前提条件是k 与k 必须同
1 2 1 2 1 2
时存在．
⇔
【典例1】（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知直线 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当 时， ，解得 或 ．
当 时， 与 重合，不符合 ；
当 时， 与 不重合，符合 ，
故“ ”是“ ”的充要条件．故选：C
【典例2】（23-24高三上·江西·期中）（多选）已知直线 ，直线 ，
则（ ）
A．当 时， 与 的交点是 B．直线 与 都恒过
C．若 ，则 D． ，使得 平行于
【答案】ABC
【解析】对于A，当 时， ， ，
，解得 ，故交点为 ，即A正确；
对于B， ，恒过定点 ， ，
，解得 ，，也过定点 ，故B正确；对于C，当 时， 与 不垂直，
当 时，由 可得 ，解得 ，故C正确；
对于D，由 可得 ，解得 或 ，
当 时， ， ，两直线重合，不符合题意，
当 时， ， ，两直线重合，不符合题意，故D错误；
故选：ABC.
易错点4 遗漏方程表示圆的充要条件
点拨：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其
他条件求解．
【典例1】（23-24高三下·河南洛阳·模拟预测）“ ”是“方程 表示圆”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为方程 ，即 表示圆，
等价于 0，解得 或 .
故“ ”是“方程 表示圆”的充分不必要条件.故选：A
【典例2】（23-24高三下·辽宁沈阳·模拟预测）若点 在圆 外，则实数 的
取值范围为 .
【答案】
【解析】圆的标准方程为 ，
由于点(0,1)在圆外，
所以 ，解得 ，
故答案为：
