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专题 15 直线与圆
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 直线的方程
1、直线的倾斜角
（1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l
的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0．
（2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2、直线的斜率
（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，
倾斜角是的直线没有斜率．
（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)的直线的斜率公式为k＝．
1 1 1 2 2 2 1 2
3、直线方程的五种形式
形式 几何条件 方程 适用范围
点斜式 过一点(x，y)，斜率k y－y＝k(x－x) 与x轴不垂直的直线
0 0 0 0
斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线与x轴、y轴均不垂直的
两点式 过两点(x，y)，(x，y) ＝
1 1 2 2
直线
不含垂直于坐标轴和过原
截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1
点的直线
Ax＋By＋C＝0 平面直角坐标系内所有直
一般式
（A2＋B2≠0） 线
【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
知识点2 两条直线的位置关系
1、两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
①对于两条不重合的直线l，l，若其斜率分别为k，k，则有l∥l k＝k．
1 2 1 2 1 2 1 2
②当直线l，l 不重合且斜率都不存在时，l∥l．
1 2 1 2 ⇔
（2）两条直线垂直
①如果两条直线l，l 的斜率存在，设为k，k，则有l⊥l k·k＝－1．
1 2 1 2 1 2 1 2
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l⊥l．
⇔ 1 2
2、两条直线的交点的求法
直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0(A，B，C ，A，B，C 为常数)，
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2
则l 与l 的交点坐标就是方程组的解．
1 2
3、三种距离公式
（1）平面上的两点P(x，y)，P(x，y)间的距离公式|PP|＝．
1 1 1 2 2 2 1 2
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝．
（2）点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
0 0
（3）两条平行线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0间的距离d＝．
1 2
4、直线系方程的常见类型
（1）过定点P(x，y)的直线系方程是：y－y＝k(x－x)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x)，也就是平
0 0 0 0 0
常所提到的直线的点斜式方程；
（2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
（3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
（4）过两条已知直线l：Ax＋By＋C ＝0和l：Ax＋By＋C ＝0的交点的直线系方程是：
1 1 1 1 2 2 2 2
Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By＋C )＝0(λ∈R，但不包括l)．
1 1 1 2 2 2 2
知识点3 圆的方程
1、圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r
圆心：
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
半径：r＝
2、点与圆的位置关系
点M(x，y)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
0 0
理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系
(x－a)2＋(y－b)2r2 点在圆上
0 0
三种情况 (x－a)2＋(y－b)2r2 点在圆外
0 0 ⇔
(x－a)2＋(y－b)2r2 点在圆内
0 0 ⇔
3、二元二次方程与圆的关系
⇔
不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时
才表示圆．
若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：
（1）当F＝0时，圆过原点．
（2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．
（3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．
（4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．
知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系
（1）直线与圆位置关系的判断方法
①――――――――――――――――→
②――――――――――――→
（2）圆的切线与切线长
①过圆上一点的圆的切线
过圆x2＋y2＝r2上一点M(x，y)的切线方程是xx＋yy＝r2．
0 0 0 0
过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x，y)的切线方程是(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2．
0 0 0 0
②过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x ，y)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜
0 0
率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x．
0
③切线长
从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x，y)引圆的两条切线，切线长为 ．
0 0
两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b
的积，即b＝．
【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
（3）圆的弦长：直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法①几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2.
②代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则有|AB|＝|x－x|＝|y－y|．
1 2 1 2
2、圆与圆的位置关系
（1）圆与圆位置关系的判断方法(两圆半径为r，r，d＝|OO|)
1 2 1 2
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
交点个数 0 1 2 1 0
d与 ， 的关系
【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
（2）两圆公切线的条数
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线
重难点01 与直线有关的最值问题
1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短;
2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短．
【典例1】（23-24高三上·山东济宁·月考）在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 为直
线 上一动点，则 的最小值是 .
【典例2】（23-24高三上·重庆·零诊）（多选）已知直线 和三点 ， ， ，
过点C的直线 与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（ ）
A．P在直线l上，则 的最小值为
B．直线l上一点 使 最大
C．当 最小时 的方程是D．当 最小时 的方程是
重难点02 与圆有关的最值问题
求解与圆有关的最值问题步骤
第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型；
第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解；
第三步求值：根据图形，利用相关知识求解．
【典例1】（23-24高三上·北京顺义·期中）过直线 上一动点 ，向圆 ： 引两条切线，
、 为切点，则圆 上的动点 到直线 距离的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三上·江苏苏州·月考）已知点 ，点O是坐标原点，点Q是圆
上的动点，则 的最大值为 .
【典例3】（23-24高三上·湖北荆州·月考）已知 ，过 轴上一
点 分别作两圆的切线，切点分别是 ，当 取到最小值时，点 坐标为 .
重难点03 隐圆问题及其应用
1、隐圆问题的几大类型
（1）类型一：到定点的距离等于定长；
（2）类型二：到两定点距离的平方和为定值；
（3）类型三：到两定点的夹角为直角；
（4）类型四：对角互补、数量积定值；
（5）类型五：阿波罗尼斯圆
2、阿波罗尼斯圆
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点 ， 的距离之比为正数 的点
的轨迹是 为圆心， 为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．
【典例1】（23-24高三下·陕西铜川·模拟预测）已知 ， ，若圆
上存在点P满足 ，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三上·江西宜春·月考）若A，B是平面内不同的两定点，动点 满足 （
且 ），则点 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知 是圆 上的动点，点 ， ，则 的最大值为
．
一、直线的倾斜角与斜率范围的求法
1、求倾斜角的取值范围的一般步骤
（1）求出斜率k＝tan α的取值范围．
（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2、斜率取值范围的2种求法
（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；
（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可．
【典例1】（23-24高三上·云南曲靖·月考）若直线 的倾斜角的取值范围是 .
【典例2】（23-24高三上·四川雅安·期中）若直线l： 经过直线 在第一象限上的点，则
直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、求解直线方程的两种方法
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)
求出参数；④把参数的值代入所设直线方程
【典例1】（23-24高三上·福建福州·月考）已知 的顶点 ，边 上的高线 所在的直线方程
为 ，边 上的中线 所在的直线方程为 ．
(1)求点 的坐标；
(2)求直线 的方程．
【典例2】（23-24高三上·福建莆田·月考）已知 的三个顶点分别为 .
(1)求边 的垂直平分线的方程；
(2)已知平行四边形 ，求点 的坐标.三、由一般式方程确定两直线位置关系的方法
l：Ax＋By＋C ＝0(A＋B≠0)，
1 1 1 1
直线方程
l：Ax＋By＋C ＝0(A＋B≠0)
2 2 2 2
l 与l 垂直的充要条件 AA＋BB＝0
1 2 1 2 1 2
l 与l 平行的充分条件 ＝≠(ABC ≠0)
1 2 2 2 2
l 与l 相交的充分条件 ≠(AB≠0)
1 2 2 2
l 与l 重合的充分条件 ＝＝(ABC ≠0)
1 2 2 2 2
【典例1】（23-24高三上·江西南昌·月考）已知 ， ，直线 和 垂直，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三上·江苏·月考）已知直线 则“ ”是“
”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．非充分也非必要
四、两条直线的交点与距离问题
1、求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也
可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
【典例1】（23-24高三上·河北衡水·月考）已知斜率均为负的直线 与直线
平行，则两条直线之间的距离为 ．
【典例2】（23-24高三上·江苏淮安·月考）已知直线 满足：原点到它的距离为 ，点 到它的距离为
，请写出满足条件的直线 的一个方程： .五、对称问题的求解方法
1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有
4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
【典例1】（23-24高三上·重庆九龙坡·月考）已知直线 恒过定点P，则点P关于直线
的对称点的坐标是 ．
【典例2】（23-24高三上·陕西榆林·模拟预测）已知直线 ： 关于直线 的对称直线为 轴，
则 的方程为 .
六、求圆的方程的两种方法
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关
于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F的
方程组，进而求出D，E，F的值．
【典例1】（23-24高三上·陕西榆林·模拟预测）圆心在x轴的正半轴上，半径为8，且与直线 相
切的圆的方程为 ．
【典例2】（23-24高三上·宁夏银川·月考）已知 ，则 外接圆的方程为
．
七、求与圆有关的轨迹问题的方法
1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
2、定义法：根据圆、直线等定义列方程；
3、几何法：利用圆的几何性质列方程；
4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式
【典例1】（23-24高三上·青海西宁·期中）已知 ， ，C为平面内的一个动点，且满足
，则点C的轨迹方程为 ．
【典例2】（23-24高三上·山东烟台·月考）已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平
分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ．八、解决有关弦长问题的常用方法及结论
1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系
式：|AB|＝2
2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(x ，y )，B(x ，y )两点，
A A B B
则|AB|＝·＝ ·|y －y | (其中k≠0)．
A B
特别地，当k＝0时，|AB|＝|x －x |；当斜率不存在时，|AB|＝|y －y |．
A B A B
【典例1】（23-24高三上·四川成都·期末）写出经过坐标原点，且被圆 截得的弦长
为 的直线 的方程 .
【典例2】（23-24高三上·江苏盐城·月考）（多选）若直线 与圆 相交于
两点，则 长度可能等于（ ）
A．2 B．4 C． D．5
九、求过一点(x，y)的圆的切线方程的方法
0 0
1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y ＝k(x－x)，即kx－y＋y －kx ＝0.由圆心到直线的
0 0 0 0
距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；
2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y ＝k(x－x)，即y＝kx－kx ＋y ，代入圆的方程，得
0 0 0 0
到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证．
【典例1】（23-24高三上·河北邢台·期末）已知圆 ，过 作圆 的切线 ，则直线 的
倾斜角为 ．
【典例2】（23-24高三上·江苏南京·月考）从圆 外一点 向这个圆作两条切线，
则两切线夹角（锐角或直角）的余弦值为（ ）
A． B． C． D．6
十、圆与圆的位置关系问题
可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系：
（1）集合法：通过比较两圆半径为r，r 与圆心距d＝|OO|之间的关系判断；
1 2 1 2
（2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系．【典例1】（23-24高三下·山东·模拟预测）已知圆 的圆心到直线 的距
离是 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．内含
【典例2】（23-24高三上·河北保定·月考）（多选）已知圆 ，圆 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．若 和 外离，则 或
B．若 和 外切，则
C．当 时，有且仅有一条直线与 和 均相切
D．当 时， 和 内含
十一、两圆的公共弦问题
公共弦长的求法
（1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
（2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公
共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得
弦的一半，进而得到公共弦长．
【典例1】（23-24高三上·广东揭阳·期中）已知圆 ： ，圆 ： ，
则圆 与圆 的公共弦所在直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三下·浙江金华·月考）两圆 与 的公共弦长为
（ ）
A． B． C． D．1
十二、两圆的公切线问题
两圆公切线方程的确定
（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为 ，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，
两圆心到直线 的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于 和 的方程，解这个方程组得到 ，
的值，即可写出公切线的方程；
（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．【典例1】（23-24高三上·山东济宁·期末）已知圆 和圆 ，
则圆 与圆 的公切线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【典例2】（23-24高三下·江西·月考）已知圆 和 ，则圆 与圆 的
所有公切线中斜率的最大值为 .
易错点1 误解“截距”和“距离”的关系
点拨：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是
非负数，对此考生应高度重视。
【典例1】（23-24高三上·安徽六安·月考）过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程
【典例2】（23-24高三下·河南开封·模拟预测）若直线 经过点 ，则直线l在x
轴和y轴上的截距之和取最小值时， （ ）
A．2 B． C． D．
易错点2 平行线间的距离公式使用不当
点拨：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其
他条件求解．
【典例1】（23-24高三上·江苏扬州·月考）已知直线 ， 平行，
则这两条平行直线之间的距离为 .
【典例2】（23-24高三上·辽宁沈阳·期中）若直线 ： 与 ： 平行，则 ，
间的距离是 ．
易错点3 忽视斜率不存在的情况点拨： (1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l∥l k ＝k 求解，忽略k ，k 不存在的情况，就会
1 2 1 2 1 2
导致漏解．
⇔
(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l⊥l k·k ＝－1求解，要注意其前提条件是k 与k 必须同
1 2 1 2 1 2
时存在．
⇔
【典例1】（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知直线 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（23-24高三上·江西·期中）（多选）已知直线 ，直线 ，
则（ ）
A．当 时， 与 的交点是 B．直线 与 都恒过
C．若 ，则 D． ，使得 平行于
易错点4 遗漏方程表示圆的充要条件
点拨：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其
他条件求解．
【典例1】（23-24高三下·河南洛阳·模拟预测）“ ”是“方程 表示圆”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（23-24高三下·辽宁沈阳·模拟预测）若点 在圆 外，则实数 的
取值范围为 .
