文档内容
专题 15 立体几何综合解答题型系统化归类与解析
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：非常规空间几何体为载体....................................................................................................2
题型二：立体几何探索性问题............................................................................................................5
题型三：立体几何折叠问题................................................................................................................8
题型四：立体几何作图问题..............................................................................................................12
题型五：立体几何建系繁琐问题......................................................................................................16
题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题..........................................................................20
题型七：利用传统方法找几何关系建系..........................................................................................23
题型八：空间中的点不好求..............................................................................................................26
重难点突破：新定义问题..................................................................................................................31
02 重难创新练....................................................................................................................................36题型一：非常规空间几何体为载体
1．（2024·江苏南通·模拟预测）如图，四边形 是圆台 的轴截面， 是圆台的母线，点C是
的中点．已知 ，点M是BC的中点．
(1)若直线 与直线 所成角为 ，证明： 平面 ；
(2)记直线 与平面ABC所成角为 ，平面 与平面 的夹角为 ，若 ，求 ．
【解析】（1）连接 ，则四边形 是直角梯形.
过 作 于N，则四边形 是矩形， ，
连接 ， ， 为 的中点.又M为 的中点，
平面 ， ， 平面
又 平面 ， ，
在 中， ，
为 的中点，又 ， ， 平面 ， ，
平面 又 平面 ，
， ，OB， 平面 ， ，
平面
（2）以O为原点，直线OC，OB， 分别为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系.
设 ，则
， ， ，
，
设平面 的法向量 ，
则 ，
取 得
， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，取 得
，解得
在 中， ，
由（1）知 ，
2．（2024·重庆·三模）如图所示的几何体是一个半圆柱和一个三棱锥的组合体. 是半圆柱的母线,
分别是底面直径BC和 的中点, 是半圆 上一动点, 是半圆 上的
动点, 是圆柱的母线，延长 至 点使得 为 的中点,连接 , 构成三棱锥 .
(1)证明: ;
(2)当三棱锥 的体积最大时,求平面 与平面 的夹角.
【解析】（1）因为 平面 平面ABC，
所以 ,又 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,
所以 .
（2）因为 且 ,
所以 当且仅当 取等，此时点 的位置刚好在半圆弧 的中点.
因为 两两垂直,如图,以点 为原点,以 分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ，
所以 ，
设 是平面 的法向量，则 令 ，则 .
由(1)知 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，故
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ，所以平面 与平面 的夹角为 .
题型二：立体几何探索性问题
3．（2024·全国·一模）如图，在三棱锥 中， 平面 为棱
上的动点．
(1)求证： 平面 ；(2)是否存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，请求出点 的位置；若不存
在，请说明理由．
【解析】（1）因为 平面 平面 平面 ，
所以 且 ．
由 ，且 ，可得 ．
由 ，因为 ,可得 ．
因为 平面 平面 ，所以 平面 ．
（2）过 作 ，则 两两垂直，
建立如图空间直角坐标系．
则 ．
设平面 的法向量为 ，
由题可得 ，
则 即
取 ，则平面 的一个法向量为 ．
由于 在棱 上，设 ，所以 ．
所以 ．
设平面 的法向量为 ，
由题可得 ，
则 即
取 ，则平面 的一个法向量为 ．
由题意，得 ，
整理得 ．
解得 或 ．
因为 ，所以 ．
故存在点 ，且当点 位于 上靠近 的三等分点时，
平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
4．如图，在三棱锥 中， ， ．
(1)证明： ；
(2)在棱 上是否存在点 （不与端点重合），使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，
求出点 的位置，若不存在，请说明理由．【解析】（1）如图，取 的中点 ，连接 ，
因为 ，所以 ， ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
（2）存在点 ，位于棱 上靠近点 或点 的四等分点处，使直线 与平面 所成角的正弦值为
，证明如下：
如图，因为 ，易知 ，则 ，
取 的中点 ，连接 ，易知 ，又 平面 ，易知 两两垂直，
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴，过点 作 的平行线为 轴，建立如图所示的
空间直角坐标系．
由题设，易得 ， ，则 ， ， ， ，
则 ， ，设 ， ，
则 ，故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，解得 或 ，
故在棱 上存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ，此时点 位于棱 上靠近点 或点 的四等分点处．
题型三：立体几何折叠问题
5．（24-25高三上·云南昆明·期中）已知在长方形 中， ， ，点 是边 的中点，如
图甲所示.将 沿 翻折到 ，连接 ， ，得到四棱锥 ，其中 ，如
图乙所示.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 和平面 夹角的余弦值.
【解析】（1）连接 ，因为 是 中点，所以 ，
从而 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，
所以平面 平面 ；
（2）取 的中点 ，连接 ，则 ，又平面 平面 ，平面 平面
，
所以 平面 ，，
以 为原点，过 平行于 的直线为 轴， 为 轴，过 平行于 的直线为 轴建立空间直角坐
标系，如图，
则 ， ， ， ， ，
，
设平面 的一个法向量是 ，
则 ，取 得 ，
设平面 的一个法向量是 ，
则 ，取 ，得 ，
，
所以平面 和平面 夹角的余弦值为 ．
6．在如图1所示的图形中，四边形 为菱形， 和 均为直角三角形，
，现沿 将 和 进行翻折，使 （
在平面 同侧），如图2.
(1)当二面角 为 时，判断 与平面 是否平行；(2)探究当二面角 为 时，平面 与平面 是否垂直；
(3)在（2）的条件下，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】（1）若二面角 为 ，则平面 平面 ，
因为平面 平面 ，且 ，所以 平面 ，
如图，以 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则 ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，因为 ，
所以 令 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 不与平面 平行.
（2）取 的中点 ，连接 ，则 ，
因为 ，所以二面角 的平面角为 ，即 ，
如图，以 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则 ， ，设平面 的法向量为 ，因为 ，
所以 令 ，得 ，
设平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 令 ，得 ，
因为 ，所以 不垂直，所以平面 不与平面 垂直.
（3）在（2）中的坐标系中，设平面 的法向量为 ，
因为 ，
所以 令 ，得 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .题型四：立体几何作图问题
7．（2024·河南信阳·模拟预测）长方体 中， .
(1)过E、B作一个截面，使得该截面平分长方体的表面积和体积.写出作图过程及其理由.
(2)记（1）中截面为 ，若 与（1）中过 点的长方体的三个表面成二面角分别为 ，求
的值.
【解析】（1）连接 ，取 中点 ，则 与 可确定一个平面，该平面即为所求.
连接 ,取点 使得 .连接 ， ,则所作截面为平面 .
理由：连接 , ,
, （长方体性质）
∴四边形 为平行四边形，
又 为 中点（长方体性质）
∴ 为 中点， 四点共面，
A B C D A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
∵面 面 ,面 面 ,面 面 ，
所以 ，同理可证得 .
∴四边形 为平行四边形,取 ,设长方体左半部分几何体体积为 ,表面和为 ,
因为 ，设 ，
所以 ， ，
,
综上，平面 符合题意
（2）易知 两两垂直,以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
由题 ， 令 ，则有 ,则
，
设平面 、平面 、平面 的法向量分别为 由长方体性质可知
设平面 法向量为⃗n=(x,y,z)则有 ，即 ，令 ，则 ，∴
则
8．如图，正四面体 ，
(1)找出依次排列的四个相互平行的平面 ， ， ， ，使得 ，且其中每相邻两个平
面间的距离都相等．请在答卷上作出满足题意的四个平面，并简要说明并证明作图过程；
(2)若满足（1）的平面 ， ， ， 中，每相邻两个平面间的距离都为1，求该正四面体 的体
积．
【解析】（1）如图所示，取 的三等分点 ， ， 的中点 ， 的中点 ，
过三点 ， ， 作平面 ，过三点 ， ， 作平面 ，
因为 ， ，所以平面 ，
再过点 ， 分别作平面 ， 与平面 平行，那么四个平面 ， ， ， 依次相互平行，
由线段 被平行平面 ， ， ， 截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，
故 ， ， ， 为所求平面．（注：也可将正四面体放入正方体内说明）（2）解法一：设正四面体的棱长为 ，
结合（1）有 的中点 ，再取 的中点 ，连接 交 于 ，
则由等边三角形的性质可知 为 的中心，且 ，
则以 为坐标原点，以平行于直线 且过点 的直线为 轴，直线 为 轴，直线 为 轴建立空
间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
令 ， 为 的三等分点， 为 的中点， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的法向量 ，
则有 ，即 ，取 ，则 ， ，即 ．
又 ， ， ， 相邻平面之间的距离为1，
所以点 到平面 的距离为 ，解得 ．
由此可得，边长为 的正四面体 满足条件．
所以所求正四面体的体积 ．
解法二：放入正方体，转化为平几问题．
如图，将此正四面体补形为正方体 ，
分别取 ， ， ， 的中点 ， ， ， ，
平面 与 是分别过点 ， 的两平行平面，若其距离为1，
则正四面体 满足条件，右图为正方体的下底面，
设正方体的棱长为 ，若 ，因为 ， ，
在直角三角形 中， ，所以 ，所以 ，
又正四面体的棱长为 ，
所以此正四面体的体积为 ．
题型五：立体几何建系繁琐问题
9．（2021·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 是矩形，
， 分别为 ， 的中点， 为 上一点，过 和 的平面交 于 ，交 于 .
（1）证明： ，且平面 平面 ；
（2）设 为 的中心，若 ， 平面 ，且 ，求四棱锥
的体积.
【解析】（1）因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，
又 ，所以 ，
在等边 中， 为 中点，则 .
又因为侧面 为矩形，所以 .因为 ， ，
由 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 ，且 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，且平面 平面 ，
所以 .
又因为 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面
所以平面 平面 .
（2）过 作 垂线，垂足为 ，画出图形，如图.
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，又因为 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
因为 为 的中心，
所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 = ，
平面 ，
所以 平面 ，
又因为在等边 中， ，得 ，
由（1）知，四边形 为梯形，
所以四边形 的面积为 ，
所以 ， ，
，所以 ，
所以 .
10．（21-22高三上·山东临沂·开学考试）如图，已知斜三棱柱ABC﹣ABC 的底面是等腰直角三角形，BC
1 1 1
AB，侧面BBC C是正方形，D，E分别为BC，BC 的中点，P为AD上一点，过P和BC 的平面交
1 1 1 1 1 1
AB于M，交AC于N．（1）证明：AA DE，且平面AAED 平面MNC B；
1 1 1 1
∥ ⊥
（2）设Q为AE的中点，若AQ 平面MNC B，且AQ AB，求平面MNC B 与平面ABC所成锐二面角
1 1 1 1 1
∥
的余弦值．
【解析】（1）证明：因为DE BB，AA BB，所以AA DE，
1 1 1 1
平面PBC 分别与两个平行平面∥ ABC，A∥BC 相交于MN∥，BC ，
1 1 1 1 1 1 1
所以MN BC ，
1 1
又因为B∥C AD，BC BC，所以MN AD，
1 1
因为BC B⊥B，BB AA∥ ，所以BC A⊥A，
1 1 1 1
而BC M⊥N，所以M∥N AA， ⊥
1
又AD∥，AA 是平面AA⊥ED内两条相交直线，
1 1
故MN 平面AAED，
1
故平面⊥AAED 平面MNC B；
1 1 1
（2）连接EP，⊥因为AQ 平面MNC B，故AQ PE，
1 1
故PE MN，又AD MN，∥ ∥
故∠E⊥PD是二面角⊥E﹣MN﹣D的平面角，
设AB＝2，则 ， ，PE＝3，
由余弦定理可得， ，
故平面MNC B 与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 ．
1 1题型六：两角相等（构造全等）的立体几何问题
11．如图，在三棱锥 中， 是等边三角形， ，点P是AC的中点，连接
BP，DP
证明：平面 平面BDP；
若 ， ，求三棱锥 的体积．
【解析】 证明：如图所示，
因为 是等边三角形， ，
所以 ≌ ，可得 ，
又因为点P是AC的中点，则 ， ，又 ， 平面PBD， 平面PBD，
所以平面 平面BDP；
设 ，在 中， ，则 ；
在等边 中， ，
在等腰 中， ；
在 中，由 ，得 ；
由余弦定理得 ，
即 ，解得a=2；
所以 的面积为 ，
所以三棱锥 的体积为 ．
12．如图，在三棱锥 中，ΔABC为等边三角形， ， 面积是ΔABC面积的两
倍，点 在侧棱 上.
（1）若 ，证明：平面 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 ，且 为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：因为 ，所以 ，
所以 ．
取BC中点O，连结DO,AO，所以DO BC，AO BC，
⊥ ⊥因为 ，所以BC 平面AOD，所以BC AD，
又因为BM AD， ⊥ ，所以AD 平面B⊥CM，
所以平面A⊥CD 平面BCM． ⊥
（2）由（1）知⊥， 是二面角D-BC-A的平面角，
所以 ，
过 作 交 延长线于G，因为BC 平面AOD， 平面AOD，
所以 ， ⊥
因为 ，所以 平面 ．
如图，以O为原点，以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，
又因为 ，
所以 ，
在 中， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ， ，
设 是平面DCA的法向量，则 即
取 ，
因为点 是线段AD的中点 ，所以 ，
所以 ，
设直线BM与平面DCA所成角的大小为 ，则
，
所以直线BM与平面CDA所成角的正弦值为 ．
题型七：利用传统方法找几何关系建系
13．（2024·山东淄博·二模）已知直角梯形 ， ， ， ，
为对角线 与BD的交点．现以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，点 为 的中点，
如图所示：
(1)证明： 平面PBM；
(2)求三棱锥 体积的最大值；
(3)当三棱锥 的体积最大时，求直线AB与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）直角梯形 中，由相似可得，
因为 ， ，可得 ， ，
故可得 ， ，
由 ，则由勾股定理逆定理得， ，即 ，
，
翻折后可得， ， ，
又因为 ， 在平面 内，
故 平面
（2）因为点 为边 的中点，
所以 ，又 ，
所以 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h，
因为 为定值，
当h最大时，三棱锥 的体积最大，
而 ，则 ，
当h=1时， .
（3）由（2）得，当三棱锥 的体积最大时，
点P到平面ABC的距离为 ，即 平面 ．
故 ， ，
又因为 ，
故 ， ， 两两垂直．
故可以 为原点，
直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，由题可得， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线AB与平面 所成角的正弦值为 ．
14．（24-25高三上·山东潍坊·期末）如图所示，在四棱锥 中，底面 为菱形， 为棱
的中点．
(1)若直线 与平面 的交点为 ，证明： 平面 ；
(2)已知 平面 ， ， ，且二面角 的大小为 ，求直线 与平面
所成角的正弦值．
【解析】（1）因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为平面 平面 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）
如图，过点 作 于点 ，连接 ， ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 为二面角 平面角，
即 ，
因为 ，
所以 ，所以在 中， ，
以 ， 分别为 轴， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，则 ，
即 ，
令 ，得 ， ，
所以 ，设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角正弦值为 ．
题型八：空间中的点不好求
15．如图，已知斜四棱柱 的侧面和底面均为全等的菱形，且 ，
．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 为 的中点，求二面角 的余弦值.
【解析】（1）解法一：
如图，取 中点 ，连接 ，
因为斜四棱柱 的侧面和底面均为全等的菱形，且 ，
所以 和 均为等边三角形，
所以 ， ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ．
由底面 为菱形，可知 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ．
解法二：
如图，设 交于点 ，则 为 的中点，
连接 ，
由侧面均为全等的菱形可知 ，所以 ，
又由底面 为菱形可知 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）以 的交点 为原点，以 所在的直线分别为 轴， 轴，过 且垂直于底面作 轴，建
立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ，
由题知四面体 为正四面体，记 为 的中心，则 平面 ，
因为 ，
所以 ，则 ，
又由 ， 得 ，
则 ，
故 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ， ，
则平面 的一个法向量 ，
设平面 的法向量为 ，
则 即
令 ，则 ， ，
则平面 的一个法向量 ，设二面角 的大小为 ，由图知 为锐角，
所以 ，
故二面角 的余弦值为 ．
16．如图，在四棱台 中， 平面 平面
.
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 关于平面 的对称点 到平面 的距离.
【解析】（1）连接 ，因为 ， ，
所以 ，所以 四点在同一平面 上，
又因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，可得四边形 为平行四边形，
所以 ；
（2）因为 ， ， ， ，所以四边形 是等腰梯形，做 交 与点 ，可得 ，
所以 ，且 ，
以点 为原点， 所在的直线分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ，
， ， ， ，
设向量⃗n=(x,y,z)为平面 的一个法向量，
则 ，即 ，令 ，得 ，
所以 ，
设向量 为平面 的一个法向量，
则 ，即 ，令 ，得 ，
所以 ，
，
设平面 与平面 所成角的为 ，
所以 ；
（3）由（2）建立的空间直角坐标系，得
， ，， ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ，即 ，令 ，得 ，
所以 ，
则点 到平面 的距离
为 ，
设 ，则 ，
因为 与 共线， ，可得 ，
，
所以点 到平面 的距离
为 ，
解得 ，或 （舍去），
此时 ， ，
所以点 到平面 的距离 .重难点突破：新定义问题
17．（24-25高三上·江西萍乡·期中）定义：多面体 在点 处的离散曲率为
，其中 为多面体 的一个顶点， （
， 且 ）为多面体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 、平面 、 、平
面 和平面 为多面体 的所有以 为公共点的面．如图，在四棱锥 中， 平面
，底面 为正方形， ， ．
(1)求四棱锥 在顶点 处的离散曲率；
(2)求四棱锥 内切球的表面积；
(3)若 是棱 上的一个动点，求直线 与平面 所成角的取值范围．
【解析】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，则 ．因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， 、 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，即 ，
由离散曲率的定义得 ．
（2）因为四边形 为正方形，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
设四棱锥 的表面积为 ，
则
．
设四棱锥 的内切球的半径为 ，则 ，
所以 ，
所以四棱锥 内切球的表面积 ．
（3）如图，过 点作 交 于点 ，连接 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
则 为直线 与平面 所成的角．
易知，当 与 重合时， ；当 与 不重合时，设 ，
在 中，由余弦定理得
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，
所以 ．
当分母 最小时， 最大，即 最大，此时 （ 与 重合），
由 ，得 ，即 ，
所以 的最大值为 ，
所以直线 与平面 所成角的取值范围为 ．
18．在空间直角坐标系Oxyz中，这点 且以 为方向向量的直线方程可表示为
，过点 且以 为法向量的平面方程可表示为
．(1)已知直线 的方程为 ，直线 的方程为 ．请分别写出直线 和直线
的一个方向向量．
(2)若直线 与 都在平面 内，求平面 的方程；
(3)若集合 中所有的点构成了多面体Ω的各个面，求Ω的体积和相邻两个面
所在平面的夹角的余弦值．
【解析】（1）因为直线 的方程为 ，即 ，可知直线 的一个方向向量
；
直线 的方程为 ，即 ，可知直线 的一个方向向量 .
（2）由题意可知：直线 过点 ，且其一个方向向量为 ，
直线 过点 ，且其一个方向向量为 ，
则 为平面 内一点.
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
所以平面 的方程为 ，即 .
（3）由集合 可知，
多面体 与坐标轴交于各点 ， ，如图所示，可知四边形 为正方形，
边长 ，
所以，正方形 的面积为 ，
而正四棱锥 的高为 ，
则 ，
所以多面体 的体积为 .
由集合 中所有的点构成了多面体 的各个面，
点 均满足方程 .
可知平面 的方程为 ，且该平面的一个法向量为 ，
同理可知，平面 的方程为 ，该平面的一个法向量为 ，
平面 的方程为 ，该平面的一个法向量为 ，
所以 .
由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为 .
故多面体 相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为 .
综上， 的体积为 ，相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为 .1．（24-25高三上·江苏苏州·期末）如图，已知四棱锥 的底面 是边长为2的菱形，
， ， 分别为线段 和线段 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）连结 ．
因为四边形 为菱形，所以 ．因为 ，所以 为正三角形．
因为 为 中点，所以 ．
因为 且 为 中点，所以 ．
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又因为 ， ，
平面 ，所以 平面 ．
法一：延长 交于点 ，连结 ．
因为四边形 为菱形，所以 且 ．因为 为 中点，所以 且 ，所以 为 中点．
因为 为 中点，所以 ，
所以直线 与平面 所成角即为直线 与平面 所成角．
．
设 到平面 的距离为 ，
，所以 ．
在 中， ，则 ．
设 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
法二：因为 ， 平面 ，所以 两两垂直．
以 为原点， 所在直线分别为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ．
因为 为 中点，所以 ．
则 ．
设平面 的法向量为 ，所以 ，则 ，即 ，
令 ，则平面 的一个法向量为 ．
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
2．（24-25高三上·辽宁·期末）如图，在四棱锥 中，底面ABCD为矩形，平面 平面
，点 在棱PB上，且 平面ACE.
(1)求证： 为PB的中点；
(2)求平面ACE与平面ACD夹角的正弦值.
【解析】（1）证明：连接BD交AC于点 ，连接EF，
因为底面ABCD是矩形，所以 为BD的中点，
因为 平面 平面PBD，
平面 平面 ，所以 ，
又因为 为BD的中点，所以 为PB的中点.
（2）取CD的中点 ，连接PO，FO，
因为底面ABCD为矩形，所以 ，
因为 为CD的中点，
所以 ，
，所以 ，又因为平面 平面ABCD，平面 平面 平面 ，
所以 平面ABCD，所以 ，
所以OF，OC，OP两两垂直.
以 为坐标原点，OF，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意可得 ， ，
则 ，
由上可知 为平面ACD的一个法向量，
设平面ACE的法向量为 ，
则 令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以平面ACE与平面ACD夹角的正弦值为 .
3．（24-25高三上·山东潍坊·期末）如图，在直平行六面体 中， ，且
， ， 分别为 ， 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)点 在棱 上，当平面 与平面 所成角的余弦值为 时，求 .
【解析】（1）在直平行六面体 中，
易知 ，因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
在矩形 中， ， ， ，
所以 ，所以 ，
因为 为 的中点，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，所以
，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
平面 的法向量为 ，
设 （ ），则 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
所以 所以
令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
所以 ，
所以 或 ，
所以 的值为 或 .4．（24-25高三上·广西河池·期末）如图，在多面体 中， 是边长为2的等边三角形，
平面 ， ， ， ， ，设 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)设 为棱 上的动点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值．
【解析】（1）如图，在平面ABC内过点 作直线 ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ， ，
∴以 为坐标原点， 分别为坐标轴，如图建立空间直角坐标系 ，
则 ，A (0,0,4)， ， ，
1
∵ 为 的中点，∴ ，
∴ ， ，⃗A A =(0,0,4)，
1∴ ，即 ，
又∵ 平面 ， 平面 ， ，
∴ 平面 .
（2）设 ，即
则 ，
， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，令 ，则 ，
即 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
令 ，
当 时， 取最小值，即 ，
即当 时， 取得最大值， ，5．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）正三角形 所在的平面与菱形 所在的平面互相垂直，
， ， 是AB的中点.
(1)求证： ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角为 ？若存在，求出 的值；若不存
在，说明理由.
【解析】（1）∵ ， 是 的中点，∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ， 平面 ，
.
∴（2）由（1）知 平面 ， 平面 ，
∴ ，菱形 中， ，
所以 是正三角形，∴ ．
∴ 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系 ．则 ， ，B(1,0,0)， ， ，
因为 轴垂直平面 ，所以设平面 的法向量为⃗n=(0,1,0)
， ，
设 ， ，
则 ，
∵直线 与平面 所成的角为 ，
，
由 ，解得 ，∴ ．
6．（2024·江西新余·模拟预测）如图，在平面图形甲中， ， ， 与
分别为以 斜边的等腰直角三角形，现将该图形沿 向上翻折使 边重合（
重合于 ），连 .图乙中， 为 中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)求平面 与平面 夹角的正弦值.
【解析】（1）图乙中，由题意知 ，所以 ，
， 平面 ，所以 平面 ；
（2）取 中点为 ，由于 为 中点，故 且 ，结合 ，
所以 且 ，
故四边形 为平行四边形，
所以 ，而 平面 ， 平面 ，
故 平面
（3）在等腰梯形 中，设 ，
过C作 ，则 所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，所以 ,所以 ，
如图以 分别为 轴建立空间直角坐标系：，
设平面 法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则 ，则 ，
平面 法向量可取为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
所以 ，故
7．（24-25高三上·辽宁·期末）在四棱锥 中，底面 为矩形，且 ．
(1)证明：平面 底面 ．
(2)若 ， ， ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）因为底面 为矩形，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 底面 ，所以平面 底面 ．
（2）由（1）得 ， ，又 ，
以 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，因为 ， ，
则 ， ， ， ，
则 ， ，
设 ，因为 ，则 ，
解得 ，所以 ，则 ．
设平面 的一个法向量为⃗n=(x,y,z)，则由 ，
得 ，令 ，得 ．
因为 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
8．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）如图，四棱锥 的底面 是边长为3的正方形， ，
.
(1)证明： 平面 ；(2)已知点 在线段 上，且 （ ），若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求
的值.
【解析】（1）因为四边形 是正方形，所以 ，
因为 ， ，所以 ．
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，即 ．
因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 .
（2）由（1）知 ， ， 两两垂直，
因为 ， ，所以 ．
以点 为原点， ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设 ，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ，即 所以 所以 ， ，
设⃗n=(x,y,z)是平面 的一个法向量，则
所以 令 ，则 所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，解得 或 ．
9．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，正方体 的棱长为1，点M，N分别在线段 ，
上，且 ， .
(1)若 ，证明： ；
(2)若 ，点P，Q分别在直线 ， 上，且 ， ，求 的取值范围.
【解析】（1）连接 ， ，当 ，则 是 的中点， 是 的中点，
所以 ，
因为 面 ， 面 ，所以 ，
所以 .（2）以 点为原点， ， ， 方向为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系，则
A(1,0,0)， ， ， ， ，
， ，所以 ， ，
所以 ， ，所以 ，
又 ，设直线 的方向向量为 ，
则由 得 ，
取 ，又 ，
所以由 得 ，
易知 在 单调递减， 单调递增
所以 ，所以 .
10．（24-25高三上·江苏无锡·期末）如图，四棱柱 的底面 是边长为2的正方形，
侧面 底面 是线段 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【解析】（1）证明：连接 交 于点 ，连接 ，
在平行四边形 中， 为 的中点，
又 为 中点， ，
平面 平面 ，平面 .
（2） 平面 平面 ，
在面 内，过 作 ， 平面 ，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
，
由 可得 ，因此
设平面 与平面 的一个法向量分别为
所以 ，令 ，则 ，即 ；
同理 ，解得 ，令 ，则 ，即 ；
设二面角 的平面角为 ，显然 为锐角，
因此 ；
即二面角 的余弦值为 .
