文档内容
3.1 图形的平移
课堂知识梳理
1、定义：在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，
这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。
2、性质：平移前后两个图形是全等图形
（1）对应点连线平行且相等（2）对应线段平行且相等（3）对
应角相等。
3、平移作图：做三角形平移后的图形。
课后培优练
级练
培优第一阶——基础过关练
1．下列现象是平移的是（ ）
A．电梯从底楼升到顶楼 B．卫星绕地球运动
C．纸张沿着它的中线对折 D．树叶从树上落下
【答案】A
【详解】解：A、电梯从底楼升到顶楼为平移现象，故该选项符合题意；
B、卫星绕地球运动为旋转现象，故该选项不符合题意；
C、纸张沿着它的中线对折是轴对称现象，故该选项不符合题意；
D、树叶从树上落下既不是旋转也不是平移，故该选项不符合题意．
故选：A．
2．下列几幅鲸鱼的图案，由图中所示的图案通过平移后得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、由图中所示的图案通过旋转而成，不符合题意；
B、由图中所示的图案通过翻折而成，不符合题意；
1C、由图中所示的图案通过旋转而成，不符合题意；
D、由图中所示的图案通过平移而成，符合题意；
故选：D
3．如图，△ABC沿射线BC方向平移到△≝¿（点E在线段BC上），如果BC=7cm，
EC=4cm，那么平移距离为（ ）
A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm
【答案】A
【详解】解：由题意得：平移的距离为BE=BC−EC=7−4=3(cm)，
故选：A．
4．在平面直角坐标系中，把点(2,3)向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的
坐标是（ ）
A．(3,1) B．(0,4) C．(4,4) D．(1,1)
【答案】B
【详解】解：∵点(2,3)向上平移1个单位，再向左平移2个单位，
∴所得到的点的横坐标是2−2=0，纵坐标是3+1=4，
∴所得点的坐标是(0,4)．
故选：B．
5．如图，长方形ABCD中，线段AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，那么三
角形DCE可以看作由_________平移得到的．
【答案】△ABO
【详解】解：在长方形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，那么三
角形DCE可以看作是三角形△ABO平移得到的，平移的距离是线段BC的长．
故答案为：△ABO．
6．如图，△≝¿是由△ABC通过平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若BF=14，
EC=4，则BE的长度是_____．
2【答案】5
【详解】根据平移可知：EF=BC，
∴EF−EC=BC−EC，
∴FC=BE，
∵BF=14，EC=4，
BF−EC
∴FC=BE= =5，
2
故答案为：5．
7．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向
平移到△≝¿的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为__
【答案】48
【详解】解：由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE−DO=10−4=6
1 1
∴S =S = (AB+OE)•BE= ×(10+6)×6=48
四边形ODFC 梯形ABEO 2 2
故答案为：48．
8．如图，平面直角坐标系中，线段AB端点坐标分别为A(−5,0)，B(0,−3)，若将线段
AB平移至线段A B ，且A (−3,m)，B (2,1)，则m的值为______．
1 1 1 1
【答案】4
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，线段A B 是由线段AB平移得到的，
1 1
3且A(−5,0)，B(0,−3)，A (−3,m)，B (2,1)，
1 1
∴m−0=1−(−3)，
∴m=4，
故答案为：4．
9．按要求画图．
(1)将下图中的“小船”向左平移4格，再向上平移1格．
(2)如果平移后“小船”的顶部A点移到B点，请画出“小船”．
【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析
【详解】（1）解：如图所示：
∴以上图形即为所求；
（2）解：如图所示：
4∴以上图形即为所求．
10．如图，△ABC沿直线l向右平移4cm，得到△FDE，且BC=6cm，∠ABC=45°．
(1)求BE的长．
(2)求∠FDB的度数．
(3)写出图中互相平行的线段（不另添加线段）．
【答案】(1)10cm
(2)135°
(3)AB∥DF；AC∥FE
【详解】（1）解：由平移知，BD=CE=4cm，
∵BC=6cm，
∴BE=BC+CE=6+4=10(cm)．
（2）解：由平移知，∠FDE=∠ABC=45°，
∴∠FDB=180°−∠FDE=180°−45°=135°．
（3）解：图中互相平行的线段有AB∥DF；AC∥FE．
11．△ABC在如图所示的平面直角中，将其平移后得△A'B'C'，若B的对应点B'的坐标
是(−2,2)．
5(1)在图中画出△A'B'C'；
(2)此次平移可看作将△ABC向____平移了______个单位长度，再向____平移了______个单
位长度得△A'B'C'；
(3)△ABC的面积为______．
【答案】(1)见解析；(2)右、1、上、1；(3)5.5
【详解】（1）如图所示，△A'B'C'′即为所求；
（2）此次平移可看作将△ABC向右平移了1个单位长度，再向上平移了1个单位长度得
△A'B'C'；
故答案为：右、1，上、1；
1 1 1
（3）△ABC的面积为4×5− ×1×2− ×3×4− ×3×5=5.5，
2 2 2
故答案为：5.5．
12．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上．
6(1)请写出A、B、C三点的坐标；
(2)将△ABC先向左平移4格，再向下移2格，请画出平移后的三角形ΔA B C ；
1 1 1
(3)写出A、B、C的对应点A 、B 、C 的坐标；
1 1 1
【答案】(1)A(2,−1)，B(4,3)，C(1,2)；(2)见解析
(3)A (−2,−3)、B (0,1)、C (−3,0)
1 1 1
【详解】（1）解：由图可知：
A(2,−1)，B(4,3)，C(1,2)；
（2）如图所示：
（3）如图，A (−2,−3)、B (0,1)、C (−3,0)．
1 1 1
13．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．
7(1)△ABC的面积为 ；
(2)将△ABC平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'，请补全△A'B'C'；
(3)连接A A'、BB'，则这两条线段之间的关系是 ；
(4)点P为格点，且S =S （点P与点A不重合），满足这样条件的P点有 个．
△PBC △ABC
【答案】(1)8；(2)见解析；(3)A A'∥BB'；(4)4
1
【详解】（1）解：△ABC的面积为 ×4×4=8，
2
故答案为：8．
（2）解：如图所示，△A'B'C'即为所求
（3）根据平移的特点，可知A A'∥BB'，
故答案为：A A'∥BB'．
8（4）如图，符合题意的点P有4个
故答案为：4．
培优第二阶——拓展培优练
14．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=13，AB=12，则图中五个小直角三角形的周
长之和为（ ）
A．25 B．18 C．17 D．30
【答案】D
【详解】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB，
∵BC=√AC2−AB2=√132−122=5，
∴五个小直角三角形的周长之和=AC+BC+AB=13+5+12=30．
故选：D．
15．如图，将边长为4cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿AD方向平
移，得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积是4cm2，则它移动的距离A A'等于（
）
9A．3cm B．2.5cm C．1.5cm D．2cm
【答案】D
【详解】解：如图，
设A'B'交AC于点E，
由题意可知∠A=45°，
∴A A'=AE，
设A A'=xcm，则A'E=x，A'D=(4−x)cm，
∵两个三角形重叠部分的面积是4cm2，
∴x(4−x)=4，
解得x=2，
即平移的距离为2cm，
故选：D
16．如图，Rt△ABC的斜边BC=5，点A，B的坐标分别是(1,0)，(4,0)，将Rt△ABC沿
第一象限的角平分线方向平移，当点C落在直线y=2x−6上时记作点C'，则C'的坐标是
（ ）
A．(9,12) B．(10,14) C．(11,16) D．(12,18)
【答案】A
【详解】解：∵点A，B的坐标分别是(1,0)，(4,0)，
10∴OA=1,OB=4
∴AB=3
在Rt△ABC中，BC=5，则AC=√BC2−AB2=√52−32=4
∴C(1,4)
∵Rt△ABC沿第一象限的角平分线方向平移，
∴点C在平行于第一象限的角平分线且过(1,4)的直线上平移，
∴设该直线的解析式为y=x+b
∴4=1+b
∴b=3
∴y=x+3
∵点C落在直线y=2x−6上时记作点C'，
∴¿
解得：¿
∴C'(9,12)
故选：A
17．如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再
竖直向下平移1个单位长度得到点P (−1,−1)；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直
1
向上平移2个单位长度得到点P ；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个
2
单位长度得到点P ；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到
3
点P
4
，⋯，按此作法进行下去，则点P
2022
的坐标为（ ）
A．(1012，1012) B．(2011，2011) C．(2012，2012) D．(1011,1011)
【答案】D
【详解】解：由题意得，偶数点在第一象限，
∵P (−1,−1)水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P ，
1 2
∴P (1，1)，
2
同理可得，P (2,2)，P (3，3)…
4 6
∴P (n,n)，
2n
∴P (1011，1011)，
2022
11故选：D．
18．如图，将周长为20个单位的△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△≝¿，则四边形
ABFD的周长为__________．
【答案】26
【详解】解：由平移的性质可知AD=CF=3，AC=DF，
∵△ABC的周长为20，
∴AB+AC+BC=30，
∴△≝¿的周长=AD+AB+BF+DF=AD+AB+BC+CF+DF=26，
故答案为：26．
19．如图，在一块长AB=26m，宽BC=18m的长方形草地上，修建三条宽均为3m的长方形
小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为 ___________m2
【答案】300
【详解】解：依题意，(26-3×2) × (18-3)
=20×15
=300．
故答案为：300．
20．如图，在 △ABC 中，AB=4，BC=6，∠B=60∘，将 △ABC 沿射线 BC 的方向
平移 2 个单位后，得到 △A'B'C'，连接 A'C，则 △A'B'C 的周长为____ ．
【答案】12
【详解】解：由平移可知△A'B'C'≌△A'B'C
∴B'C=B'C'−CC'=6−2=4，
AB=A'B'=4，
12∠A'B'C'=∠B=60∘
∴B'C=A'B'=4
∴△A'B'C是等边三角形，
△A'B'C 的周长为：
4×3=12
故答案为：12
21．如图，边长为1的小正方形构成的6×6网格中，每个小正方形的顶点称为格点．AD
是△ABC的角平分线，其中A，B，D为格点．
(1)画出AB的中点M；
(2)在AC上画点N，使ND∥AB；
(3)画点B关于AD的对称点P；
(4)若△QAB是等腰三角形，直接写出该网格中满足条件的格点Q的个数．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；
(4)Q点的个数有5个，满足△QAB是等腰三角形
【详解】（1）如图所示：
作AB的垂直平分线交AB于点M，则M即为AB的中点；
（2）作AD的垂直平分线，交AC于点N，连接ND，
∵AN=ND，
∴∠NAD=∠NDA，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAC=∠NDA，
∴ND∥AB
13（3）如图所示：
过B点作BO⊥AD，交AD于点O，使BO=OP，则点P于点B关于AD对称；
（4）Q点的个数有5个，满足△QAB是等腰三角形，
理由如下：
如图所示：
AQ为底，满足满足△QAB是等腰三角形的Q点的个数有2个，
AB为底，满足满足△QAB是等腰三角形的Q点的个数有1个，
BQ为底，满足满足△QAB是等腰三角形的Q点的个数有2个，
综上所述： Q点的个数有5个，满足△QAB是等腰三角形
22.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,4)，线段MN的位置如图所示，其中点M的
坐标为(−3,−1)，点N的坐标为(3,−2)．
(1)将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．
①请画出平移后的线段AB．
②点B的坐标为．
(2)在（1）的条件下，设平移过程中线段MN扫过的面积为S，求S的值．
【答案】(1)①见解析；②(6,3)
(2)33
【详解】（1）解：①如图， 已知A点坐标为(0,4)，所以M点横坐标加3，纵坐标加5，
14可变为A点，故N点横坐标加3，纵坐标加5，可变为B点，故B点坐标为(6,3)，根据B
点坐标画出图象即可，
；
②平移后B点的坐标为(6,3)；
(1 1 )
（2）如图，可知S =9×6−2× ×3×5+ ×1×6 =33．
四边形AMNB 2 2
23．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(4,2)、C(3,4)．
(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A B C ；
1 1 1
(2)请画出△ABC关于x轴对称的△A B C 三个顶点A 、B 、C 的坐标；
2 2 2 2 2 2
(3)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解析，A (1,−1)，B (4,−2)，C (3,−4)
2 2 2
(3)画图见解析，P(2,0)
【详解】（1）解：△A B C 如图所示；
1 1 1
15（2）解：△ A B C 如图所示，A (1,−1)，B (4,−2)，C (3,−4)；
2 2 2 2 2 2
（3）解：△PAB如图所示，P(2,0)．
24．【阅读理解】
在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a，b)（其中a>0，b>0），点P为平面内一点，现
给出如下定义：将点P先向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度，得到点P'，点
P'关于直线OM的对称点为Q、那么我们称点Q为点P关于点M的“平对点”．
【迁移运用】
在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a，b)（其中a>0，b>0），点P为平面内一点，点
16Q为点P关于点M的“平对点”，完成下列各题：
(1)当a=1，b=2时，
ⅰ）如图，若点P的坐标为(−2，1)，请在图中画出点Q；
ⅱ）如图，若点P的坐标为(−2，2)，连接PQ，求PQ的长；
(2)当点P在直线OM左侧时，连接PQ，OP，若直线PQ与直线OM相交所形成的锐角为
45°，求线段OP的长的最小值（用含a，b的代数式表示）．
13√5 √a2+b2
【答案】(1)ⅰ）作图见详解；ⅱ）PQ的长为 ；(2) ．
5 2
【详解】（1）解：ⅰ）∵a=1，b=2，
∴M(1，2)．
将点P(−2，1)向右移动1个单位长度为(−1，1)，再向上移动2个单位长度为(−1，3)，
∴P'(−1，3)，
∴点P'关于OM的对称点Q，如图所示；
ⅱ）将点P(−2，2)向右移动1个单位长度为(−1，2)，再向上移动2个单位长度为
(−1，4)，
17∴P'(−1，4)．
如图，连接PP'，PQ．
设直线OM的解析式为y=kx，
∴2=k，
∴直线OM的解析式为y=2x．
设直线PP'的解析式为y=k'x+b，
∴¿，解得：¿，
∴直线PP'的解析式为y=2x+6，
∴PP'∥OM．
∵点P'和点Q关于OM的对称，
∴OM⊥P'Q，OM平分P'Q，
设P'Q与OM交于点N，过点N作NG⊥x轴于点G，P'H⊥NG于点H，如图所示，
则△P'HN∼△NGO，
P'H HN
∴ = ，
NG OG
设N的坐标为(t，2t)，
t+1 4−2t
则 = ，
2t t
7
解得：t= ，
5
187 14
∴N( , )
5 5
√ 7 2 14 2 6√5
∴QN=P'N=√(x −x ) 2+(y −y ) 2= (−1− ) +(4− ) =
P' N P' N 5 5 5
12√5
∴PP'⊥P'Q，P'Q=2P'N=
．
5
∵PP'=√(x −x ) 2+(y −y ) 2=√[−2−(−1)] 2+(2−4) 2=√5，
P P' P P'
√ 12√5 2 13√5
∴PQ= ( ) +(√5) 2= ；
5 5
（2）解：如图，设P'Q与OM交于点G，过G作x轴的平行线，交过P'且平行y轴的线于
B，交过Q且平行y轴的线于C，连接OP，PQ与OM交于A，
设P(x,y)，则P'(x+a,y+b)，
设PP'直线解析式为y=mx+n
则¿
b
解得：m= ，
a
∴PP'∥OM
由题意可知：
1
P'Q⊥OM，AP'=AQ，AG= PP' ，
2
∴PP'⊥OM
∴∠PP'Q=90°
当∠MAQ=45°时，
∠AQG=∠AP'G=45°,
∠AP'P=∠AP'G=45°
∠QAM=∠OAP=∠APP'=45°
∠AP'P=∠APP'=45°
AP=AP'=AQ
当OP的长的有最小值时
OP⊥OM
∠POA=90°
在△PAO与△PAG中
¿
∴△AGQ≌△AOP(AAS)
1
∴∠AQG=∠APO=45°，OA=AG= PP'
2
191
∴OP=OA= PP'
2
∵PP'=√a2+b2
√a2+b2
∴OP=
2
√a2+b2
故OP的长的最小值为
2
培优第三阶——中考沙场点兵
25．（2022·广西·统考中考真题）2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计
的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神下列的四个图
中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，得
不能由 平移得到，
故A不符合题意；
20不能由 平移得到，
故B不符合题意；
不能由 平移得到，
故C不符合题意；
能由 平移得到，
故D符合题意；
故选D．
26．（2022·辽宁大连·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1,2)，
将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是_______．
【答案】(5,2)
【详解】解：∵将线段OA向右平移4个单位长度，
∴点A(1,2)向右边平移了4个单位与C对应，
∴C(1+4,2), 即C(5,2),
故答案为：(5,2).
27．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△ABC
1 1 1
的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B 的坐
1 1
标是________．
21【答案】（1，3）
【详解】解：∵顶点A（﹣3，4）的对应点是A（2，5），
1
又−3+5=2,4+1=5
∴平移ΔABC至ΔA B C 的规律为：将ΔABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位
1 1 1
即可得到ΔA B C
1 1 1
∵B（﹣4，2）
∴B 的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3）
1
故答案为：（1，3）
28．（2022·宁夏·中考真题）如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至
△CDE，点B的对应点E恰好落在直线y=2x−3上，则点A移动的距离是______．
【答案】3
【详解】解：当y=2x−3=3时，x=3，
∴点E的坐标为(3,3)，
∴△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，
∴点A与其对应点间的距离为3，
即点A移动的距离是3．
故答案为：3．
29．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的
图形三个端点的坐标分别是A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)．
22(1)画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；
(2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
(3)所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)图1是W，图2是X
【详解】（1）解：如图所示，将点A(2，3)，B(1，0)，C(0，3)得A' (0,3)，B' (−1,0)，
C' (−2,3)，
（2）解：如图所示，
23（3）解：图1是W，图2是X．
24
