文档内容
1.3 直角三角形 导学案
第1课时 直角三角形的性质与判定
1.掌握勾股定理及其逆定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
2.证明直角三角形的性质定理与判定定理。
3.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
学习重点：勾股定理及其逆定理的理解与应用，直角三角形判定与性质。
学习难点：对互逆命题、逆定理的理解，以及灵活运用勾股定理与逆定理进行综合解题。
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①直角三角形的定义：
有一个内角是直角的三角形叫作直角三角形.
②直角三角形的表示与构成：
(1)通常，我们用符号 “Rt△ABC”表示“直角三角形ABC ” .
(2)如图，直角所对的边称为直角三角形的斜边，夹直角的两条边称为直角三角形的直角边．
2.情景引入
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的 13个结，然后按如图所示的方法用桩钉钉
成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？
我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？新知自研：自研课本第24--26页的内容．
【学法指导】
自研课本P24-26页的内容，思考：
●探究一：直角三角形的性质与判定
◆1.议一议
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
【解答】解：已知在直角△ABC中，∠C＝90°.
由三角形的内角和定理可知∠A+∠B+∠C=180°，
所以∠A+∠B=180-∠C=90°.
【总结】定理：直角三角形的两锐角互余.
（2）如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？
【解答】解：已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，
结合三角形的内角和定理我们可以得到∠C=180°-（∠A+∠B）=90°，
所以这个三角形是直角三角形.
【总结】定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
◆2.练一练
具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D．∠A＝∠B＝3∠C
解：D
●探究点2：勾股定理及其逆定理的证明
◆1.议一议
我们曾经用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.实际上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾
股定理（有关证明过程参见本节“阅读·欣赏”）.
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.)几何语言：
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
◆2.尝试交流
在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用测量的方法得出“这个三角形是直角三
角形”的结论.你能用基本事实和已有定理证明这一结论吗？与同伴进行交流.
已知：如图①，在△ABC中， AB2+AC2=BC2.
求证：△ABC是直角三角形.
【分析】要证明△ABC是直角三角形，一般需要证明有一个角是直角。这里的已知条件是边的关系，由此
你能想到什么?借助边的关系，你能构造一个直角三角形，使它与△ABC全等吗?
【证明】如图②作Rt△A′B′C′,
使∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC,
则A'B'2+A'C'2=B'C'2（勾股定理）.
∵AB2+AC2=BC2 ,
∴BC2=B'C'2.
∴BC=B′C′.
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠A=∠A′=90°(全等三角形的对应角相等).
因此，△ABC是直角三角形.
◆3.知识归纳勾股定理的逆定理：
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
几何语言：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
特别说明：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平
方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对角为直角.
◆4.练一练
下列线段a∶b∶c的值，能够组成直角三角形的是（ ）
A.3∶4∶6 B.5∶12∶13
C.1∶2∶4 D.1∶3∶5
解：B
●探究点3：互逆命题与互逆定理
◆1.观察交流
(1)观察本节第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系?第三个定理和第四个定理呢?
与同伴进行交流。
解：第一个定理的条件和结论是第二个定理的结论和条件，
第三个定理的条件和结论是第四个定理的结论和条件.
(2)观察下面三组命题:
①如果两个角是对顶角，那么他们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
②如果a=b，那么a2=b2；
如果a2=b2，那么a=b。
③一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等。
上面每组中两个命题的条件和结论有类似的关系吗？与同伴进行交流.
解：上面每组中每两个命题的条件和结论也有类似的关系.
◆2.尝试思考
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？
解：命题：如果两个有理数相等，那么它们的平方相等.是真命题.
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.是假命题.一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题.
◆3.知识归纳
◎互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个
命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.
◎互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中
一个定理称另一个定理的逆定理.
例如本节课学习的第一个定理和第二个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互逆定
理.
【注意1】逆命题、互逆命题不一定是真命题，
但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
【注意2】不是所有的定理都有逆定理.
◆4.练一练
下列说法中,正确的是 ( )
A.每个命题都有逆命题
B.假命题的逆命题一定是假命题
C.每个定理都有逆定理
D.真命题的逆命题一定是真命题
解：A
【例题导析】
自研下面的例1和例2的内容，回答问题：
典例分析
例1 如图，点D在△ABC中，∠BDC=90°，CD=3，BD=4，AC=12，AB=13．
（1）求BC长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】(1)根据勾股定理和∠BDC=90°，BD=4，CD=2,可以先求出BC的长;
(2)根据勾股定理的逆定理先判断△ABC的形状，从而利用割补法求出阴影部分的面积
【解答】解：（1）∵∠BDC=90°，BD=4，CD=3，∴ BC=❑√BD2+CD2=❑√42+32=5，
答：BC长是5；
（2）∵AB=13，AC=12，BC=5，
∴AC2+BC2=122+52=144+25=169=132=AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
1 1 1 1
∴ S =S -S = ×BC×AC- ×BD×CD= ×5×12- ×4×3=24.
阴影 △ACB △BDC 2 2 2 2
故图中阴影部分的面积为24．
例2 写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
【分析】写出各个命题的逆命题，作出判断即可解答.
【解答】解：(1)逆命题：同旁内角互补，两直线平行．真命题．
(2)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线．真命题．
(3)逆命题：内错角相等．假命题．
(4)逆命题：等边三角形有一个角是60°. 真命题．
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨直角三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理以及如何判定互逆命题与互逆定理；
B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，总结解题方法.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.1．在△ABC中，∠C=90°,∠A=2∠B，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
解：B．
2.已知△ABC的三边分别为a,b,c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2=a2 −c2 B．∠A+∠B=∠C
C．a=6,b=8,c=10 D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
解：D．
3.在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，O为坐标原点．若要使△OAB是直角三角形，则点B的坐标不可
能是（ ）
A．(−4,2) B．(0,4) C．(4,2) D．(−2,2)
解：C.
4.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结
论错误的是（ ）
A. AB=❑√5 B．AC=5 C．BC=2❑√5 D．∠ACB=30°
解：D．
5. 给出下列四个命题，其中真命题的个数为（ ）
①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；
②一次函数y=3x-2，y随x的增大而增大；
③直角三角形两个锐角互余；
④三角形的一个外角大于任一内角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：C
6.命题“两直线平行，同位角相等.”的逆命题是______.
解：同位角相等,两直线平行
7.若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，它是直角三角形，则m的值为______．解: 2
8.若一个三角形的三边比为❑√3：❑√5：2❑√2,则此三角形是____三角形.
解：直角
9.在△ABC中，AB=13 cm，AC=20 cm，BC边上的高AD的长为12 cm，则△ABC的面积为_____cm2.
解:126 或66
1
10.如图，在正方形ABCD中，AE＝EB，AF＝ AD，
4
求证：CE⊥EF.
证明：如题图，连结CF，设正方形的边长为4.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.
∵点E为AB的中点，AF＝1/4AD，
∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3，
∴由勾股定理，得EF2=12+22=5,EC2=22+42=20,FC2=42+32=25.
∴EF2+EC2=FC2，
∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90°，即CE⊥EF.
11.先判断下列命题的真假,再写出它的逆命题,最后指出其中的互逆定理.
(1)如果x2>0,那么x>0;
(2)长方形是正方形;
(3)内错角相等,两直线平行.
解:(1)原命题是假命题.逆命题:如果x>0,那么x2>0.
(2)原命题是假命题.逆命题:正方形是长方形.
(3)原命题是真命题.逆命题:两直线平行,内错角相等.其逆命题是真命题,它们互为逆定理.
12.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．
(1)求证：∠ACD＝∠B.
(2)若AC＝3，BC＝4，AB＝5，求CD的长．解:(1)证明：∵CD是Rt△ABC斜边上的高，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝∠A＋∠B＝90°，
∴∠ACD＝∠B.
1 1
(2)解：∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，S = ×AB×CD= ×AC×BC，∴5CD＝3×4，
△ABC 2 2
12
∴CD＝ .
5
题型一：直接利用直角三角形的性质求角度
1．如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，
则∠CED＝90°﹣40°＝50°，
∵l∥AB，
∴∠1＝∠CED＝50°，
故选：C．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
2．如图，一把直尺的一边缘经过直角三角形ABC的直角顶点C，交斜边AB于点D；直尺的另一边缘分别
交AB、AC于点E、F，若∠B＝30°，∠AFE＝70°，则∠DCB＝ 度．
【分析】先利用平行线的性质求出∠EDC，再利用平角的定义求出∠BDC，最后根据三角形内角和定理
求出∠DCB即可．
【解答】解：∵EF∥CD，∠AEF＝50°，
∴∠EDC＝∠AEF＝50°，
∵∠BDC+∠EDC＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣50°＝130°，
∵∠B＝30°，
∴∠DCB＝180°﹣∠B﹣∠BDC＝180°﹣30°﹣130°＝20°．
故答案为：20．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
3．如图，已知EF∥GH，Rt△ABC的两个顶点A，C分别在直线EF，GH上，∠B＝90°，AB交GH于点
D，若CD平分∠ACB，∠FAC＝32°，则∠BAC的度数为（ ）
A．20° B．24° C．26° D．33°
【分析】先根据平行线的性质得到∠DCA＝∠FAC＝32°，再利用角平分线的定义得到∠ACB＝64°，然后根据三角形内角和定理计算∠BAC的度数．
【解答】解：∵EF∥GH，∠FAC＝32°，
∴∠ACD＝∠FAC＝32°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝2×32°＝64°，
∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣90°﹣64°＝26°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°；主要根据两已知角求第三个角．也考查
了平行线的性质．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为
AC延长线上的一点，连接DF．
（1）若∠A＝40°，求∠DBE的度数；
（2）在（1）的条件下，若∠F＝25°，求证：BE∥DF；
（3）若BE∥DF，探究∠A、∠F有怎样的数量关系，直接写出答案，不用证明．
【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由邻补角定义得出∠CBD＝
130°．再根据角平分线定义即可求出∠DBE＝65°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据∠F＝25°，即可得出BE∥DF；
（3）先根据平行线的性质得出∠F＝∠AEB，再根据三角形外角的性质得出∠DBE＝∠A+∠AEB，然后
利用角平分线定义得出结论．
【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
1
∴∠DBE= ∠CBD＝65°；
2
（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．
又∵∠F＝25°，
∴∠F＝∠CEB＝25°，
∴DF∥BE；
1
（3）解： ∠A+∠F＝45°．理由如下：
2
∵BE∥DF，
∴∠F＝∠AEB，
∴∠DBE＝∠A+∠AEB＝∠A+∠F．
∵BE是∠CBD的平分线，
1 1 1 1
∴∠DBE= ∠CBD= （∠A+∠ACB）= （∠A+90°）= ∠A+45°，
2 2 2 2
1
∴ ∠A+45°＝∠A+∠F，
2
1
∴ ∠A+∠F＝45°．
2
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补
角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
题型二：直接利用直角三角形的与折叠问题
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，点 D 为 AC 边上一动点，将△CBD 沿着直线 BD 对折得到
△EBD．若∠ABD＝15°，则∠ABE的度数为 ．【分析】依据角的和差关系即可得到∠DBC的度数，再根据折叠的性质即可得到∠ABE的度数．
【解答】解：∵∠ABD＝15°，∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣15°＝75°，
由折叠可得∠DBE＝∠DBC＝75°，
∴∠ABE＝∠DBE﹣∠ABD＝75°﹣15°＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小
不变，位置变化，对应边和对应角相等．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边
上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ ．
【分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
故答案为：70°．
【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据折叠的性质得出∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝
∠CED．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是边AB上一点，点D是边AC上一点，将△ABC沿
PD折叠，使点A落在边BC上的A′处，若A′P∥AC，则∠PDA′的度数为 ．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据图形翻折变换的性质得出∠A＝∠PA′D，
再由A′P∥AC可知∠A′DC＝∠PA′D，∠A′PD＝∠PDA，据此可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°．
∵△A′PD由△APD翻折而成，
∴∠A＝∠PA′D＝60°，∠PDA＝∠PDA′．
∵A′P∥AC，
∴∠A′DC＝∠PA′D＝60°，
∴2∠PDA′+∠A′DC＝180°，即2∠PDA′+60°＝180°，解得∠PDA′＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，平行线的性质及翻折变换，熟知翻折变换后的图形与原图形
全等是解题的关键．
8．如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝70°，∠C＝90°，则∠2的度数为 ．
【分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，
∴∠CDE＝∠C′DE，
∵∠1＝70°，
∴∠CDE＝∠C∠DE＝110°，
∴∠C′DA′＝40°，
∵∠C′＝∠C＝90°，∴∠2＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
题型三：直角三角形的判定
1 1
9．在下列条件中：①∠A﹣∠B＝90°；②∠A＝∠B﹣∠C；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠ B= ∠C
2 3
中，不能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用数值法判断①，利用直角三角形的性质判断②，利用三角形的内角和定理通过计算判断
③④后得结论．
【解答】解：①当∠A＝100°，∠B＝10°，此时∠C＝70°，该三角形不是直角三角形，故满足∠A﹣
∠B＝90°，不能确定△ABC是直角三角形；
②由∠A＝∠B﹣∠C，可得到∠A+∠C＝∠B，该三角形是直角三角形，故满足∠A＝∠B﹣∠C°，能确
定△ABC是直角三角形；
③由∠A＝∠B＝2∠C，可得∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，该三角形不是直角三角形，故满足∠A＝∠B
＝2∠C不能确定△ABC是直角三角形；
1 1
④由∠A＝∠ B= ∠C，可得∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，该三角形是直角三角形，故满足∠A
2 3
1 1
＝∠ B = ∠C，能确定△ABC是直角三角形．
2 3
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，掌握“直角三角形的两个锐角互余”、“三角形的内角和是
180°”等知识点是解决本题的关键．
10．如图，E是△ABC的边AC上一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D．若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角
形吗？为什么？【分析】根据直角三角形的性质和判定解答即可．
【解答】解：△ABC是直角三角形：理由如下：
∵ED⊥AB，
∴∠1+∠A＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠A＝90°，
∴∠ACB＝90°，
即△ACB是直角三角形．
【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出角的关系解答．
11．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．求证：△ACD是直角
三角形．
【分析】根据直角三角形的性质得到∠A+∠B＝90°，根据题意得出∠ADC＝90°，证明结论．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴△ACD是直角三角形．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE；（2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形．
【分析】（1）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，根据三角形内角和定理，可求得∠BAC的度数，由
AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可求得∠BAE的度数；
（2）由AD⊥BC，根据直角三角形的性质，可求得∠BAD的度数，继而求得∠DAE的度数，则可求得
∠ADF的度数．
【解答】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝62°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣62°＝88°，
∵AE平分∠BAC，
1 1
∴∠BAE= ∠BAC= ×88°＝44°；
2 2
（2）证明：∵AD⊥BC；
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣44°＝16°，
∵∠ADF＝74°，
∴∠ADF+∠EAD＝74°+16°＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴△ADF是直角三角形．
【点评】此题考查了三角形内角和定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的
应用．
题型四：勾股定理的逆定理
13．已知△ABC的三边为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝2，c=❑√5 B．a＝40，b＝50，c＝60
5 3
C．a= ，b＝1，c= D．a=❑√41，b＝4，c＝5
4 4
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，从而可以解答本
题．【解答】解：∵22+（❑√5）2＝32，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，故选项A不符合题意；
∵402+502≠602，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，故选项B符合题意；
3 5
∵（ ）2+12＝（ ）2，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，故选项C不符合题意；
4 4
∵42+52＝（❑√41）2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，故选项D符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
14．如图，在四边形ABCD中，AB＝7cm，AD＝24cm，∠BAD＝90°，BC＝20m，CD＝15cm．
（1）连接BD，求BD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）连接BD，利用勾股定理解答即可；
（2）利用勾股定理的逆定理和三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）连接BD，
∵AB＝7cm，AD＝24cm，∠BAD＝90°，
∴BD=❑√AB2+AD2=❑√72+242=25（cm）；
（2）∵BC＝20m，CD＝15cm，BD＝25cm，
∴202+152＝252，
∴BC2+CD2＝DB2，∴△BCD是直角三角形，
1 1
∴四边形ABCD的面积= AB⋅AD+ DC⋅BC
2 2
1 1
= ×7×24+ ×20×15
2 2
＝84+150
＝234（cm2）．
【点评】此题主要考查了勾股定理和其逆定理，综合运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
15．在△ABC中，若AB＝2，AC＝6，BC＝2❑√10，求BC边上的高．
【分析】作AH⊥BC于H，首先利用勾股定理的逆定理说明∠BAC＝90°，再利用等积法可得AH的长．
【解答】解：作AH⊥BC于H，
∵AB2+AC2＝22+62＝40，BC2＝40，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
1 1
∴ BC•AH= AB⋅AC，
2 2
2×6 3❑√10
∴AH= = ，
2❑√10 5
3❑√10
∴BC边上的高为 ．
5
【点评】本题主要考查了勾股定理和其逆定理，三角形的面积等知识，证明∠BAC＝90°是解题的关键．
16．如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度
数．【分析】连接AC，由已知和等腰三角形的性质可知∠BAC＝45°，在△DAC中利用勾股定理的逆定理可
∠DAC＝90°，从而求出∠DAB的度数．
【解答】解：连接AC．
设DA＝k，则AB＝2k，BC＝2k，CD＝3k．
∵∠B＝90°，AB：BC＝2：2，
∴∠BAC＝45°，AC2＝AB2+BC2＝4k2+4k2＝8k2，
∵（3k）2﹣k2＝8k2，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及勾股定理的逆定理的应用．本题将∠DAB分成∠BAC，∠DAC
是解题的关键．
题型五：逆命题和逆定理
17．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．全等三角形的面积相等
C．如果a＞0，b＞0，那么ab＞0
D．两直线平行，内错角相等
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可得到正确的选项．
【解答】解：A、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为面积相等的三角形全等，错误，是假命题，不符合题意；C、逆命题为如果ab＞0，那么a＞0，b＞0，错误，是假命题，不符合题意；
D、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出原命题的逆命题，难度不大．
18．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．
【解答】解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；
B、绝对值相等的两个数相等，错误；
C、同位角相等，两条直线平行，正确；
D、相等的两个角都是45°，错误．
故选：C．
【点评】考查点：本题考查逆命题的真假性，是易错题．
易错易混点：本题要求的是逆命题的真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真．
19．下列命题写出逆命题后，两者是互逆定理的是（ ）
A．若两条直线垂直，则两条直线有交点
B．若a+b＝0，则a与b相等
C．同位角相等，两直线平行
D．若直线a⊥c，b⊥c，则a∥b
【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据垂直的定义、平行线的判定定理判断即可．
【解答】解：A、若两条直线垂直，则两条直线有交点，逆命题是若两条直线有交点，则两条直线垂直，
不是互逆定理，不符合题意；
B、若a+b＝0，则a与b相等，逆命题是若a与b相等，则a+b＝0，不是互逆定理，不符合题意；
C、同位角相等，两直线平行，逆命题是两直线平行，同位角相等，是互逆定理，符合题意；
D、若直线a⊥c，b⊥c，则a∥b，逆命题是若a∥b，则直线a⊥c，b⊥c，不是互逆定理，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．20．先指出下列各命题的条件和结论，再写出它们的逆命题，并判断其真假：
（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
（2）等边三角形的每个角都等于60°；
（3）全等三角形的对应角相等；
（4）如果a＝b，那么a3＝b3．
【分析】（1）如果后面为条件，那么后面为结论，然后交换条件与结论即可得到它的逆命题，然后根
据直角三角形的定义判断逆命题的真假；
（2）如果后面为条件，那么后面为结论，然后交换条件与结论即可得到它的逆命题，然后根据等边三
角形的2判定方法判断逆命题的真假；
（3）如果后面为条件，那么后面为结论，然后交换条件与结论即可得到它的逆命题，然后根据全等三
角形的判定方法判断逆命题的真假；
（4）如果后面为条件，那么后面为结论，然后交换条件与结论即可得到它的逆命题，然后根据立方根
的定义判断逆命题的真假．
【解答】解：（1）“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余”的条件为一个三角形是
直角三角形，结论为这个三角形的两个锐角互余；它的逆命题为如果一个三角形的两个锐角互余，那么
这个三角形是直角三角形，此逆命题为真命题；
（2）“等边三角形的每个角都等于60°”的条件为如果一个三角形为等边三角形，结论为它的每个角都
等于60°；它的逆命题为如果一个三角形的每个角都为60°，那么这个三角形为等边三角形，此逆命题
为真命题；
（3）“全等三角形的对应角相等”的条件为如果两个三角形全等，结论为这两个三角形的对应角相等；
它的逆命题为如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，此逆命题为假命题；
（4）“如果a＝b，那么a3＝b3”的条件为a＝b，结论为a3＝b3，它的逆命题为如果a3＝b3，则a＝b，
此逆命题为真命题．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分
组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
▲1、直角三角形性质定理：直角三角形的两锐角互余.
▲2、直角三角形判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．▲3、勾股定理的逆定理：
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
几何语言：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
▲4、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第
二个命题的条件，那么这两个命题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.
▲5、互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其
中一个定理称另一个定理的逆定理.
