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第四章 三角形
单元测试
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形的周长和面积分别相等 B．全等三角形是指形状相同的两个三角形
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形
【答案】A
【分析】根据全等三角形的定义和性质依次分析各项即可判断．
【详解】解：A，全等三角形的周长和面积分别相等，说法正确，故此选项符合题意．
B，全等三角形是指形状相同的两个三角形，还有大小相等，故此选项不符合题意．
C，全等三角形是指面积相等的两个三角形，应大小相等形状相同，故此选项不符合题意．
D，所有的等边三角形都是全等三角形，大小不一定相等，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的定义和性质，基础应用题，熟练掌握全等三角形的
定义和性质是解此题的关键．
2．如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图形可知 ，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：在 和 中
∵ ， ，
∴当 时，满足 ，可证明 ，故选项A符合题意；
当 时，满足 ，可证明 ，故选项B符合题意；
当 时，满足 ，不能证明 ，故选项C不符合题意；
当 时，满足 ，可证明 ，故选项D符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键，即， ， ， 和 ．
3．（2023春·七年级单元测试）某同学把三角形的玻璃打碎成了3块，现要到玻璃店配一
块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定，已知两角及其夹边，就可以确定一个三角形．
【详解】解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完
全一样的；
第②块只保留了原三角形的部分边，根据这两块中的任意一块均不能配一块与原来完全一
样的；
第③块不仅保留了原三角形的两个角还保留了一边，则可根据 来配一块与原来一样的
玻璃．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关
键．
4．（2023春·七年级课时练习）如图，在由线段 组成的平面图形中，
，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图标记 ，然后利用三角形的外角性质得 ，
，再利用 互为邻补角，即可得答案．
【详解】解：如下图标记 ，
，
，
，又 ，
，
，
，
故选C．
【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外
角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．
5．（2021秋·四川宜宾·八年级校考期中）如图，在△ ABC中，∠PAQ＝∠APQ，PR＝
PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论① AS＝AR；② ；③ △ BPR≌ △
QSP中（ ）
A．全部正确 B．仅 ① 和 ② 正确 C．仅 ① 正确 D．仅 ① 和 ③ 正确
【答案】B
【分析】由已知条件先证得 ，从而得到① ;再由全等的性质得 ,
结合∠PAQ＝∠APQ可得到② ；由题目的已知条件只能得到一组对应边和一组对应角相等，
故③ 错
【详解】∵PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S
∴ AP平分 ，
在 和 中故①对
∵∠PAQ＝∠APQ
∴
∴
故②对
在△ BPR和△ QSP中，只有一边和一角是无法判断三角形全等的
故③错
故选：B
【点睛】本题考查了角平分线的判定运用，三角形全等的判定与性质的运用，两直线平行
的运用，解答时证明三角形全等是关键．
6．如图，∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，需从下列条件中选一个，错误的选法是（
）
A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．DB＝DC D．AB＝AC
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：由题意可知∠1=∠2，AD=AD，
对于条件∠ADB＝∠ADC，可以利用ASA证明△ABD≌△ACD，故选项A不符合题意；
对于条件∠B＝∠C，可以利用AAS证明△ABD≌△ACD，故选项B不符合题意；
对于条件DB＝DC，不可以利用SSA证明△ABD≌△ACD，故选项C符合题意；
对于条件AB＝AC，可以利用SAS证明△ABD≌△ACD，故选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．
7．（2019秋·广西防城港·八年级统考期中）如图所示，两个三角形全等，则 等于A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图形得出 ， ，根据全等三角形的性质得出
，即可得出选项．
【详解】解： ， ，
又 和 全等，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：
全等三角形的对应边相等，对应角相等．
8．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，线段 把 分成面积相等的两
部分，则线段 是（ ）
A． 的中线 B． 的高 C． 的角平分线 D．以上都不对
【答案】A
【分析】作三角形ABC的高AE，根据三角形面积公式，分别表示出S ABD和S ACD，即
可得出BD=CD，即线段AD是三角形的中线． △ △
【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，根据题意得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴BD=CD，
∴线段AD是 的中线．
故选：A
【点睛】本题主要考查了三角形的面积和三角形的中线，三角形的中线可分三角形为面积
相等的两部分．
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则
的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先证明 ，根据全等三角形的性质可得 ，再根据余角的
定义可得 ，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．
【详解】解：如图，在 和 中
，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
10．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，
可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使 ．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三
点在一条直线上，通过证明 ，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角
形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，根
据已知选择判断方法；
【详解】解：因为证明在 用到的条件是： ， ，所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即 这一方法；
故选：D ．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
，做题时注意选择；注意： 不能判定两个三角形
全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两
边的夹角．
二、填空题
11．（2023秋·湖南郴州·八年级统考期末）等腰三角形的两边长分别为 和 ，这个
等腰三角形的周长为_______ ．
【答案】15
【分析】由等腰三角形两腰长相等的性质，分 为腰长或 为腰长两种情况，结合三
角形三边关系即可求解．
【详解】解：根据题意，当腰长为 时，6、6、3能组成三角形，
周长为： ；
当腰长为 时， ，6、3、3不能构成三角形，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题的关键是掌握“三角
形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．
12．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是
____．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】根据三角形的稳定性求解即可．
【详解】∵在木门的背面加钉了一根木条，把一个四边形分成了两个三角形，
∴这样做的道理是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】此题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练掌握三角形具有稳定性．
13．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ，
cm， cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动_____s时， ．【答案】2或5##5或2
【分析】先证明 （AAS），得出 cm，①当点E在射线BC上移动
时， cm，即可求出E移动了5s；②当点E在射线CB上移动时，
cm，即可求出E移动了2s．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵CD为AB边上的高，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （AAS），
∴ cm，
①如图，当点E在射线BC上移动时， （cm），
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了： （s）；
②当点E在射线CB上移动时， （cm），
∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，
∴E移动了： （s）；
综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时， ；故答案为：2或5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形
的判定和性质是解题的关键．
14．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）如图，在 中， 是 边上的高， 是
边上的高，且 ， 交于点F，若 ，则线段 的长度为
________．
【答案】5
【分析】先证明 ，再根据全等三角形的性质可得 ，
，即可算出 的长．
【详解】解：∵ 是 边上的高， 是 边上的高，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题关键是掌握全等
三角形的判定和性质．15．（2023春·七年级单元测试）如图是某建筑工地上的人字架，若 ，那么
的度数为_________．
【答案】
【分析】根据平角的定义求出 ，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：如图
， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知
识，属于中考基础题．
16．（2023春·七年级单元测试）茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知
， ， ，其中 的周长为24cm， cm，则制成整个金属
框架所需这种材料的长度为___________cm．
【答案】45
【分析】根据已知条件先证明 ，可得 与 的周长相等，从而得整
个金属框架所需这种材料的长度即 的周长的2倍减去CF长度即得答案．
【详解】解： ，
，
即 ，
在 和 中，，
，
与 的周长相等，
又 的周长为24cm， cm，
整个金属框架所需这种材料的长度= =45cm，
故答案为：45．
【点睛】此题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的
关键．
三、解答题
17．（2022春·福建漳州·七年级漳州实验中学校考阶段练习）尺规作图:如图，小明在作业
本上画的△ABC被墨迹污染，他想画一个与原来完全一样的△A'B'C'，请帮助小明想办法
用尺规作图法画出△A'B'C'(不写作法，保留作图痕迹)，并说明你的理由．
【答案】见解析
【分析】先用圆规作出B'C'，使得B'C'=BC，然后再作∠B'=∠B和∠C'=∠C，两个角边延长
线的交点即为A'.
【详解】作出△A'B'C'如图所示．在△ABC和△A'B'C'中，
∠B=∠B'，BC=B'C'，∠C=∠C'，
所以△ABC≌△A'B'C'．
【点睛】本题考查尺规作图，解题关键是用尺规作出∠B'=∠B和∠C'=∠C.
18．（2023春·全国·七年级专题练习）如图， ， ，点 在 边上，
， 和 相交于点 ．求证： ．【答案】见解析
【分析】先证明 ，再根据AAS即可求证．
【详解】证明：∵ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，证明 是解答本题的关键．
19．（2023春·七年级单元测试）如图所示， 的两边上各有一点 ，连接 ，
求证 ．
【答案】见解析
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．
【详解】解： 和 是 的外角，
．
又 ，
．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角
的和是解题的关键．
20．（2021秋·河南许昌·八年级校考阶段练习）为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝17°，测楼顶A的视线
PA与地面的夹角∠APB＝73°，量得点P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得
旗杆与楼之间距离为DB＝33米，求楼高AB是多少米？
【答案】楼高AB是25米．
【分析】利用全等三角形的判定方法得出△CPD≌△PAB（ASA），进而得出AB的长．
【详解】解：∵∠CPD＝17°，∠APB＝73°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB＝73°，
在△CPD和△PAB中，
，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP＝AB，
∵DB＝33米，PB＝8米，
∴DP＝33－8＝25
∴AB＝25（米），
答：楼高AB是25米．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．
21．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， ，直线
经过点C，且 于D， 于E．
(1)当直线 绕点C旋转到①的位置时，求证：
① ；
② ；
(2)当直线 绕点C旋转到②的位置时，求证： ；(3)当直线MN绕点C旋转到③的位置时，试问 具有怎样的数量关系？请直接
写出这个等量关系，不需要证明．
【答案】(1)①见解析，②见解析
(2)见解析
(3)
【分析】(1) ①根据AAS证明 即可得证．
②根据全等三角形的性质证明即可．
(2) 根据AAS证明 即可得证．
(3) 根据AAS证明 即可得证．
【详解】（1）①如图1，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）如图2，∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）线段 的熟练关系为： 或 或 ．
理由如下：
如图3，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 或 或 ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形
全等的判定和性质是解题的关键．
