文档内容
1.1 三角形内角和定理 导学案
第1课时 三角形内角和定理
1.掌握三角形内角和等于 180∘ 的探索及证明过程。
2.能运用三角形内角和知识解决简单几何计算。
3.理解并运用 AAS 判定两个三角形全等.
学习重点：三角形内角和为 180∘ 的证明过程及 AAS 的正确应用.
学习难点：恰当使用辅助线并准确理解“移角”原理.
第一环节 自主学习
创设情景，引入新课
问题情境：
1.章节导读
我们曾经探索过三角形与特殊三角形的一些性质，如三角形三个内角的和等于 180°、等腰三角形“三线合
一”的性质等。你还记得这些结论的探索过程吗?你能根据已有的基本事实和定理证明这些结论吗?
本章将在“平行线的证明”的基础上，进一步证明:三角形内角和定理及其推论，等腰三角形、直角三角形
的性质定理和判定定理，线段的垂直平分线和角平分线的有关性质定理。还将研究直角三角形全等的特殊
判定方法。在这一过程中，你将深化对几何证明的认识，体会数学证明的力量，逐步养成重论据、合乎逻
辑的思考和表达习惯，发展几何直观、推理能力等。
2.情景引入
在八年级上册“命题与证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有
关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定义、定理，我们还可以证明有关三角形的一些
结论。
思考：我们已经知道，任意一个三角形的内角和等于 180°.与三角形的形状、大小无关.除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?
还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？你能根据已有的基本事实和定理证明三角形内角和吗?
新知自研：自研课本第2--4页的内容．
【学法指导】
自研课本P2-4页例题上面的内容，思考：
●探究一：三角形的内角和定理的证明
◆1.议一议
我们知道,三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗？
(1)如图，如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论的正确性吗？
(2)如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果?
(3)你能说说这个结论的证明思路吗？请试着写出证明过程，并与同伴进行交流。
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
【分析】你学过哪些与180°有关的结论？曾经的撕角拼图活动对你有什么启发？
【证明】◆2.知识归纳
三角形内角和定理： .
符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则 .
◆3.思考交流
(1) 如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使
PQ∥BC，他的想法可行吗?如果可行，你能写出证明过程吗?
【解答】
(2) 对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗?
【证明】思考：上述多种方法证明三角形内角和定理的核心是什么？
◆4.知识归纳
①作辅助线：在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做 .在平面几何里，辅助线
通常画成 .
②思路总结:为了证明三个角的和为180°,转化为一个 或 互补等，这种转化思想是数
学中的常用方法.
◆5.练一练
在△ABC中，∠A-∠B=35°，∠C=55°，则∠B=（ ）
A.50° B.55° C.45° D.40°
●探究二：全等三角形的判定定理和性质
◆1.想一想
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的
基本事实和已经学习过的定理证明它吗?
转化为几何语言为：
已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
【证明】◆2.知识归纳
全等三角形的判定定理：
两角分别 且其中一组等角的 相等的两个三角形全等（AAS）.
根据全等三角形的定义，我们可以得到：
全等三角形的 相等， 相等.
◆3.练一练
如图所示,点 B,F,C,E 在一条直线上，AB∥ED，AB=ED，那么添加下列一个条件后，仍无法判定
△ABC≌△DEF的是( )
A.∠A=∠D
B.AC=DF
C.BF=EC
D.AC∥FD
【例题导析】
自研例1，例2和例3的内容，回答问题：
典例分析:
例1 如图所示，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
【分析】先根据三角形内角和定理求出 的度数，然后根据角平分线的定义求出 的度
数，再利用三角形内角和即可求∠ADB的度数.
【解答】
例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
【分析】由三角形内角和定理，可将求∠D转化为求∠CFD,即 ,再在△ 中求解即可解答.
【解答】
例3 已知：如所示,点C在AE上，AB=EA，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证: ABC≌△EAD.
△
【分析】 由∠ECB=70°求得∠ACB=110°，从而得出∠ACB= ，再由AB∥DE可证得∠CAB= ,再
结合已知条件AB=AE,可利用 证得△ABC≌△EAD.
【解答】
第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.操作并验证三角形的内角和等于180°；
B.探讨如何利用三角形的内角和定理证明三角形全等判定定理AAS.
C.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式.
D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1.已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（ ）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形
2.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A.75° B.65° C.165° D.155°
3.如图，△ABC中，AE是∠BAC的平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度
数为（ ）
A.35° B.5° C.15° D.25°
4.若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长是100 cm，AB=30 cm，DF=25 cm，则BC的长是 ( )
A.45 cm B.55 cm C.30 cm D.25 cm
5. 如图所示,在等腰三角形ABC中,点D,E分别在腰AB,AC上，添加下列条件，仍不能判定△ABE≌△ACD的
是( )
A.AD=AE B.BE=CD
C.∠ADC=∠AEB D.∠DCB=∠EBC
6.如图所示，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是 ( )
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
7. 在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是______三角形 .
8. 在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则∠A=______， ∠ B=______，∠ C=______.
9.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=_______ .10.如图所示, ABC≌△DCB,∠A=75°,∠DBC=40°,则∠DCA的度数为_______ .
△
11.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
12.如图所示,已知∠C=∠E,∠1=∠2,AB=AD, ABC和△ADE全等吗?试说明理由.
△题型一 ：三角形内角和定理的证明
1．定理：三角形的内角和是180°．
已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三个内角．
求证：∠C+∠D+∠CED=180°．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在
锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
2．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证
明“△ABC的内角和是180°”的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在证明“三角形内角和等于180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的
依据并按他的思路完成后续证明．
已知：如图，△ABC
求证：证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F．
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依据：）．
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠3
题型二： 应用三角形内角和定理求角度
4．如图，在△ABC中，AC⊥CB于点C，AD是∠BAC的平分线，若∠B=40°则∠ADC的度数为
（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
5．若△ABC的三个内角之比为1:3:5，那么△ABC中最大角的度数为 ．
6．在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为
题型三： 应用三角形内角和定理解决三角板问题
7．将一副三角板（∠A=30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠CPE等于（ ）A．75° B．90° C．105° D．115°
8．将直角三角板（含30°）和直尺按如图方式摆放，则∠1的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
9．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°）按如图所示放置．若∠1＝50°，则∠2
的度数为 °．
题型四： 三角形内角和与平行线的综合应用
10．如图，直线a∥b，若∠1=50°,∠2=70°，则∠3等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
11．如图，已知AB∥CD，点E在直线CD上，BE与AD交于点G，∠C=∠ABE.(1)求证：AC∥BE；
(2)若∠C=65°，AD⊥BE，求∠ADC的度数.
12．已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，
∠C＝∠DGC．
（1）求证：AB//CD；
（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．
题型五： 三角形内角和与角平分线的综合应用
13．如图，∠A=70°，P是△ABC内一点，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的度数为（）
A．105° B．115° C．125° D．135°
14．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．
15．如图，点E在AC上，点F在CB的延长线上，AB与EF交于点G，∠AGE=∠CED，ED平分
∠CEF．
(1)求证：AB∥DE；
(2)若∠F=30°，∠AGE=50°，求∠C的度数．题型六： 应用三角形内角和定理探究角的数量关系
16．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠BAC＝130°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
17．在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于
D；
(1)如图1，当点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°时，求∠EFD的度数；
(2)如果点F在线段AE上（不与点A重合）时，如图2，直接写出∠EFD、∠C、∠B的数量关系．18．如图，AB CD，E为线段CD上一点，∠BAD＝n°，n＝15xy，且 ．
∥ ❑√x−1+(y−3) 2=0
(1)求n的值．
(2)求证：∠PEC﹣∠APE＝135°．
(3)若P点在射线DA上运动，直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A、D重合的情
况）
题型七： 应用“AAS”证明两三角形全等
19．如图，AC 是∠BAE 的平分线，点 D 是线段 AC 上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：
△BAC≌△DAE．20．如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
求证：△ABE≌△ACD；
21．如图，在四边形 ABCD中，BC＝CD，点E，F分别是BC，CD的中点，∠BAE＝∠DAF，∠B＝
∠D．
求证：AE＝AF．
▲1.三角形内角和定理： .
符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则 .
▲2.全等三角形的判定定理：
两角分别 且其中一组等角的 相等的两个三角形全等（AAS）.▲3.全等三角形的性质：
全等三角形的 相等， 相等.
·······
