文档内容
1.1 三角形内角和定理 第1课时 教学设计
1.教学内容
本节选自北师大版八年级下册第一章“三角形的证明及其应用”之1.1《三角形内角和定理》。
主要探究三角形三个内角和为 180∘ 的多种验证方法，并在此基础上引入全等三角形的判定 AAS。
2.内容解析
在已有平行线性质和全等三角形判定 SAS、ASA、SSS 的基础上，通过“撕拼证”“平行移
角”等方法，证明任意三角形的三个内角和都为 180∘。在掌握三角形内角和后，进一步应用到解决简
单的几何计算问题，并引出依据两角及其对边相等即 AAS 判定三角形全等的性质。
1.教学目标
•掌握三角形内角和等于 180∘ 的探索及证明过程。
•能运用三角形内角和知识解决简单几何计算。
•理解并运用 AAS 判定两个三角形全等。
2.目标解析
• 通过动手操作与几何推理，学生掌握平行移角与辅助线作图的思路，形成以逻辑推理支撑的几何观
念。
• 能自觉将三角形内角和转化为“平角”或“同旁内角互补”来证明。
• 借助 AAS 巩固对应边、对应角相等的判定方法，为后续几何证明打下基础。
3.重点难点
• 教学重点：三角形内角和为 180∘ 的证明过程及 AAS 的正确应用。
• 教学难点：恰当使用辅助线并准确理解“移角”原理。
学生已掌握基本几何事实（平行、垂直、全等三角形基本判定）并具备一定操作与度量经验。理
解三角形内角和与建构辅助线较为容易，但分析几何条件、灵活使用平行线移角及判定全等仍需反复
训练与指导。创设情景，引入新课
问题情境：
1.章节导读
我们曾经探索过三角形与特殊三角形的一些性质，如三角形三个内角的和等于 180°、等腰三角形“三
线合一”的性质等。你还记得这些结论的探索过程吗?你能根据已有的基本事实和定理证明这些结论吗?
本章将在“平行线的证明”的基础上，进一步证明:三角形内角和定理及其推论，等腰三角形、直角三
角形的性质定理和判定定理，线段的垂直平分线和角平分线的有关性质定理。还将研究直角三角形全
等的特殊判定方法。在这一过程中，你将深化对几何证明的认识，体会数学证明的力量，逐步养成重
论据、合乎逻辑的思考和表达习惯，发展几何直观、推理能力等。
2.情景引入
在八年级上册“命题与证明”一章中，我们给出了8条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明
了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定义、定理，我们还可以证明有关三角
形的一些结论。
教师提问：你还记得哪8条基本事实吗？
学生思考：
①两点确定一条直线；
②两点之间线段最短；
③同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④同位角相等，两直线平行；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS)；
⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA)；
⑧三边分别相等的两个三角形全等(SSS).
教师提问：思考：我们已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关.除
了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?
还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？
你能根据已有的基本事实和定理证明三角形内角和吗?【设计意图】通过展示生活中的三角形应用，引发学生对三角形基本性质的回顾和兴趣，为深入学习
三角形内角和定理做好铺垫。
探究点1：三角形的内角和定理的证明
1.议一议
我们知道,三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗？
(1)如图，如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论的正确性吗？
解：如图，由操作可知∠A=∠1，可以利用“内错角相等，两直线平行”证明一组平行线，进而利用
平行线的性质及平角的定义说明结论是正确的.
(2)如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果?
解： 如果不移动∠A，那么可以思考构造平行线将等角进行转移.
如图，可以构造CE∥AB，这样同样可以达到将∠A转移到∠1的位置的效果.
(3)你能说说这个结论的证明思路吗？请试着写出证明过程，并与同伴进行交流。
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
分析：你学过哪些与180°有关的结论？曾经的撕角拼图活动对你有什么启发？
证明：如图，延长BC至D，过点C作射线CE，使CE∥BA，则∠1=∠A，∠2=∠B.
∵ 点B，C，D在同一条直线上，
∴ ∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°.
2.知识归纳
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°.
符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则∠A +∠B +∠C = 180°.
3.思考交流
(1) 如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线
PQ，使PQ∥BC，他的想法可行吗?如果可行，你能写出证明过程吗?
解：可行.
∵ PQ∥BC(已知)，
∴ ∠PAB=∠ABC，∠QAC=∠ACB(两直线平行，内错角相等).
又∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角的定义)，
∴ ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°(等量代换).
(2) 对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗?
证明：在BC上任取一点D，过点D分别作MD∥ AC交AB于点M，ND∥ AB交AC于点N，
∵ MD∥ AC ， ND∥ AB，
∴ ∠1=∠C，∠3=∠B ， ∠2=∠BMD=∠A .
又∠1+∠2+∠3=180°，
∴ ∠C+∠A+∠B=180°.
教师提问：思考：上述多种方法证明三角形内角和定理的核心是什么？学生思考：借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
4.知识归纳
作辅助线：
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结:
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
5.练一练
在△ABC中，∠A-∠B=35°，∠C=55°，则∠B=（ ）
A.50° B.55° C.45° D.40°
解析：由三角形内角和定理，得∠A+∠B=180°-∠C=180°-55°=125°，又∵∠A-∠B=35°，
∴∠B=45°.∴选C。
【设计意图】通过多种变形与操作，让学生直观感受并理解 “三角形内角和等于 180∘” 的事实，并
体验辅助线在几何证明中的作用。
探究点2：全等三角形的判定定理和性质
1.想一想
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有
关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗?
转化为几何语言为：
已知：如图，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
∴∠C=∠F（等量代换）.
∵BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
2.知识归纳
全等三角形的判定定理：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
根据全等三角形的定义，我们可以得到：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
3.练一练
如图所示,点B,F,C,E在一条直线上，AB∥ED，AB=ED，那么添加下列一个条件后，仍无法判定
△ABC≌△DEF的是( )
A.∠A=∠D
B.AC=DF
C.BF=EC
D.AC∥FD
解：B
4.典例分析
例1 如图所示，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理)
∵ ∠B=38°，∠C=62°（已知），
∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）.
∵ AD平分∠BAC（已知）,
1 1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×80°=40°(角平分线的定义)
2 2
在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°.
∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证），
∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）.
例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，
∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，
∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
例3 已知：如所示,点C在AE上，AB=EA，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证: ABC≌△EAD.
△
证明:∵∠ECB=70°,
∴∠ACB=110°.
又∵∠D=110°,
∴∠ACB=∠D.
∵AB∥DE,
∴∠CAB=∠E.
在△ABC和△EAD中,
∵∠ACB=∠D,∠CAB=∠E,AB=EA,
∴△ABC≌△EAD(AAS).
【设计意图】通过典型例题让学生熟悉三角形内角和定理的多种应用情景；在解题过程中，引导学生
体会平行线和角平分线对几何图形的转化与简化作用，培养逻辑推理与空间想象力；例题解析强调
“列式—推理—结论”的过程，帮助学生进一步内化几何证明的思路与方法。
1.已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形
解：A．
2.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A.75° B.65° C.165° D.155°
解：C．3.如图，△ABC中，AE是∠BAC的平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD
的度数为（ ）
A.35° B.5° C.15° D.25°
解：B.
4.若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长是100 cm，AB=30 cm，DF=25 cm，则BC的长是 ( )
A.45 cm B.55 cm C.30 cm D.25 cm
解：A．
5. 如图所示,在等腰三角形ABC中,点D,E分别在腰AB,AC上，添加下列条件，仍不能判定
△ABE≌△ACD的是( )
A.AD=AE B.BE=CD
C.∠ADC=∠AEB D.∠DCB=∠EBC
解：B
6.如图所示，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是
( )
A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
解：B
7. 在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是______三角形 .
解：直角
8. 在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则∠A=______， ∠ B=______，∠ C=______.
解：60°，50°，70°
9.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=_______ .解：280 °
10.如图所示, ABC≌△DCB,∠A=75°,∠DBC=40°,则∠DCA的度数为_______ .
△
解：25°
11.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）
=42°．
12.如图所示,已知∠C=∠E,∠1=∠2,AB=AD, ABC和△ADE全等吗?试说明理由.
△
解：△ABC≌△ADE.
理由:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∵∠BAC=∠DAE,∠C=∠E,AB=AD,
∴△ABC≌△ADE(AAS).
【设计意图】“巩固练习”部分紧密围绕本节课的核心内容“三角形内角和定理”及“全等三角形
AAS判定”，从基础到综合、从单一到多元，满足不同层次学生对知识的理解与掌握需要。通过多角
度的练习题设计，引导学生反复应用“转化”“作辅助线”等几何证明思想，夯实推理与解题的技能。主板书 副板书
1.1 三角形内角和定理 第一课时 例题
探究点1 三角形的内角和定理的证明
探究点 2 全等三角形的判定定理和性质 学生练习板演
课堂小结
1.必做题：习题1.1第1，2，4，10，11，12题。
2.探究性作业：习题1.1第16题。
