文档内容
1.1 三角形内角和定理 第2课时 教学设计
1.教学内容
本节选自北师大版八年级下册第1章《三角形的证明及其应用》1.1《三角形内角和定理》第2课
时，核心知识点是“三角形的外角定义及其推论”。主要内容包括：外角的形成、外角与不相邻内角
的关系，以及利用外角性质进行简单证明与计算。
2.内容解析
在掌握 ∠A+∠B+∠C=180∘ 的基础上，引入外角概念，强调外角顶点与边延长关系，进一步
研究外角与不相邻内角和的性质，即 ∠ACD=∠A+∠B。通过推论可知外角还大于任一不相邻的内
角，形成对三角形内外角关系的系统认识。
1.教学目标
•了解并掌握三角形的外角的定义。
•掌握三角形的外角的性质，能进行简单的推理论证与数值计算。
2.目标解析
• 侧重正确辨识外角的特征及其与内角的区别。
• 着眼于利用外角与不相邻内角和的定理及推论，熟练完成求角与证明类习题，强化几何推理思维。
3.重点难点
• 教学重点：三角形外角等于不相邻两内角之和的证明与应用。
• 教学难点：将外角定理与平行线、全等等知识结合，灵活进行几何推理和计算。
学生已掌握三角形内角和定理，对角度平分、对顶角、平行线等概念较为熟悉。面对外角定义
时易与补角混淆，须明确边延长方向；在应用推论时，平行作辅助线或延长边构造外角是难点，需要
逐步演示以促进理解。
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于_180°_.
符号表述：在△ABC中，∠A ，∠B ，∠C为△ABC的三个内角，则∠A +∠B +∠C =_180°_.
②两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形_全等_(AAS).
③全等三角形的_对应边_相等，_对应角_相等.
2.情景引入
在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？下
面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．
【设计意图】通过回顾“三角形内角和定理”及全等三角形的基本事实，引导学生关注“三角形边的
延长”所形成的新角，从而自然过渡到对“三角形外角”定义的探究，激发学生的学习兴趣并明确学
习方向。
探究点1：三角形的外角
1.尝试思考
外角的定义：
ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，叫作△ABC 的外角。
△
如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
问题1：画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？解：如图，△ABC所有的外角有6个，分别是∠1，∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6.
问题2：△ABC的6个外角有什么关系？（从位置关系与数量关系）
解：∠1和∠4是对顶角，相等；
∠2和 ∠5是对顶角，相等；
∠3和∠6是对顶角，相等.
2.知识归纳
三角形的外角的特征：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
每一个三角形都有6个外角．
3.练一练
如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
解：∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC和△BEF的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
【设计意图】通过让学生动手画图与观察，主动获取三角形外角的定义与特征，增强几何概念的直观
理解和应用意识。
探究点2：三角形外角的性质
1.思考交流
（1）如图，△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
解：∠ACD与∠ACB互补.（2）如图, ABC 的外角∠ACD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？
解：∠A+∠B=∠ACD.
△
（3）请证明你的结论，并与同伴进行交流.
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
解：方法一：
证明：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
（三角形内角和定理）
∴∠A+∠B=180°-∠ACB（等式的性质）
∵∠ACB+∠ACD=180°（平角的定义）
∴∠ACD=180°-∠ACB（等式的性质）
∴∠A+∠B=∠ACD（等量代换）
方法二：
证明：过C作CE∥AB，
∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
(4) ABC的外角∠ACD与它不相邻的两个内角（∠A、∠B）的大小关系如何呢？
解：∵∠ACD=∠A+∠B,
△
∴∠ACD＞∠A,∠ACD＞∠B.
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.
2.方法归纳
三角形内角和定理的推论1：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
几何语言：∵ ∠ACD是△ABC的一个外角，
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
三角形内角和定理的推论2：
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
几何语言：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＞∠A,∠ACD＞∠B.
3.练一练
点P是△ABC内一点，连结BP并延长交AC于D，连结PC，则图中∠1、∠2、∠A 的大小关系是（
）
A.∠A＞∠1＞∠2 B.∠A＞∠2＞∠1
C.∠2＞∠1＞∠A D.∠1＞∠2＞∠A
解：D
4.典例分析
例1 如图，在△ABC中，∠B= ∠C，AD平分外角∠EAC.
求证：AD∥BC.
解：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知),
1
∴∠C= ∠EAC(等式的性质).
2
∵AD平分 ∠EAC(已知).
1
∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义).
2
∴∠DAC=∠C(等量代换).∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
提示：还可以利用“同位角相等”或“同旁内角互补”来证明.
例2 已知: 如图,P 是△ABC内一点,链接PB，PC .
求证: ∠ BPC ＞ ∠A.
证明：如图，延长BP，交AC于点D.
∵ ∠ BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）
∴ ∠ BPC ＞ ∠ PDC
（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵ ∠ PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）
∴ ∠ PDC ＞ ∠ A
（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴ ∠ BPC ＞ ∠ A.
提示：还可以连接AP并延长交BC于点E，利用推论2证明.
【设计意图】借助已有的“内角和定理”与平行线角度关系，让学生操作并推理三角形外角在几何推
断中的价值，进一步培养严谨的几何证明思维。
1.如图所示，AB∥CD，∠A = 45°，∠C=28°,则∠AEC的大小为( )
A.17° B.62° C63° D.73°
解：D．
2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120° B.115° C.110° D.105°
解：B．
3.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ ）A.26° B.63° C.37° D.60°
解：A.
4.将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示,若∠1=40°，则∠2=_____.
解：85°
5. 如图所示，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC的平分线与△ACB 的外角∠ACE的平分线交于点D，
则∠D的度数为_____.
解：25°
6．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是_____.
解：∠A < ∠1 < ∠2
7. （1）如图，∠BDC是________的外角,也是______的外角；
(2)若∠B=45 °，∠BAE=36 °,∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
解：(1) ADC, ADE
(2)根据三角形外角的性质有
△ △
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE
=45 °+20 °+36 °=101 °.
8. 已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．
求证：∠1>∠2．
解：∵∠1是△ABC的一个外角（已知），
∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.
∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知），
∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），
∴∠1>∠2（不等式的性质）.
9.如图所示，∠B=20°，∠C=30°，∠A =95°，求∠BDC的度数.
解：如图，延长BD交AC于E.
∵∠A =95°，∠B=20°，
∴∠1=∠A +∠B=115°，
又∵∠C=30°，
∴∠BDC=∠C +∠1=145°.（方法不唯一）
【设计意图】为进一步巩固对三角形外角性质的理解，可以通过典型例题分析，帮助学生构建严谨的
几何推理过程，并在多种证明方法的对比中不断提升思维的灵活性与严谨性。主板书 副板书
1.1 三角形内角和定理 第二课时 例题
探究点1 三角形的外角
探究点 2 三角形外角的性质 学生练习板演
课堂小结
1.必做题：习题1.1第3，4，17题。
2.探究性作业：习题1.1第18题。
