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第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，具备下列条件① ，② ，③ ，④
之一，就可以判定 与 相似的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【分析】由两个角相等的两个三角形相似，可对条件①②③进行判断；由两边成比例且夹角相等的两个三
角形相似对条件④进行判断；即可得出结果．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，条件①符合题意；
∵仅有 ，无法确定 与 相似，
∴条件②不符合题意；
∵ ， ，
∴ ，条件③符合题意；
∵ ， ，
∴ ，条件④符合题意．
综上所述，具备条件①③④之一，即可判定 与 相似．故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
2．（2020·北京铁路二中九年级期中）如图， ，如果增加一个条件就能使结论 成立，
那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定方法，一一判断即可．
【详解】解：∵∠1=∠2，
∴∠DAB=∠BAC，
∴添加∠D=∠B或∠AED=∠C或 ，可以推出 ADE∽△ABC，
△
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
3．（2022·山东青岛·九年级期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③
【答案】B
【分析】分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相似即可．
【详解】解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为： ，2， ，
②号三角形的三边长分别为： ， ，3，③号三角形的三边长分别为：2， ， ，
④号三角形的三边长分别为： ，3， ，
，
①与③相似，故B选项正确，符合题意；其他选项不正确
故选：B．
【点睛】本题考查了网格中判断相似三角形，分别求得各三角形的边长是解题的关键．
4．（2022·山东淄博·八年级期末）将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点，线
同一平面内），图中相似而不全等的三角形有几对（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据相似（不包括全等）三角形的判定可以得出结论．
【详解】解：图中相似而不全等的三角形有：△ADE∽△BAE，△CDA∽△ADE，△BAE∽△CDA．
∵△BAC和△AGF都是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠FAG＝45°，
∴∠BAE＝∠ADE＝45°+∠BAD；
∵△EAD和△EBA中，∠AED是公共角，
∴△ADE∽△BAE；
同理，可得△CDA∽△ADE．
∴△BAE∽△CDA．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形
的性质．5．（2022·河北·九年级专题练习）如图，在 中，P、Q分别为AB、AC边上的点，且满足 ．
根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论：
嘉嘉说：连接PQ，则PQ//BC．
淇淇说： ．
对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错
误
【答案】B
【分析】根据 ， 可以判定 ， 与 不一定相等，不能判定
PQ//BC．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，即淇淇的结论正确；
∴ ， ，
∵不能得出 或 ，
∴不能得出PQ//BC，即嘉嘉的结论不正确．
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形和平行线的判定，熟练掌握相似三角形和平行线的判定方法是解题的关键．
6．（2021·湖北·襄阳市樊城区青泥湾中学九年级阶段练习）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一
个条件后，仍不能确定△ADE与△ABC相似的是（ ）A．B＝∠D B．∠C＝∠AED C． ＝ D． ＝
【答案】C
【分析】△ADE≌△ABC
根据题意可得 ，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
A．若添加 ，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题意；
B．若添加 ，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本选项不符合题
意；
C．若添加 ，不能证明△ADE≌△ABC，故本选项符合题意；
D．若添加 ，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△ADE≌△ABC，故本
选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
二、填空题
7．（2022·黑龙江·肇源县第四中学八年级期中）在 ABC和 DEF中，AB=6，BC=8，DE=4，∠B=∠E，
当EF=_________时， ABC与 DEF相似. △ △
△ △
【答案】 或3
【分析】利用三角形相似的判定可以得到解答．
【详解】解：由题意可得：
当 或 时， ABC与 DEF相似，
△ △
∴ 或 ，
∴EF= 或3，
故答案为 或3．
【点睛】本题考查三角形相似的应用，熟练掌握对应线段成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题关键．8．（2022·上海静安·二模）在 和 中， ， ， ， ，
，判定这两个三角形是否相似_______．（填“相似”或“不相似”）
【答案】不相似
【分析】求出 ，利用 ，即可求出两个三角形不相似．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴这两个三角形不相似．
故答案为：不相似
【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理：两边成比例
且夹角相等的两个三角形相似．
9．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是 ， ， ，
其中与 相似的是______．
【答案】
【分析】分别求出三个三角形的三边的比（按边长的大小顺序），所求三边之比等于△ABC的三边之比就
是与△ABC相似的三角形．
【详解】解：∵△ABC的三边之比是 ，
EBC的三边之比是
△
CDB的三边之比是 ，
△
DEB的三边之比是 ．
△
∴△DEB与△ABC相似，故答案为：△DEB．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，勾股定理与网格，掌握“三边对应成比例，两三角形相似”是
解题的关键．
10．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知 相交于点O，若补充一个条件后，便可得到
，则要补充的条件可以是________．
【答案】∠B=∠C（答案不唯一）
【分析】根据题意有∠AOB=∠DOC，因此根据相似三角形的判定条件只需要添加∠B=∠C或∠A=∠D即
可证明△AOB∽△DOC．
【详解】解：∵∠AOB=∠DOC，
∴当添加条件∠B=∠C时可以证明△AOB∽△DOC，
故答案为：∠B=∠C（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
三、解答题
11．（2020·北京延庆·九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点
E．请写出一对相似三角形，并证明．
【答案】△BEC∽△ADC（答案不唯一），见解析
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可得∠ADC=∠BEC=90°，再由∠C=∠C，可证得
△BEC∽△ADC．
【详解】解：△BEC∽△ADC．证明如下：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°又∵BE⊥AC
∴∠BEC=90°
∴∠ADC=∠BEC=90°
又∵∠C=∠C
∴△BEC∽△ADC
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
12．（2020·北京房山·九年级期中）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点 ．
和 的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
(1)则 _____°， ______；
(2)判断 与 是否相似．若相似，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) ∽ ，证明见解析
【分析】（1）利用图形以及勾股定理解决问题即可．
（2）结论： ABC∽△DFE．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
（1） △
解：观察图形可知，∠ABC＝90°＋45°＝135°，BC ．
故答案为： ，
（2）
结论： ABC∽△DFE．
△
理由：∵AB＝2，BC＝2 ，DF ，EF＝2，∠DFE＝90°＋45°＝135°，
∴ ，∵∠ABC＝∠DFE，
∴△ABC∽△DFE．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活
运用所学知识解决问题．
提升篇
一、填空题
1．（2020·上海·上外附中九年级阶段练习） 的边长分别为 的边长分别 ，则
与 ____________（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
【答案】不一定
【分析】先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可．
【详解】解：∵ 的边长分别为 的边长分别 ，
∴两个三角形对应边的比分别为：
，
当a=b=c时， ，这两个三角形相似，
当a≠b≠c时， ，这两个三角形不相似，
∴ 与 不一定相似，
故答案为：不一定．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．
2．（2022·甘肃酒泉·九年级期末）在 和 中， ， ， ，
，则 __时， 和 相似．
【答案】 或
【分析】由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分 与 两种情况进行讨
论．
【详解】解： ，当 时， ，
又∵ ， ， ，
即 ，
解得： ；
当 时， ，
又∵ ， ， ，
即 ，
解得： ．
综上所述，当 或 时， 和 相似．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，
BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有_____对．
【答案】3
【分析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明
△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角．
【详解】解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D，
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B+∠C，∠BFP＝∠CPD+∠C
∴∠APG＝∠BFP，
∴△APG∽△BFP．
则图中相似三角形有3对，故答案为：3．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角
形的对应边、对应角．
4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE
＝DC；②∠BOD＝60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是__．
【答案】①②
【分析】由两个等边三角形容易证明△DAC≌△BAE，则可得①正确，同时有∠ADC＝∠ABE，利用三角
形内角和即可得②正确，再由AB≠AC及AC=AE，得AB≠AE，从而可得∠ABE≠∠AEB，则易得
∠DBO≠∠OCE，从而得③不正确．
【详解】∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，
∴∠DAC＝∠BAC＋60°，
∠BAE＝∠BAC＋60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE＝DC．
∴∠ADC＝∠ABE，
∵∠BOD＋∠BDO＋∠DBO＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠BDO﹣∠DBO
＝180°﹣（60°﹣∠ADC）﹣（60°＋∠ABE）＝60°，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC＝∠ABE，∠AEB＝∠ACD，
∵∠DBO＝∠ABD＋∠ABE＝60°＋∠ABE，∠OCE＝∠ACE＋∠ACO＝60°＋∠ACD，
∵AE=AC，
∴AB≠AE，
∴∠ABE≠∠AEB，∵∠AEB＝∠ACD，
∴∠ABE≠∠ACD，
∴∠DBO≠∠OCE，
∴两个三角形的最大角不相等，
∴△BOD不相似于△COE；
即③不正确；
故答案为：①②．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，识别两三角形相似，除了要掌握定义
外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，说明③不正确是本题的难点，许多学生无从下手．
5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ， ，动点P从点A开始沿AB
边运动，速度为 ；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为 ；如果P、Q两动点同时运动，
那么经过______秒时 与 相似．
【答案】 或 ## 或
【分析】设经过t秒时， 与 相似，则 , , ,利用两组对应边的
比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论： 时， ，即 ；当
时， ，即 ，然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过t秒时， 与 相似，
则 , , ,
∵ ，
∴当 时， ，即 ，
解得： ；
当 时， ，
即 ，
解得： ；
综上所述：经过 或 秒时， 与 相似，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是
准确分析题意列出方程求解．
二、解答题
6．（2022·全国·九年级）已知 和 中， ， 、 分别是两个三角形
斜边上的高，且 ，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】先根据题意得出 ，再由 ，得出 ，故可得出
，再由 即可得出结论．
【详解】证明：∵ 、 分别是两个三角形斜边上的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解本题的关键．
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点
D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△ AEF∽△ABC．
△【答案】证明见解析．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可
得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相
等的两个三角形相似可判断 AEF∽△ABC．
【详解】证明：∵AD⊥BC，△
∴∠ADC＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
∵点E为AC的中点，
∴ED＝EC，
∴△ECD是等腰三角形，
∴∠EDC＝∠C，
∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝∠AEF，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角
形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键．
8．（2022·河北石家庄·九年级期末）如图，Rt ABC中， ， 于F，AD是∠BAC的平
分线， 交AC于G，AD与BF交于点△E．(1)求证：
(2) ， ．
【答案】(1)见解析
(2)ADG，AFE，ACD
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（1）解：证明：如下图， ∵ ，∴ ，又∵ ，∴
，∴ ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ∴
∴ ．
（2）∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，又 ， ， ，
∴∠ABC=∠ADG=∠AFB=90°，∴ ADG AFE，∴∠3=∠AGD=∠AEF，
∴∠ADC=∠CGD=∠AEB，又根据直角三角形两锐角互余可得∠5=∠C，∴ 故答案
为：ADG，AFE，ACD．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
