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4.4用尺规作三角形
原理：用尺规做三角形（依据判定） “SAS”“ASA”“SSS”
例一：已知三边作三角形。
已知：如图，线段a，b，c.
求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.
作法：
（1）作线段AB=c；
（2）以A为圆心b为半径作弧，
（3）以B为圆心a为半径作弧与
前弧相交于C；
（4）连接AC，BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
例二：已知两边及夹角作三角形。
已知：如图，线段m，n, ∠α.
求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.
作法：
（1）作∠A=∠α；
（2）在AB上截取AB=m ,AC=n；
（3）连接BC。
则△ABC就是所求作的三角形。
例三：已知两角及夹边作三角形。
β
α
已知：如图，∠ ，∠ ，线段m .
β
α
求作：△ABC，使∠A=∠ ，∠B=∠ ,AB=m.
作法：
（1）作线段AB=m；
（2）在AB的同旁
β
α
作∠A=∠ ，作∠B=∠ ，
∠A与∠B的另一边相交于C。
则△ABC就是所求作的图形（三角形）。
题型一：尺规作三角形
1．（2021·湖南常德·八年级期中）请按以下要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．用直尺和圆规作△DEF，使得△DEF≌△ABC，并指出判定△DEF≌△ABC的依据（请在作图区内画图）．
2．（2021·山东烟台·七年级期中）作图题（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
已知：∠α，∠β，线段c．
求作： ABC，使∠A＝∠α，∠ABC＝∠β，AB＝2c．
3．（2022·湖南益阳·八年级期末）如图，已知△ABC，求作△DEF，使△DEF≌△ABC；要求写出作法，并保留作
图痕迹．（使用直尺和圆规作图，作图痕迹如果是铅笔绘制的请用水芯笔涂描．）
题型二：结合尺规作图的全等问题
4．（2021·新疆·七年级期末）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB
长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得： 的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5．（2022·河北保定·八年级期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹
中，△ODM≌△CEN根据的是（ ）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
6．（2021·全国·八年级单元测试）嘉淇同学要证 ，她先用下列尺规作图步骤作图：①
；②以点 为圆心， 长为半径画弧，与射线 相交于点 ，连接 ；③过点 作
，垂足为点 ．并写出了如下不完整的已知和求证．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明过程．
一、单选题
7．（2022·河北邢台·八年级期末）已知 ，按图示痕迹做 ，得到 ．则在作图时，这
两个三角形满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·湖北荆州·八年级期中）如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到△COD≅△C′O′D′的依据是（
）
A． B． C． D．9．（2021·全国·八年级阶段练习）根据下列己知条件，能画出唯一的 的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
10．（2021·江苏盐城·三模）已知线段 ， ， ，求作： ，使 ， ， ．下面的作图顺序
正确的是（ ）
①以点 为圆心，以 为半径画弧，以点 为圆心，以 为半径画弧，两弧交于 点；
②作线段 等于 ；
③连接 ， ，则 就是所求作图形．
A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③①
11．（2022·陕西安康·八年级期末）如图，已知直线l和 ，在直线l上找一点P，使P到 的两边 、
的距离相等．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
12．（2022·安徽安庆·七年级期末）如图，已知点M是∠ABC边BA上一点，请用直尺和圆规按下列步骤作图（不
写作法，保留作图痕迹）：
(1)在射线BC上作线段BO，使BO=BM；
(2)以点O为顶点，OB为一边作∠BON，使∠BON=∠B，边ON交射线BA于点N；一：选择题
13．（2021·辽宁大连·八年级期中）如图，在 上分别截取 ，使 ，再分别以点 为圆心，
以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，作射线 就是 的角平分线．这是因为连结
，可得到 ，根据全等三角形对应角相等，可得 ．在这个过程中，得到
的条件是（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·全国·七年级课时练习）下列关于用尺规作图的结论错误的是（ ）
A．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出
B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出
C．已知一个直角三角形的二条边，那么这个三角形一定可以作出
D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出
15．（2021·全国·七年级课时练习）如图所示的是已知 ，求作 的作图痕迹， 则下列说法正确的是
（ ）
A．因为边的长度对角的大小无影响， 所以 弧的半径长度可以任意选取
B．因为边的长度对角的大小无影响， 所以 弧的半径长度可以任意选取
C．因为边的长度对角的大小无影响， 所以 弧的半径长度可以任意选取
D．以上三种说法都正确16．（2021·全国·七年级专题练习）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距
离，但绳子不够长，位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长到点
D，使 ，连接BC并延长到点E，使 ，连接DE并且测出DE的长即为A，B间的距离，这样实际
上可以得到 ，理由是（ ）
A．SSS B．AAS C．ASA D．SAS
17．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠NCE=∠AOD，作图痕迹
中，弧FG是( )
A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧
18．（2021·全国·七年级）如图，在 ， 上分别截取 ， ，使 ，再分别以点 ， 为圆心，以
大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，作射线 ， 就是 的角平分线．这是因为连结
， ，可得到 ，根据全等三角形对应角相等，可得 ．在这个过程中，得到
的条件是（ ）
A．SAS B． AAS C．ASA D．SSS
二、填空题
19．（2021·河南濮阳·七年级期中）如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法
中：①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；②作线段BC＝a；③连接AB，AC，△ABC为所求
作的三角形．正确顺序应为___．（填序号）20．（2021·浙江·八年级期末）如图，利用尺规作图：作 的平分线 的原理是_________．
21．（2021·全国·七年级课时练习）如图所示，已知 ，求作射线 ，使 平分 ，作法的合理顺序
是__．（将①②③重新排列）
①作射线 ；
②以 为圆心，任意长为半径画弧交 、 于 、 ；
③分别以 、 为圆心，大于 的长为半径作弧，在 内，两弧交于点 ．
22．（2020·重庆江北·八年级期末）（1）如图， ， .点 在射线 上，利用图，画图说明
命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题.你画图时，选取的 的长约为
__________ （精确到0.1 ）.（2） 为锐角， ，点 在射线 上，点 到射线 的距离为 ， ，若 的形状、大
小是唯一确定的，则 的取值范围是__________.
23．（2020·北京·八年级单元测试）在 中给定下面几组条件：
①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；
②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；
③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；
④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．
若根据每组条件画图，则 能够唯一确定的是___________（填序号）.
24．（2018·安徽池州·八年级期末）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC
这样的三角形叫做格点三角形，画与△ABC只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形
（为与△ABC重合）最多可以画出________个．
25．（2021·北京二十中八年级期中）(1)如图， ， ．点 在射线 上，利用图1，画图说
明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的 的长约为
_____(精确到 )．
(2) 为锐角， ，点 在射线 上，点 到射线 的距离为 ， ，若 的形状、大小是
唯一确定的，则 的取值范围是_____．三、解答题
26．（2021·山东烟台·七年级期中）尺规作图
已知： ， 和线段a，求作 ，使 ， ， ．
要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．
27．（2021·山东·巨野县金山中学八年级阶段练习）作图题：已知：线段a，∠α．求作： ABC，使AB=AC=a，
∠B=∠α．（要求：只保留作图痕迹，不写作法）．
28．（2021·全国·八年级课时练习）如图，已知线段a、b和 ，用尺规作一个三角形 ，使
．（要求：不写已知、求作、作法、只画图，保留作图痕迹）29．（2021·江苏·泰州中学附属初中三模）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AB为水平边，D为AB边上一点．
（1）只用圆规在B的正上方作一点E，使BE=AD（说明作法，不需要证明）；
（2）在（1）的条件下，连接DE，若AC= ，AD=3，求DE的长度．
30．（2021·湖南长沙·中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角
形全等的方法：
已知： ．
求作： ，使得 ≌ ．
作法：如图．
（1）画 ；
（2）分别以点 ， 为圆心，线段 ， 长为半径画弧，两弧相交于点 ；
（3）连接线段 ， ，则 即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在 和 中，∴ ≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
31．（2021·湖北武汉·九年级专题练习）求证：全等三角形对应边上的中线相等.已知如图， ，AD
是△ABC的中线．
（1）求作 的中线 （要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求证：
32．（2021·江苏镇江·八年级阶段练习）用尺规作图法作 的角平分线．（请填空，图上保留作图痕迹即可）
已知： ．
求作： 的角平分线．
作法：
（1）以 为圆心，适当长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ．
（2）分别以点 为圆心， 为半径画弧，两弧在 的内部交于点 ．
（3）画射线 ，射线 即为所求．33．（2020·河北唐山·八年级期中）如图，B，C分别为射线 的端点，连接 ，按要求完成下列各小题．
（保留作图痕迹，不要求写作法，标明各顶点字母）
（1）在 的右侧，作 ，交射线 于点E；
（2）在（1）的条件下，求作 （点F在 内）使得 ．
34．（2021·安徽合肥·八年级期末）（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm，点C在射线AM上，画图说明命题
“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题，请画出图形，并写出你所选取的BC的长约为
cm（精确到0.lcm）．
（2）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 ．1．
【详解】
作线段DG，且 ，以点D为圆心，BC为半径画圆弧，交DG于点E；分别以点D、E为圆心，AB、AC为
半径画圆弧，相交于点F，连接DF、EF
作图如下：
△DEF就是所求；
∴ ， ，
△DEF和△ABC中
∴△DEF≌△ABC（SSS）．
2．
【详解】
解： ABC即为所求作的三角形．
△
3．
解：作法：①作射线EQ，在射线EQ上截取EF=BC；
②以E为圆心．AB的长为半径画弧；
③以F为圆心．AC的长为半径画弧，两弧交于点D；④连接DE．DF，
如图所示，△DEF即为所求．
4．D
解：由题意可得，
AD=BC，AB=CD，
在△ADC和△CBA中，
，
∴△ADC≌△CBA（SSS），
故选：D．
5．B
解：根据题意得： ，
∴△ODM≌△CEN的依据是“ ”，
故选：B．
6．
【详解】
（1）∵以点B为圆心，BC长为半径画弧
∴BC=BE
根据已知条件第一句话，得到AE=BF
故答案为：BE；BF；
（2）证明：∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠FBC．
∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，
∴BE=BC，
在 ABE与 FCB中，
△ △∴△ABE≌△FCB，
∴AE=BF
【点睛】
本题考查了尺规作图，和三角形全等的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定条件，和性质是本题的关键．
7．D
【解析】
【分析】
根据所给条件直接判定即可.
【详解】
解：由题可得：在△ABC和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
故选：D
【点睛】
此题考查三角形全等的判定-三边分别相等的三角形是全等三角形，掌握判定定理是解答此题的关键.
8．B
【解析】
【分析】
利用作法可确定OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，然后根据全等三角形的判定方法可判断△COD≌△C'O'D'．
【详解】
解：由作法得OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，
所以可根据“SSS”证明△COD≌△C'O'D'．
故选：B．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本
作图方法．也考查了全等三角形的判定．
9．C
【解析】
【分析】
根据两个三角形全等的三个判定定理逐项判断即可完成．【详解】
A、此三条线段不能围成一个三角形，故不能画出；
B、已知两边的长和其中AB边的对角，根据全等三角形的判定方法是不能画出三角形；
C、已知两个角和这两个角的夹边，根据ASA判定定理可以画出三角形；
D、已知三个角，根据两个三角形全等的判定方法，可心画出这个三角形，但画出的这样的三角形有无数个，故不
合题意；
故唯一可以画出三角形的只有选项C符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，掌握三个判定定理是关键．
10．C
【解析】
【分析】
先画 ，确定 、 点位置，然后通过画弧确定 点位置，从而得到 ．
【详解】
②先作线段 等于 ，①再以点A为圆心，以 为半径画弧，以点 为圆心，以 为半径画弧，两弧交于 点，
③然后连接 ， ，则 就是所求作图形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图，作一个三角形，使这个三角形的三边等于已知的三条线段，其实质是作一条线段等于已知线段，
原理是全等三角形的边边边判定定理．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性
质把复杂作图问题分解成基本作图来解决．
11．答案见解析
【解析】
【分析】
作∠AOB的平分线与直线l两条线的交点就是P点．
【详解】
解：作∠AOB的平分线与直线l两条线的交点就是P点，点P即为所求．【点睛】
本题考查了角的平分线的作图，解题的关键是需要熟记作图的方法．
12．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用尺规在BO的上方，作∠BON=∠B即可．
(1)
解：如下图，线段BO即为所求；
(2)
如上图，射线ON即为所求．
【点睛】
本题考查了尺规作图：作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握作图的方法．
13．D
【解析】
【分析】
由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，由SSS证明三角形全等即可．
【详解】解：由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，
∴△COD≌△COE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．B
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定方法解答．
【详解】
．根据一个三角形的两角与一边， 或 ，这个三角形一定可以作出；
所以 选项不符合题意；
．已知一个三角形的两边与一角，不一定作出这个三角形，
所以 选项符号题意；
．已知一个直角三角形的二条边，这个三角形一定可以作出；
所以 选项不符合题意；
．已知一个三角形的三条边，这个三角形一定可以作出．
所以 选项不符合题意．
故选： ．
【点睛】
本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
15．A
【解析】
【分析】
根据作一角等于已知角的方法可得出边的长度对角的大小无影响，BC弧的半径长度可以任意选取进而得出答案．
【详解】
已知 ，求作 的作图痕迹，
边的长度对角的大小无影响， 得出 弧的半径长度可以任意选取 ．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，根据一角等于已知角的方法得出是解题的关键．
16．D
【解析】
【分析】根据对顶角相等，结合已知条件即可证明
【详解】
在 与 中，
故选：D
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．D
【解析】
【分析】
根据作一个角等于已知角的步骤即可得．
【详解】
解：作图痕迹中，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查作图-尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．
18．D
【解析】
【分析】
由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，由SSS证明三角形全等即可．
【详解】
解：由作图可知，OE=OD，CE=CD，OC=OC，
∴△COD≌△COE（SSS），
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．②①③
【解析】
【分析】
根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答．
【详解】解：先作线段BC＝a，再分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A，然后连接AB，AC，△ABC为所
求作的三角形．
故答案为：②①③．
【点睛】
本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，以及用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤的能力．
20．SSS
【解析】
【分析】
根据SSS判断三角形全等即可．
【详解】
解：如图，连接PM，MQ．由作图可得：
∵OP=OQ，PM=QM，OM=OM，
∴△POM≌△QOM（SSS），
∴∠POM=∠QOM，即OM是∠AOB的角平分线．
故答案为SSS．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
21．②③①
【解析】
【分析】
根据角平分线的作法求解．
【详解】
作法：（1）以 为圆心，任意长为半径画弧交 、 于 、 ；
（2）分别以 、 为圆心，大于 的长为半径作弧，在 内，两弧交于点 ，
（3）作射线 ，
所以 就是所求作的 的平分线．
故题中的作法应重新排列为：②③①．
故答案为：②③①．【点睛】
本题考查尺规作图的应用，熟练掌握角平分线的作法是解题关键．
22． 答案不唯一，可以取BC=2.3cm（2cm＜BC＜4cm） x=d或x≥a
【解析】
【分析】
（1）答案不唯一，可以取BC=2.3cm(2cm＜BC＜4cm)；
（2）当x=d或x≥a时，三角形是唯一确定的.
【详解】
（1）取BC=2.3cm，
如图在△ABC和△ABC'中满足SSA，两个三角形不全等.
故答案为：答案不唯一，可以取BC=2.3cm(2cm＜BC＜4cm).
（2）若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x=d或x≥m.
故答案为：x=d或x≥m.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
23．①③④
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】
解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确；
②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和△BCD，
错误；
③符合全等三角形的判定定理HL，即能画出唯一三角形，正确；
④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个
验证，要找准对应关系．
24．6
【解析】
【分析】
可以以BC和AB边分别画出3个，AC边不可以，这样即可确定答案．
【详解】
以BC为公共边可以画出 三个三角形和原三角形全等；
以AB为公共边可以画出 三个三角形和原三角形全等；
所以可以画出6个
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查全等三角形与正方形网格，分情况讨论是解题的关键．
25． 答案不唯一如： 或
【解析】
【分析】
（1）答案不唯一，可以取BC=1.2cm（1cm
