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2025 年高考考前信息必刷卷 02（上海专用）
数 学
考情速递
高考·新考法：更加突出知识的融合性，新定义的理解能力，图象的割补等对思维的要求有所提升
高考·新情境：函数与数列融合（如本卷第10题），新定义（如本卷第11题，第21题）
命题·大预测：侧重扎实的基础（如第3题），突出知识的相互融合渗透（如第10题），突出动手能力
（如第16题），突出分类讨论（不重复不遗漏如第15题），突出对新定义的理解，转化能力（如第11题，
第21题）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的
相应位置直接填写结果。
1．全集为 ， ， ，则 .
【答案】
【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算
【分析】根据集合的运算求解.
【详解】 ， ， ，
，
.
故答案为： .
2．已知角 在第二象限，且 ， 则 = .
【答案】 /【知识点】二倍角的正切公式、已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、诱导公式五、
六
【分析】先根据诱导公式得 ，再根据同角三角函数关系得 ，最后利用二倍角公式即可求解.
【详解】因为 ，所以由诱导公式可得： ，
因为角 在第二象限，所以 ，
所以 ，
所以
故答案为： .
3．不等式 的解集是 .
【答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式
【分析】将原不等式转化为整式型不等式，即一元二次不等式求解.
【详解】不等式 等价于 ，即 ，
解得 ，即原不等式的解集为 .
故答案为： .
4．已知复数 ， ， ，若 为纯虚数，则 ．
【答案】5
【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模
【分析】由纯虚数的概念得到 ，再由模长计算求解即可；
【详解】 ，
因为 为纯虚数，所以 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：5.
5．已知直线 ： 与直线 ： 平行，则 .
【答案】3
【知识点】已知直线平行求参数【分析】根据两直线 平行的充要条件： 且
即可求解.
【详解】因为 ，由两直线平行的充要条件可得，
且 ，
解得 .
故答案为；
6．已知 ， 之间的一组数据：若 与 满足经验回归方程 ，则此曲线必过点 .
x
y
【答案】
【知识点】非线性回归、计算样本的中心点
【分析】设 ，则 ，根据回归方程性质可得回归直线所过定点.
【详解】由已知 ，
设 ，则 ，
由回归直线性质可得 在直线 上，
又 ， ，
所以点 在直线 上，故点 在曲线 上.
故答案为： .
7．向量 为直线 的法向量， 则向量 在 方向上的投影向量为 .
【答案】
【知识点】直线法向量的概念及辨析、求投影向量
【分析】首先根据条件求 ，再代入投影向量的公式计算即可.
【详解】直线 的斜率为 ，所以直线的方向向量为 ，
由题意可知， ，所以 ，则 ，
即 ，
所以向量 在 方向上的投影向量为 .故答案为：
8．如图，在四棱台 中，底面 是菱形，棱 平面 ， ，
， ，则点 到平面 的距离为 .
【答案】
【知识点】点到平面距离的向量求法
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】因为底面 是菱形， ，连接 ，则 为等边三角形，
取 的中点 ，连接 ，则 ，又 ，所以 ，
如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，
所以点 到平面 的距离 .
故答案为：9．把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严
格增，则这样的数列共有 个.
【答案】254
【知识点】分类加法计数原理、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】根据1是分界点，分类讨论即可.
【详解】该数列为先减后增，则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，
当1前面只有一个数时，有 种情况；
当1前面只有2个数时，有 种情况；
当1前面只有3个数时，有 种情况，
，
当1前面只有7个数时，有 种情况.
综上，这样的数列共有 个.
故答案为： .
10．若函数 的四个零点从小到大恰好构成等差数列，则 .
【答案】 /
【知识点】对数的运算、等差中项的应用、对数函数图象的应用、求函数的零点
【分析】分析出 不合要求， 时，求出四个零点，并得到大小关系，由等差数列性质得到方程，
求出 .
【详解】 ，若 ，无解，舍去，
若 ，此时 ，此时 ，只有两个零点，舍去，
若 ， ，若 ，则 ，故 ，
若 ，则 ，故 ，
其中 ，
因为四个零点从小到大恰好构成等差数列，
所以 ，故 ，故 ，解得 .
故答案为：
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若 上存在一点 ，使得
，则 的离心率 ．
【答案】
【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】由三角形面积公式建立焦半径与 的等量关系，利用余弦定理建立齐次方程，可得答案.
【详解】由题意作图如下：
设 ，在 中， ，
易知边 上的高 ，
则该三角形面积 ，解得 ，
由 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
整理可得 ，则 ，
代入可得 ，
可得 ，解得 ，由 ，且 ，则 .
故答案为： .
12．定义：若函数 与 的图象有且只有一个公共点，则称 与 互为“粘合函数”．已知曲
线 关于直线 对称的曲线为 ，且 与 互为“粘合函数”，则a的
取值范围为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的零点、函数新定义
【分析】首先通过求曲线 关于直线 的对称曲线得到 的表达式，然后根据 “粘合函
数” 的定义，将问题转化为方程 有且仅有一个解的问题，进一步通过变形得到，构造函数
，利用导数研究其单调性，最后结合函数图象通过数形结合的方法确定的取值范围.
【详解】设点 为 上任一点，
则其关于直线 的对称点为 ，且 在函数 上，
所以 ，解得 ，
所以 ，又因为 与函数 为“粘合函数”，
所以方程 有且只有一个解，当 时，显然不成立；
当 时，则 ，记 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ； 时， ，
且 ，则 的图象如图所示，数形结合易知a的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：
求曲线关于直线的对称曲线，关键是利用对称点的坐标关系进行求解.
对于方程有且仅有一个解的问题，常通过变形构造函数，利用导数研究函数的性质，再结合数形结合的方
法确定参数的取值范围.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一
个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13．某中学高三年级共有学生900人，为了解他们视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为45的
样本，若样本中共有女生11人，该校高三年级共有男生（ ）人
A．220 B．225 C．680 D．685
【答案】C
【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算
【分析】利用分层抽样比例一致得到相关方程，从而得解.
【详解】依题意，设高三男生人数为 人，则高三女生人数为 人，
由分层抽样可得 ，解得 .
故选：C.
14．圆 的圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】求点到直线的距离、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】求出圆心，利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】由圆 ，可得： ，所以圆的圆心为 ，则圆心
到直线 的距离为 ，
故选：B
15．若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正棱柱及其有关计算、求异面直线所成的角
【分析】由题意作图，根据正方体的几何性质，利用异面直线的夹角的定义，可得答案.
【详解】①由题意作图如下：由图易知 为等腰直角三角形，则直线 与 的夹角为 ；
②由题意作图如下：
由图易知 为等边三角形，则直线 与 的夹角为 ；
③由题意作图如下：
由图易知 ，因为 ，则直线 与 的夹角为 .
而不管怎么找顶点，都无法得到直线AB与CD所成角为 .
故选：A.
16．将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，如图所
示，图中阴影部分的面积为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式
【分析】由正弦型函数的对称性可知，阴影部分的面积等于一个长为 ，宽为 的矩形的面积，求出 的值，可得函数 的最小正周期，进而可得出 的值，再由 结合 的取值范围可得出 的值.
【详解】根据正弦型函数图象的对称性可知，
阴影部分的面积等于一个长为 ，宽为 的矩形的面积，所以 ，即 ，
由图象可知，函数 的最小正周期 满足 ，则 ，又 ，
所以， ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 .
故选：A.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在正方体 中，E是 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线DE与平面ABCD所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】证明线面垂直、求线面角、线面垂直证明线线垂直
【分析】（1）连接 ，结合正方体的性质易得 ， ，进而求证即可；
（2）过 作 ，交 于 ，连接 ，易得 是直线 与平面 所成的角，进而结合
直角三角形中正切的定义求解即可.
【详解】（1）证明：连接 ，在正方体 中，E是 的中点，
所以E是 的中点，且 ，即 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ,
所以 平面 .
（2）过 作 ，交 于 ，连接 ，
在正方体 中， 平面 ， ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 是直线 与平面 所成的角.
由题意，设 ，则 ，
，所以 ，
所以在 ， ，
故直线 与平面 所成角的大小是 .
18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
等比数列 的公比为2，且 成等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、求等比数列前
n项和
【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程求解；
（2）根据等差数列与等比数列的前 项和公式分组求和即可.【详解】（1）已知等比数列 的公比为2，且 成等差数列，
， ，解得 ，
（2） ，
.
综上，
19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检
测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表）；
(2)已知甲型芯片指标在 为航天级芯片，乙型芯片指标在 为航天为航天级芯片．现分别采用
分层抽样的方式，从甲型芯片指标在 内取2件，乙型芯片指标在 内取4件，再从这6件中任
取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率．
【答案】(1) ， .
(2) .
【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、频率分布直方图的实际应用
【分析】（1）由频率和为1求出 得值，根据平均数公式求出平均值.
（2）根据条件列举样本容量和样本点的方法，列式求解.
【详解】（1）由题意得 ，解得 .
由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值：
.（2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在 和 的各1件，分别记为 和 ，
来自甲型芯片指标在 和 分别为3件和1件，分别记为 ， ， 和 ，
从中任取2件，样本空间可记为 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， 共15个，
记事件 ：至少有一件为航天级芯片,则 ， ， ， ， ，
， ， ， 共9个，
所以 .
20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知椭圆 分别为椭圆 的左、右顶点， 分别为左、右焦点，直线 交椭圆 于
两点( 不过点 ).
(1)若 为椭圆 上（除 外）任意一点，求直线 和 的斜率之积.
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)若直线 与直线 的斜率分别是 、 ，且 ，求证：直线 过定点，并求出此定点.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，恒过定点
【知识点】椭圆中的直线过定点问题、椭圆中向量共线比例问题、椭圆中的定值问题
【分析】（1）设点 ，直接计算 ，结合 点在椭圆上化简即得；
（2）设 ，由向量线性运算的坐标表示得出 ，再利用 在椭圆上，可
求出 （或 ）的坐标，然后可得直线方程；
（3）设 ，易知直线 的斜率不为 ，设其方程为 （ ），直线方程椭圆方
程整理后应用韦达定理得 ，把它代入 可求得 的确定值，从而得定点坐标．
【详解】（1）在椭圆 中，左、右顶点分别为 ，设点 ，则 .
（2）设 ，由已知可得 ， ，
由 得 ，化简得 ，
代入 可得 ，
联立 解得 ，
由 得直线 过点 ， ，
所以，所求直线方程为 .
（3）设 ，易知直线 的斜率不为 ，设其方程为 （ ），
联立 ，可得 ，
由 ，得 .
由韦达定理，得 . ， .
可化为 ，
整理即得 ，
，由 ，
进一步得 ，化简可得 ，解得 ，
直线 的方程为 ，恒过定点 .【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的直线过定点问题，一般可设直线与圆锥曲线的交点为 ，
设出直线方程为 或 ，直线方程代入圆锥曲线方程后化简整理后应用韦达定理得
（或 ），代入题中关于交点的其他条件化简可得出 （或 ）的关系，从而得出
定点坐标．
21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分．
函数 的定义域为 ，在 上仅有一个极值点 ，方程 在 上仅有两解，分别为 、 ，
且 ．若 ，则称函数 在 上的极值点左偏移；若 ，则称函数
在 上的极值点右偏移．
(1)设 ， ，判断函数 在 上的极值点是否左偏移或右偏移？
(2)设 且 ， ， ，求证：函数 在 上的极值点右偏移；
(3)设 ， ， ，求证：当 时，函数 在 上的极值点左偏移．
【答案】(1)函数 在 上的极值点不偏移
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【知识点】函数新定义、求已知函数的极值点
【分析】（1）先求 的根及 的极值点，再根据题设定义，即可求解；
（2）先求 的根，对 求导，得到 ，通过计算得到 ，再利用
二次函数的性质，即可求解；
（3）设 的两个零点为 ，根据条件得到 ，再构造函数
，利用函数的单调性，得到 ，即可求
解.
【详解】（1）由 ，得到 ，所以 ，
又 ，由 ，得到 ，又当 时， ，当 时， ，
所以 只有一个极值点，且极值点为 ，此时 ，
所以函数 在 上的极值点不偏移.
（2）因为 ， 且 ， ，
由 ，得到 或 ，则 ，又 ， ，则 有两根，
不妨设为 ，且 ，又 ，所以 ，
又 时， ， 时， ，所以函数 在 上只有一个极值点 ，且
，
又 ，
所以 ，故函数 在 上的极值点右偏移.
（3）由题知， ，令 ，得到 ，
当 时， ，当 时， ， 所以 是 的极值点，
且 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
又 ， 时， ， 时， ， ，
则 有两个零点，不妨设为 ，且 ，所以 ， ，
令 ，
则 在 恒成立，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，
故 ，又 ，
故 ，得到 ，即 ，
所以当 时，函数 在 上的极值点左偏移．
【点睛】方法点睛：本题第三问考查极值点偏移问题，解决极值点偏移的主要方法有：
1.构造对称函数；
2.比值换元；3.对数平均不等式.
