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绝密★启用前
2025 年高考考前信息必刷卷 01（新八省专用）
数 学
考情速递
高考·新动向：包含高考命题趋势变化，题目呈现方式的变化等
如第5题，第14题，第18题新定义问题，体现创新考法
高考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对非常规考点的创新糅合等
高考·新情境：可涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等
如第6题，第9题，第15题，涉及生活情境，社会生产生活，加强学科的应用
命题·大预测：基于本卷的题目进行具体分析，给出趋势性预测，也可提出备考方向等
深化基础性考查，强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导中学
把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养。增加基础题比例、降低初始题起点，增强试题的
灵活性和开放性，使学生在考试中能够充分展示自己的思维能力和创新水平.
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】因为 ， ，所以 ，故选B.
2．函数 的最小正周期为（ ）
A．16 B．8 C． D．
【答案】B
【解析】 的最小正周期为 ．故选：B.
3．已知 （ 为虚数单位），则复数 的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，所以复数 的虚部为1.故选：B.
4．已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ， ，可得 ，
又因为 ，所以 ，解得 ．
故选：C．
5．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数 ，简称黄金数．
离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线 是黄金双曲线，则a=（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】由题意 ，则 ，
所以 .
故选：B
6．不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，
目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如下图，已知一陀螺的圆柱的底面直径为
16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】该陀螺的表面积有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面，
因为圆柱的底面直径为16，所以半径为8，
则底面圆面面积为： ，
因为圆柱的高为6，
所以圆柱的侧面为： ，
根据圆锥的高为6，底面圆的半径为8，
得圆锥母线长为 ，
所以圆锥的侧面为： ，
所以该陀螺的表面积为： ，
故选：A.
7．在 中， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由余弦定理得 ，
由 两边平方得 ，
所以 ，所以 .
故选：C
8．已知定义域为 的函数 满足 ，当 时， ，则 在区
间 上的零点的个数为（ ）
A．403 B．404 C．405 D．406
【答案】C
【解析】由 ，则 ，
即 ，即 是周期为 的周期函数，
当 时， ，
令 ，解得 或 ，
则 无解，由 ，则当 时， 无解，
故当 时， 有零点 、 ，
即当 时， 有零点 、 ，
即 在一个周期内有 个零点，
则当 时， 有 个零点.
当 时， 有零点 ，
故 在区间 上的零点的个数为 .故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列选项正确的是（ ）
A．若随机变量 ，则
B．若随机变量 ，则
C．若随机变量 服从 分布，且 ，则
D．若随机变量 满足 ，则
【答案】ABD
【解析】A.若随机变量 ，则 ，故正确；
B.若随机变量 ，则 ，故正确；
C.若随机变量 服从 分布，且 ，则 ，故错误；
D.由随机变量 满足 ，则
，
所以 ，故正确；
故选：ABD
10．已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）A．
B．将 的图象向右平移 个单位，得到 的图象
C． ，都有
D．函数 的单调递减区间为
【答案】ACD
【解析】由图知， ，即 ，
所以 ，由题意 ，结合图象解得 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 的解析式为： ，
对A， ，故A正确；
对B，将 的图象向右平移 个单位，得 的图象，故B错误；
对C，由三角函数的性质知， ，所以 ，都有 ，故C正确；对D，由 ，得 ，所以函数 的单调递减区间
为 ，故D正确.
故选：ACD.
11．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点，过点 作 的切线，交准线
于点 ，交 轴于点 ，下列说法正确的有（ ）
A． B．直线QB与 也相切
C． D．若 ，则
【答案】ACD
【解析】依题意，抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
不妨设点 在第一象限，且 ，如图，
因为 ，所以 ，
则有点 处的切线方程为： ，即 ，
令 ，于是 ，则 ，选项A正确；
同理有点B处的切线方程为： ，交 轴于 ，当 时直线 才是抛物线 的切线，否则直线 不是抛物线C的切线，故B错误；
点B处的切线方程为： ，
设直线 的方程为： ，由 可得 ，
所以 ，
点B处的切线方程为： ，该切线与准线的交点的纵坐标为 ，同理
，所以直线 也是抛物线C的切线，
所以 ，所以 ，故C正确；
由A可知， 为等腰三角形，且 ，于是 ，
则 ，又 ，解得 ，则 ，选项D正确，
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知 ，则 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ，而 ，所以 .
13．早在几千年之前，在文字还未发明出来的时候，人们通过绳结来记录简单的数字，即“结绳记事”如
图为一部落为记录羊群数量的绳结图，已知其记数的规则为左大右小，即从右往左依次打结，每打8个结
则在该道绳子的左侧的绳子上打1个结，并解开这8个结，则该部落的羊共【答案】596只
【解析】按8进制计算，逢8进1，则图中羊有： 只，
14．我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，
有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数．若 的对称中心为 ，则
．
【答案】
【解析】令 ，因为 ，
所以 ，因为 的对称中心为 ，
所以 是奇函数，
故 ，化简得 ，
当 时， 有定义，故 ，
即得到 ，而 ，
，
故 ，
解得 ， ，可得 关于 中心对称，
故 ，即 ，
， ，
故 ，
.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分13分）2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号 遥十六运载火箭在酒
泉卫星发射中心点火发射.实验中学某班为弘扬“载人航天精神——特别能吃苦、特别能战斗、特别能攻关、特别能奉献”，举行航天知识问答活动，活动分为A、 两类项目，且该班级所有同学均参加活动，每位
同学选择一项活动参加.
A类 类
男同学 25 15
女同学 10
若采用分层抽样从该班级中抽取6名同学，则有男同学4名，女同学2名.
(1)求 以及该班同学选择A类项目的概率；
(2)依据小概率值 的独立性检验，能否认为同学选择项目的类别与其性别有关？
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
附： .
【解】（1）依题意男女同学的比例为 ，则 ，解得 ；
该班同学选择A类项目的概率为 .
（2）由（1）完善列联表可得：
A类 类 总计
男同学 25 15 40
女同学 10 10 20
总计 35 25 60
零假设为 ：同学选择项目的类别与其性别无关，
可得 ，
依据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
所以能认为同学选择项目的类别与其性别无关
16．（本小题满分15分）已知在正项数列 中，首项 ，点 在双曲线 上，数列 中，点 在直线 上，其中 是数列 的前 项和．
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）求使得 成立 的最小值；
（3）若 ，求证：数列 为递减数列．
【解】（1）点 在双曲线 上，
是以 为首项，公差为 的等差数列，
；点 在直线 上，
，当 时， ，
当 时， ，
，
是以 为首项，公比为 的等比数列， .
（2） ，
解得 ， 成立 的最小值为7.
（3） ，
，
，所以数列 为递减数列.
17．（本小题满分15分）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；(2)若0是函数 的极小值点，求实数 的取值范围．
【解】（1）由 ， ，
则 ，
所以 ，即切线斜率为 ，
又 ，则切点为 ，切线方程为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）根据题意得， ，
则 ．
由0为 的极小值点，可知 ．
设 ，
则 ．
（ⅰ）当 时， ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以0是 的极小值点，符合题意．
（ⅱ）当 时，设 ，则 ，
所以 在 上单调递增， ，
，
所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ， 单调递减，即 单调递减；
当 时， ， 单调递增，即 单调递增.
又 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以0是 的极小值点，符合题意．
（ⅲ）当 时， ，且 在 上单调递增，
所以当 时， ， 单调递减，即 单调递减；
当 时， ， 单调递增，即 单调递增.
又 ，所以 ， 单调递增，不符合题意．
（ⅳ）当 时， ， 在 上单调递增， ，
所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ， 单调递减，又 ，
所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
所以0是 的极大值点，不符合题意．
综上， 的取值范围是 ．
18．（本小题满分17分）已知 分别为椭圆 的左､右焦点， 分别为椭圆
的左､右顶点， 为椭圆 上的动点，过动点 作椭圆 的切线.分别与直线 和 相交
于 两点，四边形 的对角线 相交于点 ，记动点 的轨迹为 .
(1)证明：椭圆 在 点处的切线方程为 .
(2)求动点 的轨迹 的方程.
(3)过点 作斜率不为 的直线 与 相交于点 ，直线 与 的交点为 ，判断点 是否在定直
线上.
【解】（1）证明：联立方程组 ，
消去 整理得 ，又 ，
即 ，
整理得 ，解得 ，
所以直线 与椭圆 有且仅有一个交点 ，
即切线方程为 .（2）解：由（1）中切线方程，令 ，得 ，
令 ，得 ，
因为 ，所以直线 ，①
因为 ，所以直线 ，②
由① ②得 .
因为 ，得 ，
所以动点 的轨迹 的方程为 ）.
（3）解：设直线 的方程为 ，
联立方程组 得 ，
则 ，所以 .
因为直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
整理得
所以 ，即点 在定直线 上.19．（本小题满分17分）如图，在四棱锥 中， 底面ABCD， ， ，
．
(1)若 ，求：向量 在向量 上的投影向量的模；
(2)当 ，且 时，四棱锥 是否有外接球?若有，请求出四棱锥 的外接球的
表面积．
(3)若 ，且 ，求二面角 的正切值．
【解】（1）因为 平面ABCD，而 平面ABCD，所以 ，
又 ， ，PB， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，根据平面知识可知 ，
结合 平面PAB，可知 平面 ， 平面 ，所以 ，
故 在向量 上的投影向量的模即为向量 的模长1．
或者利用 是 和 的夹角，在 中， ， ， ，
，故向量 在 上的投影向量的模为 ．
（2）“当 ，且 时”，则四边形ABCD是长方形，可将四棱锥 补成一个长、宽、高分别为 、1、2的长方体，体对角线长度为 ，
则该长方体的外接球即为四棱锥 的外接球，所以四棱锥 有外接球，且该外接球半径为
，表面积 ；
（3）如图所示，过点D作 于E，过点E作 于点F，连接DF，
因为 平面ABCD， 平面 ，所以平面 平面 ，
而平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面DEF，
平面DEF，故 ,
根据二面角的定义可知， 即为二面角 的平面角，
因为 ， ， ，则 ，
在 中由等面积法可得， ，
所以在 中， ，而 为等腰直角三角形，所以 ，
故 ．
