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2025 年高考考前信息必刷卷 01（新八省专用）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B B B C B A C C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ABD ACD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．15 13．596只 14．12
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（本小题满分13分）
【解】（1）依题意男女同学的比例为 ，则 ，解得 ；
该班同学选择A类项目的概率为 .
（2）由（1）完善列联表可得：
A类 类 总计
男同学 25 15 40
女同学 10 10 20
总计 35 25 60零假设为 ：同学选择项目的类别与其性别无关，
可得 ，
依据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
所以能认为同学选择项目的类别与其性别无关
16．（本小题满分15分）
【解】（1）点 在双曲线 上，
是以 为首项，公差为 的等差数列，
；点 在直线 上，
，当 时， ，
当 时， ，
，
是以 为首项，公比为 的等比数列， .
（2） ，
解得 ， 成立 的最小值为7.
（3） ，
，，所以数列 为递减数列.
17．（本小题满分15分）
【解】（1）由 ， ，
则 ，
所以 ，即切线斜率为 ，
又 ，则切点为 ，切线方程为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）根据题意得， ，
则 ．
由0为 的极小值点，可知 ．
设 ，
则 ．
（ⅰ）当 时， ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以0是 的极小值点，符合题意．
（ⅱ）当 时，设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增， ，
，
所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ， 单调递减，即 单调递减；
当 时， ， 单调递增，即 单调递增.
又 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以0是 的极小值点，符合题意．
（ⅲ）当 时， ，且 在 上单调递增，
所以当 时， ， 单调递减，即 单调递减；当 时， ， 单调递增，即 单调递增.
又 ，所以 ， 单调递增，不符合题意．
（ⅳ）当 时， ， 在 上单调递增， ，
所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ， 单调递减，又 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以0是 的极大值点，不符合题意．
综上， 的取值范围是 ．
18．（本小题满分17分）
【解】（1）证明：联立方程组 ，
消去 整理得 ，又 ，
即 ，
整理得 ，解得 ，所以直线 与椭圆 有且仅有一个交点 ，
即切线方程为 .
（2）解：由（1）中切线方程，令 ，得 ，
令 ，得 ，
因为 ，所以直线 ，①
因为 ，所以直线 ，②
由① ②得 .
因为 ，得 ，
所以动点 的轨迹 的方程为 ）.
（3）解：设直线 的方程为 ，
联立方程组 得 ，
则 ，所以 .
因为直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
整理得
所以 ，即点 在定直线 上.
19．（本小题满分17分）
【解】（1）因为 平面ABCD，而 平面ABCD，所以 ，
又 ， ，PB， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，根据平面知识可知 ，
结合 平面PAB，可知 平面 ， 平面 ，所以 ，
故 在向量 上的投影向量的模即为向量 的模长1．
或者利用 是 和 的夹角，在 中， ， ， ，
，故向量 在 上的投影向量的模为 ．
（2）“当 ，且 时”，则四边形ABCD是长方形，可将四棱锥 补成一个长、宽、高分别为 、1、2的长方体，体对角线长度为 ，
则该长方体的外接球即为四棱锥 的外接球，所以四棱锥 有外接球，且该外接球半径为
，表面积 ；
（3）如图所示，过点D作 于E，过点E作 于点F，连接DF，
因为 平面ABCD， 平面 ，所以平面 平面 ，
而平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面DEF，
平面DEF，故 ,
根据二面角的定义可知， 即为二面角 的平面角，
因为 ， ， ，则 ，
在 中由等面积法可得， ，
所以在 中， ，而 为等腰直角三角形，所以 ，
故 ．
