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第 04 讲 多边形的内角和与外角和
课程标准 学习目标
1．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和
①多边形的内角和
与外角和公式；(重点)
②多边形的外角和
2．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题．(难点)
知识点01 多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个
角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
凹多边形
凸多边形
3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个
多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
n(n3)
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 2 ；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
【即学即练1】
1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）一个凸多边形的每个内角均为 ，则这个多边形对角线的条数是
（ ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查多边形的外角和，外角和，以及对角线的知识点，找出它们之间的关系是本题解题关键．
先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．
【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于 ，
∴每个外角是 ，
∴这个多边形的边数是 ，
∴这个四边形所有对角线的条数是：2条．
故选：B．
2．（24-25八年级上·山东威海·期末）若正多边形的一个外角是 ，则这个正多边形共有（ ）条对角线
A．108 B．54 C．144 D．72
【答案】B
【知识点】多边形对角线的条数问题、正多边形的外角问题
【分析】本题考查了正多边形的外角和，对角线的计算，掌握正多边形的性质是解题的关键．
根据正多边形的一个外角是 ，根据外角和性质为 可得正多边形的边数，由 边形总的对角线数为
，由此即可求解．
【详解】解：正多边形的一个外角是 ，∴正多边形的边数为 ，
∴这个正多边形共有 条对角线，
b故选： B．
知识点02 多边形内角和
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
(n2) 180°
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于 n ；
【即学即练2】
3．（24-25七年级下·全国·课后作业）填空题：
（1）每一个内角都是 的多边形有 条边；
（2）若一个多边形的内角和是 ，则它的边数是 ．
【答案】 18 20
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式，是解题的关键：
（1）设多边形为 边形，根据题意，列出方程进行求解即可；
（2）设多边形为 边形，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】解：（1）设多边形为 边形，由题意，得： ，
解得： ；
故答案为：18；
（2）设多边形为 边形，由题意，得： ，
解得： ；
故答案为：20．
4．（2025·陕西榆林·一模）在古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，它代表着和谐与平衡．
如图1所示的第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的示意图如图2
所示，该正九边形的一个内角 的度数为 ．
【答案】 /140度【知识点】正多边形的内角问题、多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形的内角和定理，正多边形的性质，熟练掌握多边形的内角和定理，正多边形的
每个内角相等是解答．
先求出正九边形的内角和，再利用正九边形的九个内角相等来求解．
【详解】解： 正九边形的内角和为： ．
又 正九边形的九个内角都相等，
．
故答案为： ．
知识点03 多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外
角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
360°
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 n ；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等
外角的度数．
【即学即练3】
5．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，小明从点 出发沿直线前进 米到达点 ，向左转 后又沿直
线前进 米到达点 ，再向左转 后沿直线前进 米到达点 ……照这样走下去，小明第一次回到出发点
，一共走了 米，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】多边形外角和的实际应用
【分析】本题主要考查了正多边形的性质和多边形外角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
由题意可得第一次回到出发点时围成的图形是一个正多边形，则它的边数为 ，再用 除以
即可解答．
【详解】解：由题意可得第一次回到出发点时围成的图形是一个正多边形，
则它的边数为 ，
那么 ，故答案为： ．
6．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，五边形 中， 分别是
， 的外角， ，那么 度．
【答案】
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查多边形的内角和和外角的综合应用，根据多边形的内角和定理，结合两直线平行，同旁
内角互补，以及平角的定义求出 的度数，进而求出 的度数即可．
【详解】解：∵五边形 ， ，
∴五边形的内角和为 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
7．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图， 是六边形 的四个外角，延长 交
于点H．若 ，则 的大小为 ．
【答案】 /44度
【知识点】正多边形的外角问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，多边形的外角和定理，掌握“三角形的内角和是 ”、“多
边形的外角和是 ”等知识点是解题的关键．
先利用多边形的外角和求出 的度数，再利用三角形的内角和定理得结论．
【详解】解： 多边形的外角和恒为 ，
即 ，∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
题型01 多边形内角和问题
例题：（24-25八年级上·云南临沧·期末）一个六边形的内角和等于 度．
【答案】720
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形的内角和公式；
根据n边形的内角和公式 进行计算即可．
【详解】解：六边形的内角和为 ，
故答案为：720．
【变式训练】
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个多边形的内角和为 ，则这个多边形的边数是 ．
【答案】8
【知识点】多边形内角和问题
【分析】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式： ．根据多边形
内角和定理： 可得方程 ，再解方程即可．
【详解】解：设多边形边数有 条，由题意得：
解得： ，
故答案为：8．
2．（2025·重庆·一模）若六边形的内角中有一个内角为 ，则其余五个内角之和为 ．
【答案】 / 度
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形的内角和性质，根据 算出六边形的内角和，再减去 ，即可得出
其余五个内角之和，即可作答．
【详解】解：依题意，六边形的内角和： ，
则其余五个内角之和 ，故答案为： ．
3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的
八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ．
【答案】
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．
根据多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：八边形的内角和为： ，
故选： ．
题型02 多边形对角线的条数问题
例题：（23-24八年级下·陕西西安·期末）八边形的内角和是 ，它共有条 对角
线．
【答案】 /1080度
【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题
【分析】本题考查多边形的内角和，对角线，熟练掌握各个运算公式是解题的关键．
根据多边形的内角和公式，对角线条数计算公式即可得到结果．
【详解】八边形的内角和是 ，它共有条 对角线．
故答案为： ，20
【变式训练】
1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）小宇用 计算一个多边形的内角和，则该多边形共
条对角线．
【答案】9
【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题
【分析】本题主要考查多边形内角与外角、多边形的对角线，熟记以上知识点是解题的关键．根据求多边
形的对角线公式进行作答即可．
【详解】解：
（条）．
故答案为：9．
2．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如果从一个 边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，那么这个 边形的内角和是 ．
【答案】
【知识点】多边形内角和问题、多边形对角线的条数问题
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，从一个 边形的一个顶点出发，最
多能引出 条对角线，据此可求出 ，再根据 边形的内角和是 进行求解即可．
【详解】解：∵从一个 边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，
∴ ，
∴ ，
∴这个 边形的内角和是 ，
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）从九边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，九边形
共有 条对角线，九边形的内角和为 ．
【答案】
【知识点】多边形内角和问题、多边形对角线的条数问题
【分析】本题考查九边形的对角线规律、九边形内角和等知识，根据多边形对角线定义，分析出一个顶点
引出的对角线，再由九边形每个顶点均满足同样的性质即可得到答案；再有多边形内角和定理即可求出九
边形内角和，熟记九边形对角线定义及对角线数量规律、多边形内角和定理是解决问题的关键．
【详解】解：对于九边形，共有9个顶点，由对角线定义可知，从九边形的一个顶点出发，除去这个点本
身及这个点左右相邻的两个顶点（共计3个顶点）不能构成对角线以外，剩余的6个顶点均可以与选中的
顶点连线构成对角线，则从九边形的一个顶点出发，可以引6条对角线；
从九边形的一个顶点出发，可以引出6条对角线，当不考虑重复情况时，9个顶点可以引出 条对
角线，若 是九边形的两个顶点，则从 顶点引出的一条对角线 必定与从 顶点引出的一条对角线
重合，从而确定九边形共有 条对角线；
由多边形内角和定理可知，九边形的内角和为 ，
故答案为： ．
题型03 多边形截角后的边数问题
例题：（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是
，则原来多边形的边数是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 或
【答案】D
【知识点】多边形截角后的内角和问题
【分析】先根据多边形的内角和公式 求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后
边数增加 ，不变，减少 讨论得解．【详解】解：设多边形截去一个角的边数为 ，
则 ，
解得 ，
多边形截去一个角后边数有增加 ，不变，减少 ，
原来多边形的边数是 或 或 ．
故选： ．
【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加 ，不变，
减少 三种情况．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和
的5倍，则原来多边形的边数是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13
【答案】D
【知识点】多边形截角后的内角和问题
【分析】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以
不变、增加或者减少．先根据多边形的内角和公式 求出截去一个角后的多边形的边数，再分情
况说明求得原来多边形的解．
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为 ，根据题意得：
又 截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1，
原多边形的边数为11或12或13．
故选：D．
2．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 ，那
么多边形的边数为
【答案】 、 、
【知识点】多边形内角和问题、多边形截角后的内角和问题
【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键；
设内角和为 的多边形的边数是 ，根据多边形内角和定理可以求出所得多边形的边数； 由于一个多
边形截去一个角后它的边数可能增加 、可能减少 或不变，由此确定原多边形的边数；
【详解】设内角和为 的多边形的边数是 ，
于是有 ，
解得 ，
∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1，
即原多边形的边数为 或 或 ；故答案为： 、 、
3．（23-24八年级上·湖北黄冈·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 ，
则原多边形的边数是 ．
【答案】15，16或17
【知识点】多边形截角后的内角和问题
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．
根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
【详解】解：设新多边形的边数为n，
则 ，
解得 ，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
所以多边形的边数可以为15，16或17．
故答案为：15，16或17．
题型04 多边形截角后的内角和问题
例题：（24-25八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的
多边形的内角和是（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
【答案】D
【知识点】多边形内角和问题、多边形截角后的内角和问题
【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据 边形内角和公式
得出多边形的内角和，即可解题．
【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是 或 或 ，
其中四边形内角和为 ，五边形内角和为 ，六边形内角和为 ，
得到的多边形的内角和是 或 或 ，
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角
和是（ ）A．14 B．23 C． 或 D． 或 或
【答案】D
【知识点】多边形截角后的内角和问题
【分析】本题考查了多边形的内角和，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题
的关键．
根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果．
【详解】如图所示：
多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原四边形变为三角形；
另一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是四边形；还有一种是从两
个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原四边形为五边形；
新的多边形的内角和可能是 ，或 ，或 ．
故选：D．
2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸
片的内角和为 ．
【答案】 或 或
【知识点】多边形截角后的内角和问题
【分析】由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形，由 边
形的内角和为 ，分别计算求解即可．
【详解】解：由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形，
∵ 边形的内角和为 ，
∴ ， ， ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了多边形截去一个角的内角和．解题的关键在于确定六边形纸片沿一条直线截下一个角
后，得到的多边形的种类．
3．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为
．
【答案】 或 或
【知识点】多边形截角后的内角和问题
【分析】根据剪去一个角后的多边形的边数有：增加1、减少1、不变三种情况求出边数，再根据多边形的
内角和公式列式计算即可得解．【详解】解：∵六边形截去一个角后的边数有增加1、减少1、不变三种情况，
∴新多边形的边数为7、5、6三种情况，
∴新多边形的内角和为 ，
，
，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，难点在于判断出剪去一个角后多边形的边数．
题型05 多边形外角和的实际应用
例题：（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成
是一个八边形，则这个八边形的外角和为 ．
【答案】 /360度
【知识点】多边形外角和的实际应用
【分析】本题考查多边形的外角和，根据n边形的外角和为 即可求解．
【详解】解：八边形的外角和为 ．
故答案为：
【变式训练】
1．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，小明从点A出发，沿直线前进 后向左转 ，再沿直线前
进 ，又向左转 ……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 米．
【答案】60
【知识点】多边形外角和的实际应用
【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，多边形的外角和为360度，而每次转60度，那么可以求出转
的次数，再根据每次转60米即可得到答案．
【详解】解： ，
，
∴一共走了60米，
故答案为：60．2．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转 ，再沿直线
前进15米，又向左转 ⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米．
【答案】300
【知识点】多边形外角和的实际应用
【分析】本题主要考查了多边形内角与外角，解题关键是理解小明每前进15米后向左转18°，当他第一次
回到出发地A地时，走的路程形成正多边形．
根据题意判断小明每前进15米后向左转 ，当他回到出发地A地时，走过的路程形成正多边形，然后根
据正多边形的外角和是 ，求出多边形的边数，从而求出答案即可．
【详解】解：由题意得：小明从A地出发，他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形，外角和
为 ，每个外角的度数是 ，
多边形的边数为： ，
∴一共走的路程为： （米），
故答案为：300．
∴
3．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图是某品牌的一款木工六角尺，它是一种多角度的测量工具，通
常用于木工和其他精细工艺中．此款六角尺各角上标的度数实际是这个角对应的外角大小，已经标出的五
个度数有 ，则未标度数的角处应填 ．
【答案】
【知识点】多边形外角和的实际应用
【分析】本题考查的是多边形的外角和的应用，根据多边形的外角和为 ，直接列式计算即可．
【详解】解：∵多边形的外角和为 ，
∴未标度数的角处应填： ；
故答案为：
题型06 多边形内角和与外角和综合例题：（23-24八年级下·上海·期末）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是
．
【答案】6
【知识点】多边形内角和与外角和综合
【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个正多边形的边数为n，则这个多边形的内角
和为 ，再根据多边形外角和为 ，结合题意建立方程求解即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得， ，
解得 ，
∴这个正多边形的边数是6，
故答案为：6．
【变式训练】
1．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则
的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查了正多边形的内角与周角、等腰三角形的性质，熟练掌握正八边形的内角和正五边形的
内角求法是解题的关键．根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义和等腰三角形性质可得结
论．
【详解】解：由题意得：正八边形的每个内角都等于 ，正五边形的每个内角都等于 ，
故 ，
，
．
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中
的部分图案．若 ，则 的度数为 ．【答案】 / 度
【知识点】多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键．
由多边形内角和定理得 ，整理得
，则 ，即可得出结论．
【详解】解：由图2可知， ，
整理得： ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）[传统文化]窗棂是中国传统木结构建筑的框架结构设计，窗棂上雕
刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．现有一造型独特的窗体设计如下图，已知 ，
，则 ．
【答案】 /80度
【知识点】多边形内角和与外角和综合
【分析】本题考查了多边形内角与外角．根据任意多边形的外角和是 进行计算，即可解答．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
题型07 平面镶嵌
例题：（2025·陕西榆林·三模）如图是某校数学兴趣小组活动室墙壁上的一幅图案的一部分，它是由边长
相等的正方形、正三角形和正n（ ）边形密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，则该正n边形一个内
角的度数为 °．【答案】150
【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题
【分析】本题主要考查了镶嵌和正多边形的内角，
根据正方形的每一个内角为 ，正三角形的每一个内角为 ，可知正n边形的一个内角的度数为
，可得答案．
【详解】解：正n边形的一个内角的度数 ．
故答案为：150．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意图．该平
面图形为具有公共顶点 且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除 处，其他均无缝
隙无重叠拼接），则图示中两个正六边形之间的缝隙 度．
【答案】12
【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题
【分析】本题考查了正多边形的内角问题，熟练掌握正多边形的内角问题是解题的关键．先由正多边形的
内角公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是 即可求出 的大小．
【详解】解： 正五边形的每个内角的度数为： ，
正六边形的每个内角的度数为： ，
，
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面
（即每个顶点上的各个角度数的和为 ）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做
“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为 的三个角依次为正方形、正八边
形、正八边形的各一个内角，可以用记号 表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密
铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可）【答案】 （答案不唯一）
【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题
【分析】本题考查正多边形的镶嵌，根据“半正密铺”图案的定义结合正三角形和正六边形的一个内角度
数，进行求解即可．
【详解】解：∵正三角形的一个内角的度数为： ，正六边形的一个度数为： ，
∵ ，
∴每个顶点上和为 的四个角依次为正三角形，正三角形，正六边形，正六边形的各一个内角，
∴用记号表示为： ；
故答案为： ．
3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、绘画图案等常常由一种或几种
形状相同的图形拼接而成，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．以下镶嵌图
形所用的平行四边形中最大内角为 ．
【答案】 /144度
【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题
【分析】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键；根据图形可知构成完整
一个图形是一个正十边形，进而根据正十边形的内角和可进行求解．
【详解】解：如图，
由图可知：多边形 是正十边形，且 即为所用平行四边形中最大内角，
∴ ；故答案为 ．
一、单选题
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个多边形的内角和可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形内角和，根据多边形内角和公式 ，逐项判断即可．
【详解】解：n边形的内角和可以表示成 ，
A． 不是 的整数倍，
∴一个多边形的内角和的度数不可能是 ，故A不符合题意；
B．∵ ，
∴6边形的内角和的度数是 ，故B符合题意；
C． 不是 的整数倍，
∴一个多边形的内角和的度数不可能是 ，故C不符合题意；
D． 不是 的整数倍，
∴一个多边形的内角和的度数不可能是 ，故D不符合题意．
故选：B．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个多边形的边数由5增加到n（n为整数， ），那么它的
外角和的大小将（ ）
A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定
【答案】A
【知识点】多边形外角和的实际应用
【分析】此题考查多边形的外角和性质，注意多边形外角和等于 ．利用多边形的外角和特征即可解决
问题．
【详解】解：∵多边形外角和为 ，
∴外角和的度数是不变的．即一个多边形的边数由5增加到n（n为整数， ），那么它的外角和的大小将不变，
故选：A．
3．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为
，原多边形的边数是（ ）．
A．8或9或10 B．7或8或9 C．6或7或8 D．5或6或7
【答案】B
【知识点】多边形内角和问题、多边形截角后的内角和问题
【分析】根据切后的内角和可以求出切后的多边形边数，然后又知一个多边形切去一个角可得到的多边形
有三种可能，分别是比原边数少1，相等，多1．所以可求得原多边形边数．
【详解】解：设切去一角后的多边形为n边形．根据题意得：
．
解得∶ ．
因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，
所以原多边形的边数可能为7、8或9．
故选：B
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和问题，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
4．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点B是正八边形的边 上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射
后到达边 上一点E，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正多边形的内角问题、多边形内角和问题
【分析】本题考查了正多边形的内角和、多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．设题
中的正八边形为正八边形 ，过点 作 于点 ，先求出正八边形的每个内角的度数，再
根据五边形的内角和可得 的度数，从而可得 的度数，同理可得 的度数，最后根
据五边形的内角和求解即可得．
【详解】解：如图，设题中的正八边形为正八边形 ，过点 作 于点 ，∵八边形 为正八边形，
∴正八边形 的每个内角为 ，
∵ ，
∴在五边形 中， ，
由入射角等于反射角得： ，
∴ ，即 ，
∴在五边形 中， ，
同理可得： ，
∴在五边形 中， ，
故选：A．
5．（24-25九年级下·广东茂名·期中）八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地
间的和谐，寓意四面八方的吉祥．如图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了
艺术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，连接 、 交于点 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边对等角、正多边形的内角问题
【分析】本题考查了正多边形的内角，等腰三角形的性质等知识，利用多边形的内角和及正多边形的性质
求得 ， 的度数，再根据等腰三角形的性质求得 ， 的度数，然后利用三角形的
内角和求得 的度数，继而得出答案．
【详解】解： 多边形 是正八边形，
， ，，
，
故选：A．
二、填空题
6．（22-23八年级下·西藏拉萨·期末）一个多边形的内角和等于 ，它是 边形．
【答案】九
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形的内角内角和定理，利用了多边形的内角和公式．根据多边形的内角和公式，
可得方程，解方程，可得答案．
【详解】解：设多边形是 边形，由内角和公式，得
．
解得 ，
故答案为：九．
7．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）一个正多边形的一个外角为 ，则此正多边形的边数为 ．
【答案】9
【知识点】正多边形的外角问题
【分析】本题考查正多边形的外角，根据正多边形的每个外角的度数相等，且外角和为360度，进行求解
即可．
【详解】解： ；
故答案为：9．
8．（22-23八年级下·山东枣庄·期末）一个长方形切去一个角后，形成另一多边形的内角和为 ．
【答案】 或 或
【知识点】多边形截角后的内角和问题
【分析】根据直线不同位置，得出不同的情况，从而得出答案．
【详解】解：将一个长方形切去一个角后，
可得如图三类图形，即五边形，四边形和三角形，
则内角和分别为 ， ， ，
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了多边形内角和，角的意义以及分类讨论思想，主要考查学生的画图能力和理解能力，
题目比较典型，是一道比较容易出错的题目．
9．（24-25九年级下·上海·阶段练习）将一副直角三角尺如图所示摆放，其中等腰直角三角形（图中阴部分）的一个锐角顶点在另一个三角形内，含 角的直角三角形的 角的顶点在等腰直角三角形内，那么
图中角 和 之间的数量关系是 ．
【答案】
【知识点】三角板中角度计算问题、多边形内角和问题
【分析】本题考查三角板中角度计算问题，两个三角形重叠部分为四边形，根据四边形内角和为360度列
式求解即可．
【详解】解：如图，
由题意知， ， ， ， ，
，
，
，
故答案为： ．
10．（24-25七年级下·全国·课后作业） 风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统
建筑屋檐下（如图1）．如图2，是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形 ，连结
， ，已知 ，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【知识点】多边形内角和问题、三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的内角问题
【分析】本题主要考查了正多边形的性质，内角和的公式，直角三角形的性质，熟练掌握正多边形的性质
是解题的关键．根据正六边形的性质求出 ，求出 ，
即可得到答案．【详解】解：在正六边形 中， ．
，
，
， ，
在 中， ，
，
．
故答案为：
三、解答题
11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知两个多边形的边数之比为 ，内角和的度数之比为 ，试求
这两个多边形的边数．
【答案】4和8
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形的内角和定理，熟记多边形的内角和是解决本题的关键．设多边形的边数为 ,
则另一个为 ,分别表示出两个多边形的内角和得到有关 的方程求解即可．
【详解】解：设这两个多边形的边数分别是 和 （ 是正整数 ．根据题意，得
，
．
解得 ．
所以这两个多边形的边数分别为4和8
12．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个多边形的边数为n．
(1)若 ，求这个多边形的内角和；
(2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多 ，求这个多边形的边数．
【答案】(1)
(2)12
【知识点】多边形内角和问题、多边形内角和与外角和综合、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，多边形的外角和的应用；
（1）直接利用多边形的内角和定理求解即可；
（2）设这个多边形的每个外角为 ，则每个内角为 ，可得 ，求解 ，再结合外
角和可得答案．
【详解】（1）解：当 时，
多边形的内角和 ；（2）解：设这个多边形的每个外角为 ，则每个内角为 ，
由题意，得 ，
解得 ，
．
13．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于 ，
(1)求这个多边形的边数及对角线的条数；
(2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______．
【答案】(1)边数是12，对角线的条数是54
(2) 或 或
【知识点】多边形截角后的内角和问题、多边形内角和与外角和综合、多边形对角线的条数问题
【分析】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为 ．
（1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为 ，外角和是 ，因而内角和是 ． 边形的内
角和是 ，代入就得到一个关于 的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条
数．
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角
和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案．
【详解】（1）解：设这个多边形的边数为 ，
，
解得： ；
对角线的条数为： ；
所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54；
（2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，分以下三
种情况：
当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为 ，
内角和 ；
当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为12，
内角和 ；
当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为 ，
内角和 ；
综上所述：当新多边形有13条边时内角和为 ，12条边时内角和为 ，11条边时内角和为 ．
故答案为： 或 或 ．
14．（24-25八年级下·广西贵港·期中）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题．(1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？
(2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度．
(3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点 ， ， ， 四点在同一条直
线上， 为公共顶点，试求 的度数．
【答案】(1)①20；②小东求的是8边形内角和；
(2)这个正多边形的一个内角是 ；
(3)
【知识点】三角形内角和定理的应用、正多边形的内角问题
【分析】本题考查了多边形的内角和定理．
（1）①由题意知，多边形的内角和为 ，是 的整数倍，用 ，得到的余数即为多
加的锐角的度数；②由题意知， ，计算求解即可；
（2）根据这个正多边形的一个内角是 ，计算求解即可；
（3）根据多边形的内角和，分别得出 ， ，再根据三角形的内角和算
出 ，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为 ，是 的整数倍，
，
∴这个“多加的锐角”是 ，
故答案为：20；
由题意知， ，
解得， ，
∴小东求的是8边形内角和；
（2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是 ，
∴这个正多边形的一个内角是 ；
（3）解：由多边形的内角和可得，
，
，
，，
由三角形的内角和得：
，
．
15．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内
角和．
【发现】
（1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼
成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________ ．
【尝试】
（2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确．
如图2，已知 ，分别用 ， ， 表示 的三个内角，说明
解：如图2，画 的边 的延长线 ，过点C画
因为 ，
所以___________① ___________ ，
___________② ___________
因为 ___________③+___________④
所以
【拓展】
（3）如图3，请在六边形 中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形 被分成了
___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________
【答案】（1）平，180；（2） ， 两直线平行，内错角相等， ，两直线平行，同位角相等， ，
；（3）4，720
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、多边形内角和与外角和综合、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的对角线，多边形的内角与
外角，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
利用平角的性质解决问题即可；
利用平行线的性质平角的性质，解决问题即可；利用三角形内角和定理解决问题即可．
【详解】解： 如图1中，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下的结论：三角形的内角和等于
故答案为：平，180；
如图2，画 的边 的延长线 ，过点C画
因为 ，
所以 两直线平行，内错角相等 ，
两直线平行，同位角相等 ，
因为
所以
故答案为： ，两直线平行，内错角相等， ，两直线平行，同位角相等， ， ；
如图3中，连接 ， ， 此时六边形 被分成了4个三角形，六边形的内角和
．
故答案为：4， ．
16．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用
各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既
不留一丝空隙，又不互相重叠（在数学上叫做平面镶嵌）．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在
一起恰好组成一个周角 时，就拼成了一个平面图形．
(1)请你根据图中的图形，填写表中空格；
(2)如果选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形吗？说明理由．
正多边形边数 3 4 5 … n
正多边形每个内角的度
…
数
【答案】(1)(2)能，理由见解析
【知识点】平面镶嵌
【分析】本题主要考查正多边形内角的度数；
（1）根据题意，得出正多边形每个内角的度数为 即可；
（2）先求出正六边形内角的度数，再求多边形的内角加在一起能否组成一个周角即可．
【详解】（1）解：根据题意，正多边形每个内角的度数为：
（2）解：正六边形内角的度数：
∴3个正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形；
∴选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形．
17．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【阅读理解】
【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地
铺成一片，叫做平面图形的镶嵌．
【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样
形状的材料能铺成平整、无空隙的地面．
(1)像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？
(2)现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同
时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
(3)【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五
边形，则第三个正多边形的边数是多少？
【答案】(1)不能，见解析
(2)B
(3)10
【知识点】正多边形的内角问题、平面镶嵌
【分析】本题考查平面图形镶嵌知识，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式，结合拼接点处内角和为
判断能否镶嵌 ．
（1）先利用多边形内角和公式求出正五边形每个内角为 ，再依据平面镶嵌时拼接点处内角和需为
，判断 能否被 整除，得出结论．（2）分别求出正三角形、正方形、正六边形、正八边形的内角度数，然后对四种地砖两两组合，计算在
拼接点处内角和能否为 ，能则可密铺，统计可密铺的组合方式数量．
（3）先根据正五边形内角和公式算出其内角为 ，由拼接点内角和 求出第三个正多边形内角为
，再通过内角与边数关系公式算出边数．
【详解】（1）解：不能，因为正五边形的每个内角均为 ，需进行平面镶嵌，内角拼接的度数之和为
，而不能被 整除．所以不能全用正五边形的材料地砖密铺地面．
（2）解：①正三角形、正方形，
，
可以铺满；
②正三角形、正六边形，
，
可以铺满；
③正三角形、正八边形，不能构成 的周角，
不能铺满；
④正方形、正六边形，不能构成 的周角，
不能铺满；
⑤正方形、正八边形，每个内角的度数为
，
可以铺满；
⑥正六边形、正八边形，不能构成 的周角，
不能铺满．
选择的方式有 种．
故选：B；
（3）解：设第三个正多边形的内角为 ，
正五边形的内角为 ，
，
，
正多边形的边数为 ，即第三个正多边形的边数为10．
18．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，易证明： ．应用这个结论解决问题：(1)如图②，在“五角星”形中，求 ．
分析：在图形 中，根据（1）可得 ，所以
_______．
(2)如图③，在“七角星”形中，求 ．
(3)如图④，在“八角星”形中，可以求得 _______．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、多边形内角和问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键．
（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案；
（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案．
（3）根据三角形外角的性质把8个角转化到一个四边形中可得答案．
【详解】（1）解：如图，
由三角形外角的性质可得， ， ， ，
．
（2）解：如图，
由三角形外角的性质可得 ， ， ，
，
，．
（3）解：如图，
由三角形外角的性质可得， ， ， ，
，
， ．
