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第 03 讲 三角形的中位线(5 类热点题型讲练)
1．掌握中位线的定义以及中位线定理；(重点)
2．综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题．(难点)
知识点01 三角形的中位线定理
（1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）
（2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点 D、E分
别为AB、AC的中点， .
题型01 与三角形中位线有关的求解问题
【例题】（2023·吉林白城·模拟预测）如图，在 中， ，点 ， ， 分别是
、 、 的中点，连接 、 ，则四边形 的周长为 ．【答案】9
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形中位线定理分别求出 、 ，根据线段中点的概念分别求出 、 ，计算即可．
【详解】解： 点 ， ， 分别是 、 、 的中点， ， ， ，
、 是 的中位线， ， ，
， ，
四边形 的周长为： ，
故答案为：9．
【变式训练】
1．（2024·山东淄博·一模）如图，在 中， ， ， ，E，F分别为边 上的
点，M，N分别为 的中点．若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】连接 ，过A作 交 延长线于G，连接 ，证明 ， ，
，利用勾股定理的逆定理得出 ，进而可得出 ，利用勾股定理求出 ，然
后利用三角形的中位线定理求解即可．
【详解】解：连接 ，过A作 交 延长线于G，连接 ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又 ，
∴ ，
∵M为 中点， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理与逆定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，添加合
适辅助线，构造三角形中位线是解题的关键．
2．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习） 中， ， ， 分别是其角平分线和中
线，过点C作 于F，交 于G，连接 ，则线段 的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，证明 是关键．
首先证明 ，则 ，证明 是 的中位线，利用三角形的中
位线定理即可求解．
【详解】解：∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ 于F，
∴ °，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的中线，
∴ ，∴ 是 的中位线，
∴ ．
故答案为：2．
题型02 三角形中位线与三角形面积问题
【例题】（22-23九年级上·福建泉州·期末）如图，在 中，点 分别是 的中点，若四边形
的面积是 ，则 的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】先根据点 分别是 的中点，证得 ，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵点 分别是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，解得 ，
故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·广西钦州·阶段练习）如图所示，已知 的面积为 ，连接 三边的中点构成
第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形， ，依此类推，第 个三角形的面
积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的面积 ，同理第三个三角形的面积
，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：如图：过点A作 于G，交 于H，则 ，
、E、F分别为 、 、 的中点，
、 、 分别为 的中位线，
， ， ， ，
， ，
，
同理：第三个三角形的面积= ，
第四个三角形的面积 第三个三角形面积 ，
……，
∴第2013个三角形的面积为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，找出规律是解题的关键．2．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）如图， 是 的中位线，M是 的中点， 的延长线交 于
N，那么 ， ．
【答案】
【分析】利用 是中位线，M是 的中点，根据各边关系可以求出结果；把各边关系转换为面积的关
系来解答即可．
【详解】解： 是中位线，M是 中点，
，
，
，
是中位线，
，
，
连接 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ； ．【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．
题型03 三角形中位线的实际应用
【例题】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，如果要测量池塘两端 、 的距离，可以在池塘外
取一点 ，连接 ， ，点 、 分别是 ， 的中点，测得 的长为 米，则 的长为
米．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解题的关键是掌握“三角形的中位线平行于第三边，且等于第
三边的一半” ．根据三角形的中位线定理，即可求解．
【详解】解： 点 、 分别是 ， 的中点，
是 的中位线．
（米）．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，要测定被池塘隔开的 ， 两点的距离．可以在 外选
一点 连接 ， ，并分别找出它们的中点 ， ，连接 ．现测得 ，则 ．
【答案】 /48米
【分析】本题考查了三角形的中位线，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据中位线的性质求解即可．
【详解】解：点 ， 分别是 ， 的中点， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故答案为 ．
2．（23-24八年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测
量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点
C，找到 ， 的中点D，E，并且测出 的长为 ，则A，B间的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的
一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵点D，E是 ， 的中点， ，
∴ ，
故答案为： ．
题型04 与三角形中位线有关的证明
【例题】（23-24八年级下·全国·课后作业）已知在 中， ， 为 中点， 为 边
的中线且 ，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】
（1）由三角形中线性质得到 ，再由等腰三角形性质、三角形外角的性质及等腰三角
形性质得 ，可得结论；
（2）先由中位线的判定与性质得到 ，再由 是等边三角形，确定含 的直角三角形
，结合含 的直角三角形及勾股定理求出 三边的边长，即可得结论．
【详解】（1）
证明： 为 边的中线且 ，
，
，
， ，
，
，
，
；
（2）
解： 为 中点， 为 边的中线，
为 的中位线，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
， ，
的周长 ．
【点睛】
本题考查三角形的周长、等腰三角形判定与性质、等边三角形判定与性质、含 的直角三角形性质、三
角形的中线、中位线、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关几何基础知识．
【变式训练】1．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在 中， 平分 ， 于点E，点F是
的中点．
(1)如图1， 的延长线与 边相交于点D，求证： ；
(2)如图 2，探究线段 之间的数量关系，直接写出你的结论： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
本题考查三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识．
（1）先证明 ，根据等腰三角形的三线合一，推出 ，根据三角形的中位线定理即可解决
问题．
（2）先证明 ，根据等腰三角形的三线合一，推出 ，根据三角形的中位线定理即可解决
问题．
【详解】（1）
证明：如图1中，
平分 ， 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 是等腰三角形，
∵ ，
，
，．
（2）
解：结论： ，
理由：如图2中，延长 交 的延长线于 ．
，
，
， ，
，
，
，
，
为 的中点，
，
点 为 的中点，
，
；
故答案为： ．
2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知：在 中， ， ， 是 边上的动点，
将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．
(1)如图1，当点 在线段 上时，求证： 是 的中点；
(2)如图2，连接 ，取线段 的中点 ，连接 ，直接写出 的大小并证明；
(3)若 是 的中点， ，直接写出 的最小值为______．【答案】(1)证明见解析
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】（1）证明 是等边三角形，得到 ，进而证明 ，由三线
合一定理即可证明结论；
（2）如图所示，延长 到G，使得 ，连接 ，同（1）可证明 是等边三角形，则
， ，证明 ，得到 ，再证明 为 的中位线，
得到 ，则 ，即可得到 ；
（3）如图所示，连接 ，由三线合一定理得到 ，进而求出
，证明 是等边三角形，推出 ，则点E在直线 上
运动；设直线 交 于T，过点F作 垂直于直线 于H，则 ， ，
求出 即可得到答案．
【详解】（1）证明：由旋转的性质可得 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是 的中点；
（2）解： ，证明如下：
如图所示，延长 到G，使得 ，连接 ，
同（1）可证明 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵点M为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图所示，连接 ，
∵点F是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴点E在直线 上运动，
设直线 交 于T，过点F作 垂直于直线 于H，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由垂线段最短可知，当点E运动到点H，即 时， 有最小值，最小值为 ，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股
定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理等等，证明点E的运动轨迹是直线是解题的关键．
题型05 平行四边形与中位线综合问题
【例题】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在 中， 于点D，E、F分别是 、
的中点，O是 的中点， 的延长线交线段 于点G，连接 、 、 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当 ， 时， 的长为______．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握
平行四边形的判定是解题的关键．
(1)由三角形中位线定理得 ，则 ，再证 得 ，然后
由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)解直角三角形求出 ，可得结论．
【详解】（1） E、F分别是 、 的中点，
是 的中位线，
，
，
O是 的中点，
，在 和 中，
，
，
四边形 是平行四边形．
（2）
在 中， ， ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
．
【变式训练】
1．（23-24九年级下·江西宜春·开学考试）如图， 是 的中位线，延长 至点 ，使
，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ，试判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) 为直角三角形，理由见解析
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得 ， ，求出 ，根据平行四边形的判定
可得结论；
（2）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出 ，可得 ，，然后利用三角形内角和定理求出 即可．
【详解】（1）证明： 是 的中位线，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 为直角三角形；
理由： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
是 的中位线，
．
，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
为直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟
练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
2．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，点E为平行四边形 的边 上的一点，连接 并延长，使
，连接 并延长，使 ，连接 ， 为 的中点，连接 ， ．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)求证：四边形 为平行四边形；
(3)连接 ，交 于点O，若 ， ，直接写出 的长度．
【答案】(1)
(2)见解析(3)
【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的
判定与性质是解决问题的关键．
（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得 ， ， ，再证 是 的中位线，得
， ，证出 ， ，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（3）连接 ， ， ，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）解： 四边形 为平行四边形，
， ，
，
，
；
（2）证明： 四边形 为平行四边形，
， ， ，
， ，
是 的中位线，
， ，
为 的中点，
，
， ，
， ，
四边形 为平行四边形；
（3）如图，连接 ， ， ，
， ，
， ，，
，
四边形 为平行四边形，
， ，
，
，
，
．
一、单选题
1．（2024·陕西咸阳·一模）如图，点D，E分别是 ， 的中点， 的平分线 交 于点F，
， ，则 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，平行线的性质，等角对等边，掌握三角形中位线平行于第三边，
且等于第三边是解题关键．
首先利用中点定义和中位线定理得到 ， ,利用平行线的性质和角平分线
的定义得到 ，推出 ，根据 可得 的长．
【详解】 点 、 分别是边 、 的中点， ， ，
， ，
，
平分 ，，
，
，
，
故选：B．
2．（23-24八年级下·重庆巴南·阶段练习）如图，在平行四边形 中，对角线 和 交于O点，点
E是 的中点，若 ， ， ，则 的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理．由平行四边形的性质求得 ，利
用三角形中位线定理求得 ，据此求解即可．
【详解】解：∵平行四边形 中，对角线 和 交于O点，
∴ ，
∵点E是 的中点，
∴ ， ，
∴ 的周长是 ，
故选：D．
3．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习） 中，E是 的中点， 平分 ， 于点
D，若 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长 交 于F，证明
，得到 ，结合中位线定理，得到，代入计算即可．．
【详解】解：如图，延长 交 于F，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∵ ，
∴
∴ ，
∵E是 的中点，，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
故选：B．
4．（2024八年级下·全国·专题练习）如图， 、 是 的中线，P、Q分别是 、 的中点，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了全等三角形，三角形中位线．熟练掌握掌握三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，是解答此题的关键．
连接 ，连接并延长 交 于点F，利用 是 中位线，推出 ，再用 是 中
位线， ，即可求得答案．
【详解】连接 ，连接并延长 交 于点F，
∵ 、 是 的中线，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵Q是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
5．（2024·山东菏泽·一模）如图， 称为第1个三角形，它的周长是1，以它的三边中点为顶点组成
第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，以此类推，则第2024个三角形的
周长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，找出每一个新的三角形周长是上一个三角
形周长的 是解决问题的关键．
【详解】解： 周长为1，
∵每条中位线均为其对边的长度的 ，
∴第2个三角形对应周长为 ；
第3个三角形对应的周长为 ；
第4个三角形对应的周长为 ；
…
以此类推，第n个三角形对应的周长为 ；
∴第2024个三角形对应的周长为 ，即 ，
故选：B．
二、填空题
6．（2024·湖南衡阳·一模）如图，在 中，点D、E分别是 的中点，若 ，则
．
【答案】6
【分析】由点D、E分别是 的中点，得到 是 的中位线，进而得到 ，即可求解，本题考查了三角形中位线的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握三角形的中位线．
【详解】解：∵点D、E分别是 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
7．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在 中，点 、 分别是 、 的中点，连接 ，若
， ， ，则 的周长是 ．
【答案】24
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边
的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出 ，根据线段垂直平分线的性质求出 ，根据勾股定
理求出 ，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解： 点 、 分别是 、 的中点， ，
，
是 的中点， ，
，
在 中， ，
的周长 ，
故答案为：24．
8．（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平行四边形 中， ，E为 上一动点，M，N分别为
的中点，则 的长为 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理．首先由平行四边形的对边相等的性质求
得 ；然后利用三角形中位线定理求得 ．
【详解】解：如图，在平行四边形 中， ．
， 分别为 ， 的中点，是 的中位线，
∴ ．
故答案为：9．
9．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， ，点H，G分别是边
上的动点，连接 ，点E为 的中点，点F为 的中点，连接 ，则 的最大值与
最小值的差为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理．连接 利用三角
形中位线定理是关键．连接 ，过A作 于M；由题意得 ，则可求得 的长，
从而由勾股定理求得 ；由三角形中位线定理得 ，当G与C重合时， 最长；当G与M重
合时， 最短，从而可求得 的最大值与最小值的差．
【详解】解：如图，连接 ，过A作 于M；
则 ；
∵四边形 是平行四边形，且 ，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
由勾股定理得 ；∵点 为 的中点，点 为 的中点，
∴ ；
当G与C重合时， 最长且为 ，此时 ；
当G与M重合时， 最短且为 ，此时 ；
∴ 的最大值与最小值的差为 ．
故答案为： ．
10．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在△ABC中， ， ， ．在平面内
将 平移 得到 ，其中点A和点B的对应点分别为点D和点E．若点P，Q分别是AC，DE
的中点，则 的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查平移的性质，三角形三边的关系，等腰直角三角形，三角形中位线定理．作 于
，取 中点 ，连接 ， ，由等腰直角三角形的性质得到 ，求出
，由勾股定理求出 ，由三角形中位线定理求出 ，由平移的性质
得到 ，由三角形的三边关系得到 ，即可求出 的最大值是 ．
【详解】解：作 于 ，取 中点 ，连接 ， ，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
、 分别是 、 中点，
是 的中位线，
，
由平移的性质得到 ，
，
的最大值是 ．
故答案为： ．
三、解答题
11．（2024八年级下·全国·专题练习）如图， 中， ， ， 平分 ， ，
延长 交 于点 ， 是 的中点，求 的长．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的中位线定理．根据 平分 ，
，运用 易证明 ．根据全等三角形的性质，得 ， ，从而在
中，根据三角形的中位线定理就可求解．
【详解】解： ，
，
又 平分 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，又 是 的中点，
，
是 的中位线，
．
12．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图1，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地
面上选一点C，连接 ， 分别取 ， 的中点D、E．
(1)测得 的长为 ，则A、B两地的距离为_______ ．
(2)如图2，在四边形 中， ，点E、F分别是 和 的中点， 求 的长
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是三角形中位线定理的含义，全等三角形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于
第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
（1）证明 为 的中位线，利用三角形的中位线的性质可得答案；
（2）如图，取 的中点 ，连接 ，连接 ，并延长 交 于 ，证明 ，可得
，证明 三点共线，再利用三角形的中位线的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵ ， 的中点为D、E．
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）如图，取 的中点 ，连接 ，连接 ，并延长 交 于 ，
∵点E是 的中点，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点H、F分别是 和 的中点， ，
∴ ， ，
∴ 三点共线，
∵点H、E分别是 和 的中点， ，
∴ ，
∴ ．
13．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如图， ， ， ， 分别是 ， ， ， 的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ， ，求四边形 的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，勾股定理：
（1）由三角形中位线定理证明 ，即可证明四边形 是平行四边形；
（2）先利用勾股定理得到 ，再由三角形中位线定理得到 ，
，由此根据四边形周长计算公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
同理可得 ，
∵ ，
∴四边形 的周长 ．
14．（23-24八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，在 中， ， 于点D，点E在
边上，且 ， 分别交 于点E、F．
(1)如图1，若 ， ，求 的长；
(2)如图1，若 ，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，若 ，求证： ．
【答案】(1)7
(2) ，理由见解析
(3)见解析【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得 ，由勾股定理计算可得 的长，由等腰直角三
角形性质得 ，最后由线段的差可得结论；
（2）取 的中点G，连接 ，利用等腰三角形三线合一，得到 点为 中点，由三角形中位线定理
得到 ，进而得到 ， ，易证 ，即可得出结论；
（3）在 上取点 ，使得 ，连接 、 ，证明 ，由全等三角形的性质
得出 ， ，证出 ，由勾股定理可得出结论．
【详解】（1）解： ， ，
，
，
，
中， ，
，
中， ，
是等腰直角三角形，
，
；
（2） ，理由如下：
证明：取 的中点G，连接 ，
， ，
，
点为 中点，
点G是 的中点，
是 的中位线，
，
，
， ，
，
在 和 中，，
，
；
（3）证明：在 上取点 ，使得 ，连接 、 ，
， ，
，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
；
∵ ， ，
，
中，由勾股定理得： ，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰直
角三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
15．（2024·河南周口·一模）如图1，在 中， 点 ， 分别在边 ， 上，
，连接 ，点 分别为 的中点．
(1)观察猜想图1中，线段 与 的数量关系是 ， 的度数为 ；
(2)探究证明
把 绕点 逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ， ， ，判断 的形状，并说明理；
(3)拓展延伸
把 绕点 在平面内自由旋转，若 ，请直接写出 面积的最大值．
【答案】(1) ， (或60)；
(2) 是等边三角形．.理由见解析；
(3)
【分析】（1）利用三角形的中位线得出 ， ，进而判断出 ，即可得出结论，
再利用三角形的中位线得出 、 得出 、 ，由三角形内角
和定理得到 ，最后即可得出结论；
（2）先判断出 ，得出 ，同（1）的方法得出 ， ，
， ，即可得出 ，同（1）的方法得到 ，即可得出结论；
（3）先判断出 最大时， 的面积最大，而 最大是 ，即可得出结论．
【详解】（1）解： 点F，H分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
点H、G是 ， 的中点，
∴ ， ，
∵ ， ，
，
∴ ，
∵ ，
，
∵ ，
，
，
，
，
故答案为： ， ；
（2）解： 是等边三角形．理由如下：由旋转知， ，
∵ ， ，
，
， ，
利用三角形的中位线得， ， ， ， ，
， ， ，
∴ 是等腰三角形，
，
，
，
，
，
∴ 是等边三角形；
（3）由（2）知， 是等边三角形， ，
最大时， 面积最大，
点 在 的延长线上时， 最大，
，
，
．
【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，旋转的性质、等边三角形的判定和
性质，全等三角形的判定和性质综合运用；解（1）的关键是判断出 ， ，解（2）的
关键是判断出 ，解（3）的关键是判断出 最大时， 的面积最大．
16．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）【问题初探】
（1）李老师给出如下问题： 中， ，且 ，点 是 的中点，点 为对角线
上的点，且 ，连接线段 ．若 ，求 的长．小鹏同学考虑到点 是 的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以
想到连接 与 交于点 ．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题．
【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答．
（2）如图3， 中， 平分 于 ．求证： ；
【学以致用】
（3）如图4，在 ， 点在 上， 分别是 的中点，连结 并延长，
与 的延长线交于点 ，连结 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【分析】（1）连接 ，交 于点 ，易得 ，勾股定理求出 的长，即可；
（2）延长 交 的延长线于点 ，先证明 ，得到 ，取 的中点 ，连接
，利用中位线定理，得到 ，且 ，证明 ，得到 即可得出
结论；
（3）连接 ，取 中点 ，连接 ，利用中位线定理，得到 是等边三角形， 是等
边三角形，设 ，进而利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出 的值，进一步求解即可．
【详解】（1）连接 ，交 于点 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
∴ ；
（2）如图1， 延长 交 的延长线于点 ，
平分∴ ，
又 ，
∴ ，
，
取 的中点 ，连接 ，则有 ，且 ，
∴ ，
，在 和 中， ，
，
，
；
（3）连接 ，取 中点 ，连接 ，
分别为 和 中点，
和 分别为 和 的中位线，
且 且 ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
设 ，则 ，在 中，由勾股定理得， ，解得 ，
即 ．
，
．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判
定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是构造中位线．
