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第 02 讲 平行四边形的判定
课程标准 学习目标
1．掌握平行四边形的判定定理；(重点)
①平行四边形的判定 2．综合运用平行四边形的性质与判定定理1、2解决问题．(难
点)
知识点01 平行四边形的判定定理
平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：
（1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC.
（2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC.
（3）判定方法 3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即 AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC.
（4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC.
（5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO.
注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；
②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边
相等，是无法判定为平行四边形的.
【即学即练1】
1．（24-25八年级上·山东济宁·期末）在四边形 中，对角线 与 相交于O点，给出五组条件：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ；
（5） ， ．
能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】判断能否构成平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形判定定理分别进行判断得出即可．
【详解】解：（1）由“ ， ”可知，四边形 的一组对边平行，另一组对边相等，
据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
（2）由“ ， ”可知，四边形 的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平
行四边形，故本选项符合题意；
（3）由“ ， ”可知，四边形 的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，
故本选项符合题意；
（4）由“ ， ”可知，四边形 的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，
故本选项符合题意；
（5）由“ ， ．”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故
本选项符合题意；
故选：B．
2．（24-25九年级上·河南郑州·期末）综合实践课上，李海画出 ，利用尺规作图找一点 ，使得四
边形 为平行四边形．图 图③是他的作图过程．李海的作法中，可直接判定四边形 是平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
【答案】C
【知识点】证明四边形是平行四边形、作垂线(尺规作图)
【分析】本题考直了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．根
据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断．
【详解】解：根据图1，得出 的中点 ，图2，得出 ，
可知使得对角线互相平分，从而得出四边形 为平行四边形，
判定四边形 为平行四边形的条件是：对角线互相平分，
故选：C．
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形 中，若 ，且 ，则四边形
是 ，理由是 ．
【答案】 平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【知识点】证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题关键是熟记一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【详解】解：在四边形 中，若 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
理由是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
故答案为：平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
4．（24-25八年级下·上海·期中）已知：如图， 沿射线 平移后得 ， ，若
的面积为S，则四边形 的面积为 ．（用含S的代数式表示）【答案】
【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、利用平移的性质求解
【分析】该题考查了平移的性质，平行四边形的性质和判定，设 ，则 ， 的高为 ，
表示出 ，即 ，根据平移的性质说明四边形 是平行四边形，根据
求解即可．
【详解】解：设 ，则 ， 的高为 ，
则 ，即 ，
根据平移的性质得 ， 和 的高都为 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
故答案为： ．
5．（2025·浙江舟山·一模）已知：在 中， ， ， ，点D，E分别是 ，
的中点， ，交 的延长线于 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)求四边形 的周长和面积．
【答案】(1)见解析
(2)四边形 的周长和面积分别为20和
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形
【分析】 由于 ，从而易证 ，所以 ，从而可证四边形 是平
行四边形；
由平行四边形的性质得， ，四边形 的周长 ，又因为 ，所
以 ，所以 ，再根据勾股定理及直角三角形的性质求出平行四边形的周长．
本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理
等知识，综合程度较高．
【详解】（1）证明： ，
，
点E是 的中点，，
在 与 中，
，
故
，
点D是 的中点，
，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 四边形 是平行四边形，
，四边形 的周长 ，
又 ，
，
，
， ， ，
， ，
，
，点D是 的中点，
，
四边形 的周长
6．（24-25八年级下·河南安阳·期中）如图，在 中， 平分 交对角线 于点E， 平分
交对角线 于点F，连接 、 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)求证：四边形 为平行四边形．
【答案】(1)80°
(2)详见解析
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题
关键．
（1）根据角平分线的定义 ，再根据平行四边形的性质求解即可；
（2）根据平行四边形的性质证明 ，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形．
题型01 判断能否构成平行四边形
例题：（24-25八年级下·四川广元·期中）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【知识点】判断能否构成平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形常见的判定方法是解题的关键．根据平行四
边形的判定方法（①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤
有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）逐项判断即得答案．
【详解】解：A、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、根据 ， ，不一定能推出四边形 是平行四边形，故本选项符合题意；
C、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·山东德州·期中）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断能否构成平行四边形
【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题
意；
D、根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（24-25八年级下·广东·期中）如图，在四边形 中，下列条件能判断它是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】判断能否构成平行四边形
【分析】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，平行四边形的判定定理①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四
边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，依此判断即可．
【详解】解：A、根据 ， ，得出四边形 是平行四边形，故本选项正确；
B、根据 ， 不能判断四边形 是平行四边形，故本选项错误；
C、根据 ， ，不能判断四边形 是平行四边形，故本选项错误；
D、根据 ， 不能判断四边形 是平行四边形，故本选项错误；
故选：A．
3．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，在四边形 中，对角线 和 相交于点O，下列条件
不能判断四边形 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【知识点】判断能否构成平行四边形、证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、∵ ，
∴四边形 是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵ ， ，
∴四边形 不一定是平行四边形，故该选项符合题意；
故选：D．
题型02 添一个条件成为平行四边形
例题：（2025八年级下·全国·专题练习）在四边形 中， ，要使四边形 是平行四边形，
你可以添加的一个条件是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】添一个条件成为平行四边形
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组
对边分别相等的四边形是平行四边形求解即可．【详解】解：添加条件 ，证明如下：
∵在四边形 中， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
故答案为： （答案不唯一）．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，其中
是 的中点，添加一个条件： ，使四边形 是平行四边形．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】添一个条件成为平行四边形
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定．根据对角线相互平分的四边形是平行四边形进行解答．
【详解】解：添加 ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
故答案为： （答案不唯一）．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形 中，若 ，在不添加任何辅助线的情况
下，请你添加一个条件 ，使四边形 是平行四边形．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】添一个条件成为平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定
方法即可得出结论．
【详解】解：添加条件 ，可得四边形 为平行四边形，理由如下：
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
故答案为： （答案不唯一）．
3．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段练习）在四边形 中， ，再从下列四个条件中：①
；② ；③ ；④ 任选一个，能使四边形 为平行四边形的条件的序号是 ．
【答案】①或③
【知识点】添一个条件成为平行四边形
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义以及判定定理是解题的关键．用
平行四边形的定义及判定答题即可．
【详解】解：添加①，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定为平行四边形；
添加②，不能判定为平行四边形；
添加③，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定为平行四边形；
添加④，不能判定为平行四边形；
故答案为：①或③．
题型03 证明四边形是平行四边形
例题：（24-25八年级下·吉林·期中）如图，点 ， ， ， 在同一条直线上， ， ，
；求证：四边形 是平行四边形．
【答案】见解析
【知识点】证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．由 ，
，可得四边形 是平行四边形，得到 ，由 可得 ，推出 ，
即可证明．
【详解】证明： 点 ， ， ， 在同一条直线上， ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
即 ，
，
又 ，
四边形 是平行四边形．【变式训练】
1．（24-25八年级下·广东汕头·期中）如图，E、F是平行四边形 的对角线 上的两点， ．
求证：四边形 是平行四边形．
【答案】见解析
【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形
【分析】本题主要考查平行四边形的性质和判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关
键．
连接 ，与 交于点O，根据平行四边形的性质可得 ， ，从而得 ，进而即可
得到结论．
【详解】证明：连接 ，与 交于点O，
四边形 为平行四边形，
， ，
，
，即 ，
四边形 是平行四边形．
2．（2025·湖北十堰·二模）如图，在四边形 中，连接 ，过点B，D分别作 的垂线，垂足分别
为E，F，且 ， ．求证：四边形 为平行四边形．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的
关键．
先由 证明 ，则得到 ， ，继而 ，即可证明 是平
行四边形．
【详解】证明：由题意可知 ， ，
∴ ，
在 和 中，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
3．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图，在平行四边形 中，点E，F分别在 ， 上，且
．
求证：四边形 是平行四边形．
【答案】见解析
【知识点】利用平行四边形的性质求解、证明四边形是平行四边形
【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，首先得到 ，证明出 ，然后
结合 得到 ，进而证明即可．
【详解】解：∵ 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
题型04 利用平行四边形的判定和性质求解
例题：（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在四边形 中， ， ，对角线
， 相交于点 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长和 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ；
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，勾股定理：
（1）根据 ，可得 ，再由 ，可得 ，从
而得到 ，即可求证；
（2）根据勾股定理可得 ，从而得到 ，然后根据勾股定理可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
，
四边形 是平形四边形；
（2）解：∵四边形 是平形四边形，
∴ ， ，
，
，
，
，
，
，
．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形 中， ， ．(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ， ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)四边形 的面积为 ．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的
性质求解、证明四边形是平行四边形
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是
解题的关键．
（ ）由平行线的性质可得 ，然后证明 ，则有 ，再结合
即可求证；
（ ）由平行四边形性质得 ， ， ，然后由勾股定理求出 ，
则 ，最后通过平行四边形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵
∴四边形 是平行四边形；
（2）∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为 ．
2．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在四边形 中， ， ， ， ，
O是 的中点，连接 并延长，交 于点E，连接 ．(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 平分 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与
性质求解
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定
理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）利用平行线的性质和中点定义得到 ， ，进而证明 得到
，再利用平行四边形的判定可得结论；
（2）过点E作 于F，先利用勾股定理求得 ，再利用角平分线的性质得到 ，设
，则 ， 中，由勾股定理求得 ，再在 中，由勾股定理求得
，再利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵O是 的中点，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：过点E作 于F，
在 中， ， ， ，由勾股定理得： ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，设 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
∴
解得： ， (也可以用等面积法)
在 中，由勾股定理得：
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
3．（24-25八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，在 中， ， 为 边上一点，连接 ，
为 中点，过点 作 交 的延长线于 ，连接 交 于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解
三角形、利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】（1）通过平行线的性质证得 ，可得 ，结合题意的 即可求证四边
形 是平行四边形；
（2）设 ，根据题意可得 ，通过勾股定理求出 ，即可求解 ．
【详解】（1）证明： 为 中点，
，
，
， ，
在 和 中，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
（2）解： 四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
在 中， ，
设 ，则 ，
，
解得 （负值舍去），
，
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理， 的直角三
角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
题型05 利用平行四边形的判定和性质证明
例题：（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图，点A，D，C，B在同一条直线上，．求证：
(1) ；
(2)四边形 是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等三角形综合问题、证明四边形是平行四边形
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定，解题关键是根据题意，熟练运用全等
三角形的判定和平行四边形的判定进行推理证明；
（1）根据平行得出 ，再根据“边角边”证明三角形全等即可；
（2）证明一组对边平行且相等即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵
∴ ．
（2）证明：由（1）得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知：如图，在平行四边形 中， ， 是对角线 上的
两个点，且 ．求证：
(1)
(2)四边形 为平行四边形．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是平行四边形
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，截图的关键是掌握
证明两个三角形全等以及平行四边形的判定定理．
（1）利用 可证得结论；
（2）利用对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
2．（2025·广西桂林·一模）如图，在 中， ， 于点E，过点A作 ，连接
并延长，交 于点C．
(1)求证： ．
(2)连接 ，求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明、证明四边形是平行四
边形
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四
边形的判定方法是解答本题的关键．
（1）根据三线合一证明即可；（2）根据 证明 得 ，进而可证四边形 是平行四边形．
【详解】（1）证明： ， ，
．
（2）证明： ，
．
在 和 中，
，
．
，
四边形 是平行四边形．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，分别以 的直角边 及斜边 向外作等边 、
等边 ，已知 ， ，垂足为 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、证明四边形是平行四边形
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平
行四边形的判定，掌握平行四边形的判定和性质是关键．
（1）由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得 ， 由此即可求解；
（2）证明 ，由全等三角形的性质得出 ，证出 ，由平行四
边形的判定可得出结论．
【详解】（1）证明：∵在 中， ，
∴ ，
又∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
题型06 平行四边形的判定和性质的应用
例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形池塘 的四个顶点处各有一棵树．若要扩建
池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后
的池塘 ．
【答案】作图见解析
【知识点】用直尺、三角板画平行线、平行四边形性质和判定的应用
【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，连接 ， 交于点 ，过点
作 的平行线，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，四条平行线依
次交于点 ， ， ， ，则 即为所求，解题的关键是理解题意，灵活运用平行四边形的判定
与性质解决问题．
【详解】解：连接 ， 交于点 ，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，过点 作 的
平行线，过点 作 的平行线，四条平行线依次交于点 ， ， ， ，如图所示：则四边形 均为平行四边形，
，
，则 即为所求．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图1是某小区的倾斜式停车位，如图2是其示意图，工人在绘制时
会保证四边形停车位 的边 ，边 ，且 ．求这个四边形停车位
的面积．
【答案】
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、平行四边形性质和判定的应用
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，勾股定理，含 直角三角形的性质，先判定四边
形 是平行四边形．过点 作 ，交 的延长线于点 ．由平行四边形的性质可得出
，进而可得出 ，由直角三角形两锐角互余可得出 ，由含 直角三角形
的性质得出 ，由勾股定理求出 ，最后根据平行四边形的面积公式求面积即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ．∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 中，由勾股定理，
得 ，
∴ ，
即这个四边形停车位的面积是 ．
2．（24-25八年级下·全国·期末）如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示
意图，篮板边侧 垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板 高度的实践活
动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿 垂直固
定在地面 上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线 与竹竿 的夹角
的度数为 ，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线
与竹竿 的夹角 的度数恰好等于 的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量 的长度为
．活动分享时，小明说：“ 的长度就是篮板 的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理
由．
【答案】我认为小明的说法正确，见解析【知识点】平行四边形性质和判定的应用
【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形 是平行四边形是解题的关键．
根据题意可得 ，再由 ，得到 ，继而得到四边形 是平行四边形，即
可解答．
【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下：
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
∴ ．
∴ 的长度就是篮板 的高度．
3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）【问题提出】
（1）如图①， 为等腰直角三角形， ，D为 上一点，将 绕点A逆时针旋转
，D的对应点为 ，则 _______ ．
【问题探究】
（2）如图②， 为等边三角形，D，E为边 上的点，已知 ， ，求
的边长．
【问题解决】
（3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养．某校准备规划一块三角形的生物基地 ，用来种植
花卉，如图③，其中 ，D为 边上一点，E为 边上一点， 是规划过程中修建的两
条小路，要求 ， ， ，且 ．现计划在四边形 区域内种
植三色堇，在 区域内种植石竹，经了解，种植三色堇的费用为30元/ ，种植石竹的费用为40元/
，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用．（小路的宽度忽略不计）
【答案】（1）90；（2） ；（3）15930元
【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形、平行四边形性质和判定的应用、根据旋转的
性质求解
【分析】（1）根据等腰直角三角形以及旋转的性质解答，即可求解；（2）把 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，交 于点G，则 ，
，先证明 ，可得 ，再证明 ，可得
，然后根据 垂直平分 ，可得 ，由勾股定理可得 ，从
而得到 的长度，即可；
（3）把 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ，过点B作 于点P，可得点
N，M，A，D四点共线，再证明 ，可得 ，分别在 和 中，利用勾
股定理可得 ， ，可得 ，可求出四边形 的面积，取
的中点Q，连接 ，则 ，证明四边形 ， 均是平行四边
形，可得四边形 是平行四边形，可求出 ，即可求解．
【详解】解：（1）∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
由旋转的性质得： ，
∴ ；
故答案为：90
（2）如图，把 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，交 于点G，则
， ，
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的边长为 ；
（3）如图，把 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ，过点B作 于点P，
由旋转的性质得： ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴点N，M，A，D四点共线，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为
，
取 的中点Q，连接 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 ， 均是平行四边形，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵种植三色堇的费用为30元/ ，种植石竹的费用为40元/ ，
∴这块生物基地种植花卉的总费用为 元．
【点睛】本题主要查等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，
利用类比思想解答是解题的关键．一、单选题
1．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）在四边形 中， ，下列选项不能说明四边形
是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】添一个条件成为平行四边形
【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，利用平行四边形的判定方法逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形；故该选项不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；故该选项不符合题意；
C、 ， 不能说明四边形 是平行四边形；故该选项符合题意；
D、∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形；故该选项不符合题意；
故选C．
2．（24-25八年级下·河北保定·期中）下面是嘉淇同学的不完整的推理过程：
，
．
又 ※
为了使嘉淇的推理成立，则“※”处应补充的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】判断能否构成平行四边形
【分析】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：添加 后可得 ，
仅一组对边平行，无法证明四边形 是平行四边形，
故A选项不合题意；
添加 后可得 ，
满足一组对边平行且相等，
可证四边形 是平行四边形，
故B选项符合题意；
添加 后， ，
四边形 为等腰梯形，不是平行四边形．
故C选项不合题意；
添加 后，满足一组对边平行，另一组对边相等，
不能证明四边形 是平行四边形．
故D选项不合题意；
故选B．
3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图1，平行四边形 中， ，现有图2中的甲、乙两种
方案，能使四边形 为平行四边形的是（ ）
A．甲 B．乙
C．甲、乙都可以 D．甲、乙都不可以
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；
方案甲，连接 ，由平行四边形的性质得 ，则 ，得四边形 为平行四
边形，方案甲正确；方案乙，证 ，得 ，再由 ，得四边形 为
平行四边形，方案乙正确．
【详解】解：方案甲，连接 ，如图所示：∵四边形 是平行四边形，O为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形，故方案乙正确；
故选：C．
4．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）如图，在 中，按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当的长
为半径画弧，分别交 于点G，H；②分别以G，H为圆心，大于 的长为半径画弧，交于点
P；③连接 并延长交 于点E；④过点E作 交 于F．已知 ， ，则四边形
的周长为（ ）
A．10 B．5 C．15 D．20
【答案】A
【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定与性质，等角对等边，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．由平行四边形的性质得 ，证明 得
，从而 ，再证明四边形 是平行四边形即可求解．
【详解】解：∵ 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
由作图可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴四边形 的周长为∶ ．
故选A．
5．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图， 是 的对角线，过点B作 交 于点G，
垂足为E，过点D作 交 于点H，垂足为F，连接 ．则下列结论：① ；②四
边形 是平行四边形；③ ；④ 平分 的周长；⑤ ，其中正确
的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识点，灵活运用相关性
质成为解题的关键．
利用全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质逐一判断即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
， ，
，
，
，
， ，故①正确；
，，
∴ ，
，即 ，
∴四边形 是平行四边形，故②正确；
，而 不一定等于 ，故③错误；
， ，
，
∴ 平分 的周长，故④正确；
如图，过点E作 ，并延长 交 于点N，
∵ ，
，
∴ ，
，
，
，故⑤正确，
综上，正确的有4个．
故选；C．
二、填空题
6．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在四边形 中， ，请添加一个条件： ，
使四边形 成为平行四边形．
【答案】 （或 ）（（答案不唯一）
【知识点】添一个条件成为平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．
由平行四边形的判定即可得出结论．【详解】解：添加条件为： ，
理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
添加条件为： ，
理由：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
故答案为： （或 ）（答案不唯一）．
7．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们的
交角为 ，则它们重叠部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】利用二次根式的性质化简、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的
判定与性质求解
【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理．首先过点B作 于点E， 于
点F，由题意可得四边形 是平行四边形，求得 ，则可求得答案．
【详解】解：过点B作 于点E， 于点F，
根据题意得： ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
8．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形 中， ， ， 为 上一点，
，垂足为 如果四边形 的面积为 ， ，那么 ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据题意可推出四边形 是平行四边形，连接 ，
作 ，由 、 即可求解.
【详解】解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
连接 ，作 ，
∵
∴
∵ ，
∴ ，
解得：
故答案为：
9．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在 中，过 上的点 作 ， ， 、 、、 均在平行四边形的边上，且 ， ，则四边形 的面积为 ．
【答案】6
【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形 都是平行四边
形，然后证明 ，根据 ， 求出 即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵ ， ，
∴四边形 都是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：6．
10．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，长方形 中， ， ， 是 的中点，线段
在边 上左右滑动，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】10
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、线段问题(轴对称综合题)
【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定 最小时E，F位
置是解题关键．作G关于 的对称点 ，在 上截取 ，然后连接 交 于E，在 上截取，此时 的值最小，利用轴对称和勾股定理，求出 即可得出答案．
【详解】解：如图，作G关于 的对称点 ，在 上截取 ，然后连接 交 于E，在 上
截取 ，
根据轴对称可知： ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 最小，
∴ 最小，即 最小，
∴ 最小值为 的长，
∵ ，G为边 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
即 的最小值为10．
故答案为：10．
三、解答题
11．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形 中， ，且 交 于点
， 平分 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求四边形 的周长．【答案】(1)证明见详解
(2)30
【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识点，
解题的关键是熟练掌握以上性质．
（1）根据条件得出四边形 是平行四边形，利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出
，利用等角对等边即可得出答案；
（2）根据给出条件得出 是等边三角形，利用等边三角形和平行四边形的性质求出各边长即可求出四
边形 的周长．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
,
∵ 平分 ，
∴ ,
∵ ，
，
，
．
（2）解：∵
是等边三角形
由（1）得四边形 是平行四边形，且 ，
,
∴四边形 的周长为 ．
12．（浙江省温州新质联盟学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题）如图，在 中，连
结对角线 ，点E和点F是 外两点，且在直线 上， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ， ， ， ，求 的长．【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求
线段的长度等知识与方法，证明 是解题的关键．
（1）由 ，推导出 ，由平行四边形的性质得 ， ，则 ，即
可根据“ ”证明 ，得 ， ，所以 ，则四边形 是平
行四边形；
（2）设点 到 的距离为 ，由 ， ， ，求得 ，则 ，
所以 ，则 ，求得 ．
【详解】（1）证明： 点 和点 是直线 上的两点且 ，
，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形．
（2）解：设点 到 的距离为 ，
， ， ，
，
，
，
，
，
．
13．（23-24八年级下·广西河池·期末）如图， 中，D是 边上任意一点，F是 中点，过点C作
交 的延长线于点E，连接 ， ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三
角形、证明四边形是平行四边形
【分析】（1）根据平行线的性质得到 ．根据全等三角形的判定和性质得到
，于是得到四边形 是平行四边形；
（2）过点 作 于点 ．根据等腰三角形的性质求得 ，在 中， ，
，求得 ， ，据此计算即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ．
∵ 是 中点，
，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，
勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
14．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知 是边长为3的等边三角形，点 是边 上的一
点，且 ，以 为边作等边 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)比较 与 的大小．并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用平行
四边形性质和判定证明
【分析】（1）连接 证明 ，得到 ，证明 是等边三角形．则
．即可得到结论；
（2）作 于 ．求出 和 ，即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接
∵ 都是等边三角形，
．
．∴
．
∵ ，
．
是等边三角形．
．
四边形 是平行四边形．
（2）作 于 ．
∴ ，
在Rt 中， ，
四边形 是平行四边形
，
又 ，
又 是等边三角形，各边上的高相等都是
．
．
【点睛】此题考查了等边三角形性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等
知识，证明四边形 是平行四边形是关键．
15．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，将平行四边形 绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四
边形 ，使点B落在 边上的点E处，连接 ．
(1)求证： 平分 ．
(2)如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且 ， ，求平行四边形 的面积．
(3)如图3，连接 交 于点H，求证：点H为 的中点．【答案】(1)详见解析
(2)
(3)详见解析
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行四边形、根据旋转的性
质求解
【分析】（1）由旋转可知 ，得到 ，然后有平行四边形的性质得到 ，
进而求解即可；
（2）过C作 ，求出 ， ， ，然后求出 ，得
到 ，勾股定理求出 ，然后求出 ，进而求解即可；
（3）如图，过B作 ，过G作 ，连接 ， ， ，求出 ，然后得到
，证明出四边形 是平行四边形，即可求解．
【详解】（1）由旋转可知
∴
∵在 中
∴
∴
∴ 平分 ；
（2）如图，过C作
∵ 由 旋转得到
∴ ， ，
∵ B，E，F三点在同一直线，
∴
∴∵ ，
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∵
∴ ；
（3）如图，过B作 ，过G作 ，连接 ， ， ．
∵ ， ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴
∴四边形 是平行四边形
∴点H为 的中点．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，等边对等角性质，解题的关键是
掌握以上知识点．
16．（24-25八年级下·浙江温州·期中）同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行
四边形纸片 中，已知 ， ， 的面积为120．点 为 边上任意一点，将
沿 折叠，点 的对应点为 ．(1)如图1，若点 恰好落在 上时，求证：四边形 为平行四边形．
(2)如图2，若 时，连接 ，并延长交 于点 ．求线段 的长．
(3)改变 点的位置，将 沿 折叠，连接 ，当 为直角三角形时，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) 或
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、折叠问题
【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到 ，推出 ，即可
证明四边形 是平行四边形；
（2）延长 交 于点H，由折叠的性质先证明 是等腰三角形，得到 ，根据
平行四边形的性质得到 ，易证利 是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出
，进而得到 ，利用勾股定理即可解答．
（3）分 和 两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）证明：由折叠的性质可得： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解：如图，延长 交 于点H，
由折叠的性质可得： ，，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形 是平行四边形， ， ，
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
（3）解：①当 时，延长 交 于点 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；②当 时，如图，设 与 交于点 ，作 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上： 或 ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，
熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键．
