第六章第04讲多边形的内角和与外角和（3个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）（原卷版）_北师大初中数学_8下-北师大版初中数学_旧版-可参考_第六章第平行四边形

第 04 讲 多边形的内角和与外角和 课程标准 学习目标 1．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和 ①多边形的内角和 与外角和公式；(重点) ②多边形的外角和 2．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题．(难点) 知识点01 多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个 角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凹多边形 凸多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个 多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； n(n3) (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 2 ； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 【即学即练1】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）一个凸多边形的每个内角均为 ，则这个多边形对角线的条数是 （ ）． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（24-25八年级上·山东威海·期末）若正多边形的一个外角是 ，则这个正多边形共有（ ）条对角线 A．108 B．54 C．144 D．72 知识点02 多边形内角和 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (n2) 180°  (2)正多边形的每个内角都相等，都等于 n ； 【即学即练2】 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）填空题： （1）每一个内角都是 的多边形有 条边； （2）若一个多边形的内角和是 ，则它的边数是 ． 4．（2025·陕西榆林·一模）在古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，它代表着和谐与平衡． 如图1所示的第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的示意图如图2 所示，该正九边形的一个内角 的度数为 ．知识点03 多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外 角和恒等于360°，它与边数的多少无关； 360° (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 n ； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等 外角的度数． 【即学即练3】 5．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，小明从点 出发沿直线前进 米到达点 ，向左转 后又沿直 线前进 米到达点 ，再向左转 后沿直线前进 米到达点 ……照这样走下去，小明第一次回到出发点 ，一共走了 米，则 的值是 ． 6．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，五边形 中， 分别是 ， 的外角， ，那么 度． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图， 是六边形 的四个外角，延长 交 于点H．若 ，则 的大小为 ．题型01 多边形内角和问题 例题：（24-25八年级上·云南临沧·期末）一个六边形的内角和等于 度． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）若一个多边形的内角和为 ，则这个多边形的边数是 ． 2．（2025·重庆·一模）若六边形的内角中有一个内角为 ，则其余五个内角之和为 ． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的 八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ． 题型02 多边形对角线的条数问题 例题：（23-24八年级下·陕西西安·期末）八边形的内角和是 ，它共有条 对角 线． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南信阳·期末）小宇用 计算一个多边形的内角和，则该多边形共 条对角线． 2．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如果从一个 边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，那 么这个 边形的内角和是 ． 3．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）从九边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，九边形 共有 条对角线，九边形的内角和为 ． 题型03 多边形截角后的边数问题 例题：（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 或 【变式训练】 1．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和 的5倍，则原来多边形的边数是（ ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 2．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 ，那 么多边形的边数为 3．（23-24八年级上·湖北黄冈·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 ， 则原多边形的边数是 ． 题型04 多边形截角后的内角和问题 例题：（24-25八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的 多边形的内角和是（ ） A． B． C． 或 D． 或 或 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角 和是（ ） A．14 B．23 C． 或 D． 或 或 2．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸 片的内角和为 ． 3．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为 ． 题型05 多边形外角和的实际应用 例题：（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成 是一个八边形，则这个八边形的外角和为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期中）如图，小明从点A出发，沿直线前进 后向左转 ，再沿直线前 进 ，又向左转 ……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 米．2．（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转 ，再沿直线 前进15米，又向左转 ⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米． 3．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）如图是某品牌的一款木工六角尺，它是一种多角度的测量工具，通 常用于木工和其他精细工艺中．此款六角尺各角上标的度数实际是这个角对应的外角大小，已经标出的五 个度数有 ，则未标度数的角处应填 ． 题型06 多边形内角和与外角和综合 例题：（23-24八年级下·上海·期末）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则 的度数为 ． 2．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中 的部分图案．若 ，则 的度数为 ．3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）[传统文化]窗棂是中国传统木结构建筑的框架结构设计，窗棂上雕 刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．现有一造型独特的窗体设计如下图，已知 ， ，则 ． 题型07 平面镶嵌 例题：（2025·陕西榆林·三模）如图是某校数学兴趣小组活动室墙壁上的一幅图案的一部分，它是由边长 相等的正方形、正三角形和正n（ ）边形密铺（无空隙、不重叠的拼接）而成，则该正n边形一个内 角的度数为 °． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，为足球表面沿缝接线剪开并将其平铺后的局部示意图．该平 面图形为具有公共顶点 且边长相等的2个正六边形和1个正五边形拼接而成（除 处，其他均无缝 隙无重叠拼接），则图示中两个正六边形之间的缝隙 度． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面 （即每个顶点上的各个角度数的和为 ）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做 “半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为 的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号 表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密 铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可） 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、绘画图案等常常由一种或几种 形状相同的图形拼接而成，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．以下镶嵌图 形所用的平行四边形中最大内角为 ． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个多边形的内角和可能是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个多边形的边数由5增加到n（n为整数， ），那么它的 外角和的大小将（ ） A．不变 B．增加 C．减少 D．不能确定 3．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为 ，原多边形的边数是（ ）． A．8或9或10 B．7或8或9 C．6或7或8 D．5或6或7 4．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点B是正八边形的边 上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射 后到达边 上一点E，若 ，则 （ ）A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·广东茂名·期中）八角窗棂是中国传统建筑中一种极具特色的装饰元素，象征着天地 间的和谐，寓意四面八方的吉祥．如图1是某景区的一个正八边形窗棂，其独特的几何美感为景区增添了 艺术魅力，图2是该正八边形窗棂的平面示意图，连接 、 交于点 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23八年级下·西藏拉萨·期末）一个多边形的内角和等于 ，它是 边形． 7．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）一个正多边形的一个外角为 ，则此正多边形的边数为 ． 8．（22-23八年级下·山东枣庄·期末）一个长方形切去一个角后，形成另一多边形的内角和为 ． 9．（24-25九年级下·上海·阶段练习）将一副直角三角尺如图所示摆放，其中等腰直角三角形（图中阴部 分）的一个锐角顶点在另一个三角形内，含 角的直角三角形的 角的顶点在等腰直角三角形内，那么 图中角 和 之间的数量关系是 ． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业） 风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统 建筑屋檐下（如图1）．如图2，是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形 ，连结 ， ，已知 ，则 的度数为 ．三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知两个多边形的边数之比为 ，内角和的度数之比为 ，试求 这两个多边形的边数． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知一个多边形的边数为n． (1)若 ，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多 ，求这个多边形的边数． 13．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于 ， (1)求这个多边形的边数及对角线的条数； (2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 14．（24-25八年级下·广西贵港·期中）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点 ， ， ， 四点在同一条直 线上， 为公共顶点，试求 的度数． 15．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内 角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼 成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________ ． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知 ，分别用 ， ， 表示 的三个内角，说明 解：如图2，画 的边 的延长线 ，过点C画 因为 ，所以___________① ___________ ， ___________② ___________ 因为 ___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形 中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形 被分成了 ___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 16．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用 各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既 不留一丝空隙，又不互相重叠（在数学上叫做平面镶嵌）．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在 一起恰好组成一个周角 时，就拼成了一个平面图形． (1)请你根据图中的图形，填写表中空格； (2)如果选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形吗？说明理由． 正多边形边数 3 4 5 … n 正多边形每个内角的度 … 数 17．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【阅读理解】 【阅读】如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地 铺成一片，叫做平面图形的镶嵌． 【解决问题】我们经常见到如图2那样的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形材料铺成的，这样 形状的材料能铺成平整、无空隙的地面． (1)像这样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？(2)现有四种地砖，它们的形状分别是正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同 时选择其中两种地砖密铺成平整、无空隙的地面，选择的方式有（ ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 (3)【理解应用】用三块正多边形木板铺地面，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，若其中有两个正五 边形，则第三个正多边形的边数是多少？ 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，易证明： ．应用这个结论解决问题： (1)如图②，在“五角星”形中，求 ． 分析：在图形 中，根据（1）可得 ，所以 _______． (2)如图③，在“七角星”形中，求 ． (3)如图④，在“八角星”形中，可以求得 _______．