文档内容
第 05 讲 解题技巧专题：平行四边形中折叠、旋转、线段最值问题
目录
【考点一 平行四边形中折叠求角度问题】.....................................................................................................1
【考点二 平行四边形中折叠求线段长】.........................................................................................................4
【考点三 平行四边形中折叠求面积】.............................................................................................................8
【考点四 平行四边形中折叠证明问题】.......................................................................................................10
【考点五 平行四边形中旋转问题】...............................................................................................................15
【考点六 平行四边形中求线段最值问题】...................................................................................................23
【考点一 平行四边形中折叠求角度问题】
1．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，将 沿对角线 折叠，使点 落在点 处．若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质求解、折叠
问题
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理等知识，由平行四边形的性质得
到 ， ，进而得到 ，再根据折叠的性质得到 ，最后根据三
角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
由折叠可知， ，∴ ，
故选：A．
2．（2024·江苏泰州·二模）如图， 中， ，E，F分别为 ， 的中点，将
沿直线 折叠，点C落在边 上点G处，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的判定以及性质，折叠的性质，根据平行四边形的性
质可得出 ， ，得出 ，求出 ，由题意可得出 ，
再利用平行线的性质得出 ，由折叠的性质可得出 ，最后利用平
角的定义即可求出 ．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴
∵
∴ ，
∵E，F分别为 ， 的中点，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质可得出 ，
∴ ，
故选：D．
3．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平行四边形 中，E为边 上一点，将 沿
折叠至 处， 与 交于点F，若 ， ，则 的大小为 .
【答案】 /36度【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】由平行四边形的性质得出 ，由折叠的性质得： ，
，由三角形的外角性质求出 ，与三角形内角和定理求出 ，
即可得出 的大小．
本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四
边形的性质和折叠的性质，求出 和 是解决问题的关键．
【详解】解： 四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
由折叠的性质得： ， ，
∵ ，
，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
4．（2024·浙江·模拟预测）在平行四边形 中，点 ， 在 边上，把 沿直线 折叠，
沿直线 折叠，使点 ， 落在对角线 上的点 处，若 ，则 的度数为
．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题考查了平行四边形的性质及折叠的性质，熟悉掌握折叠图形边相等的性质是解题的关键．
利用平行四边形的性质和折叠的性质得到 ， ， ，再利用等腰三角
形的性质和平行线的性质进行角的等量代换求解即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，且 沿直线 折叠， 沿直线 折叠，
∴ ， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为：【考点二 平行四边形中折叠求线段长】
1．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）如图，在平行四边形 中， ， ， ，
点E是边 上的一点，点F是边 上一点，将平行四边形 沿 折叠，得到四边形 ，点A
的对应点为点C，点D的对应点为点G，则 的长度为 ．
【答案】 /
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，勾股定理，作出合适的辅助线是解本题的
关键．作 于K，过E点作 于P．可得 ，可得点E到 的距离是
，证明 ；可得 ，设 ，则 ， ，由
勾股定理得 ，再求解m即可，可得 ，最后根据 求解
即可．
【详解】解：如图，作 于K，过E点作 于P．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵C到 的距离和E到 的距离都是平行线 间的距离，
∴点E到 的距离是 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
由折叠可知， ，
∴ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
由折叠可知， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
由勾股定理得 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
∴
故答案为： ．
2．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图，在 中， ， ， ，点 是
上一动点，将 沿 折叠得到△ ，当点 恰好落在 上时， 的长为 ．
【答案】 /
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与
性质、勾股定理，解题关键是根据题意正确画出图形，再添加合适的辅助线，构造直角三角形和全等三角
形解决问题．过点 作 ，交 的延长线于点 ，由平行四边形的性质可得 ，
， ，由平角的定义 ，利用含30度角的直角三角形性质得
， ，由平行线的性质得 ， ，由折叠可知
， ，于是可通过 证明 ，得到 ，再利用勾股定理
求得 ，则 ．
【详解】解：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
四边形 为平行四边形， ，
， ， ，
，
，
， ，
， ，
，
， ，
根据折叠的性质可得， ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ，
．
故答案为：
3．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，平行四边形 中， ， ，将平行四边形
沿 折叠，使点C与点A重合，点D落在平面内的 处，折痕 交 于点F，交 于点E，
已知 ，则折痕 长为 ．【答案】
【知识点】勾股定理与折叠问题、利用平行四边形的性质求解
【分析】过点A作 于点G，过点F作 于点M，求得 ， ，证
明四边形 是矩形，设 ， ，利用勾股定理，结合
，解答即可．本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股
定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】过点A作 于点G，过点F作 于点M，
∵平行四边形 中， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵平行四边形 沿 折叠，使点C与点A重合，且 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
解得 （舍去），
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【考点三 平行四边形中折叠求面积】
1．（24-25八年级下·安徽池州·期中）如图，将一张 纸片沿着 折叠，点 的对应点 恰好落在
上，连接 ，若 ， ，则图中阴影部分（ ）的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，三角形面积，由平行四边
形的性质可得 ， ， ，再由折叠性质可得
， ，即有 ，从而可证明 是等边三角形，
过 作 于点 ，然后由勾股定理和面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
由折叠性质可知： ， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
过 作 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选： ．
2．（2025·云南楚雄·一模）如图，在平行四边形ABCD中，将 沿AC折叠后，点D恰好落在DC的
延长线上的点E处，若 ， ，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握折叠的性质是解答
本题的关键．由折叠的性质可得 ， ， ，由平行四边形的性质可得
， ， ， ，由直角三角形的性质可求 ，即
可求解．
【详解】解： 将 沿AC折叠，
， ， ，
四边形ABCD是平行四边形，
， ， ， ，
，
，
平行四边形ABCD的面积 ，
故选：C
3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在平行四边形纸片 中，
， 将纸片沿对角线 对折， 交边 于点E，则折叠后图中重
合部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，勾股定理，首先推导出 为等边三角形，由 ，求得 ，再证明出点E为 的中点，得到 ，可求出
面积
【详解】解：∵ 折叠至 处， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴
又∵四边形 为平行四边形，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∴点E为 的中点，
∴折叠重合部分的面积为： ，
故答案为：
【考点四 平行四边形中折叠证明问题】
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，将平行四边形 纸片沿 折叠，使点C与点A重合，点
D落在点G处，
(1)求证： ；
(2)求证： ．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等、利用平行四
边形的性质求解、折叠问题
【分析】（1）根据折叠的性质可得 ，根据平行线的性质可得 ，根据等量关
系可得 ，根据等角对等边即可求解；
（2）根据平行四边形的性质，可得 ， ，根据折叠的性质，可得 ，
，所以 ， ，由等量代换得 ，得 ，
， ，得到 ， 可证 ．
【详解】（1）证明：由折叠的性质可得 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又根据题意得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定．解题的
关键是熟练运用平行四边形和折叠的性质，找出角与边的等量关系，进而证明线段相等和三角形全等．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）已知，如图，把平行四边形纸片 沿 折叠，点 落在 处，
与 相交于点 ．(1)求证： ；
(2)连接 ，判断 与 的位置关系并且证明．
【答案】(1)见解析；
(2) ，见解析．
【知识点】根据平行线判定与性质证明、利用平行四边形的性质证明、折叠问题
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，平行四边形的性质，掌握知识点的应用
是解题的关键．
（ ）根据折叠的性质可得 ，再根据平行的性质可得 ，即有 ，
进一步解答即可得解；
（ ）结合平行四边形的性质以及（ ）的结论可得 ，即有 ，再根据
， ，结合三角形内角和定理可得 ，进而得到 ．
【详解】（1）证明：把平行四边形纸片 沿 折叠，点 落在 处，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ；
证明：连接 ，如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
3．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片 沿一条直线折叠，使点 与点 重合，点 落
在点 处，折痕为 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，试判断 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) 为等腰直角三角形，理由见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边
形的性质证明、折叠问题
【分析】（1）由折叠得到 ， ， ，然后得到 ，即可证明出
；
（2）首先根据平行四边形的性质得到 ， ，然后由全等得到 ，
得到 ，即可证明出 为等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
由折叠可得， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判
定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
4．（2025八年级下·全国·专题练习）综合实践课上，老师让同学们开展了 的折纸活动， 是
边上的一动点， 是 边上的一动点，将 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处，点
的对应点为点 ，连接 ．(1)【观察发现】如图1，若 ， ， ，求 的长；
(2)【操作探究】如图2，当点 落在 的延长线上时，求证：四边形 为平行四边形．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、折叠问题
【分析】（1）由折叠的性质可得 ，则 ，由三角形外角性质得 ，
所以 ，再利用勾股定理得 ，然后由 ，
求得 ，即可求解．
（2）根据折叠的性质先证 ，再证 即可证明四边形 为平行四边形．
【详解】（1）解：由折叠知 ，
．
．
，
．
．
由勾股定理得， ，
．
．
．
．
（2）证明：由折叠知 ， ， ．
，
，
，
，
，，
∵ ， ，
，
∴
，
，
，点 在 延长线上，
，
，
．
，
，
四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形折叠问题，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾
股定理．熟练掌握平行四边形的性质与判定和折叠性质是解题的关键．
【考点五 平行四边形中旋转问题】
1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，在 中， ， ，将 绕点O逆时针方
向旋转 到 的位置，则点 的坐标是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形、根据旋转的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用
平行四边形的性质求解
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定以及旋转的性质，正确掌握平行四
边形的性质是解题关键. 连接 ，过点B作 ，过点 作 ，先证明
，再利用旋转的性质求得坐标.
【详解】解：如图，连接 ，过点B作 ，过点 作 ，，
在 中， ， ，
，
，
∵将 绕O点逆时针方向旋转 到 的位置，
，
，
，
∴点 的坐标是： ，
故选：B.
2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，将平行四边形 绕点 旋转，当点D的对应点 落在
边上时，点C的对应点 恰好与点B，C在同一直线上，若 ，则此时 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，旋转的性质，三角形的内角和定理的应用，先求解
， ，再证明 ，再结合三角形的内角和定理
可得答案．
【详解】解：∵平行四边形 绕点 旋转得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，∵点 、B、C在一条直线上，
∴ ，
∴ ．
故选：C
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图所示，将 绕点A按逆时针方向旋转 ，得到
（点 与点 、点 与点 、点 与点 分别对应）．若点 恰好落在 上，则 ．
【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】由旋转的性质可知 ， ，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理，得
到 ，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出 的度数．
【详解】解：由旋转的性质可知， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，熟
练掌握旋转的性质是解题关键．
4．（23-24八年级下·上海青浦·期中）如图，在平行四边形 中， ， ，面积为120，点
是边 上一点，连接 ，将线段 绕着点 旋转 得到线段 ，如果点 恰好落在直线 上，那
么线段 的长为
【答案】2或14【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，勾股定理，注意分类讨论；由题意得 ；分
顺时针旋转与逆时针旋转两种情况，利用旋转性质及勾股定理即可求解．根据题意确定 是解题的
关键．
【详解】解：∵线段 绕着点 旋转 得到线段 ，点 恰好落在直线 上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得： ；
当线段 绕着点 顺时针旋转 时，如图，
∴ ，
∴ ；
当线段 绕着点 逆时针旋转 时，
则 在点P的右侧，
∴ ；
综上， 的长为2或14；
故答案为：2或14．
5．（24-25八年级下·浙江金华·期中）如图，将平行四边形 绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四
边形 ，使点B落在 边上的点E处，连接 ．
(1)求证： 平分 ．
(2)如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且 ， ，求平行四边形 的面积．
(3)如图3，连接 交 于点H，求证：点H为 的中点．
【答案】(1)详见解析
(2)(3)详见解析
【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是平行
四边形
【分析】（1）由旋转可知 ，得到 ，然后有平行四边形的性质得到 ，
进而求解即可；
（2）过C作 ，求出 ， ， ，然后求出 ，得
到 ，勾股定理求出 ，然后求出 ，进而求解即可；
（3）如图，过B作 ，过G作 ，连接 ， ， ，求出 ，然后得到
，证明出四边形 是平行四边形，即可求解．
【详解】（1）由旋转可知
∴
∵在 中
∴
∴
∴ 平分 ；
（2）如图，过C作
∵ 由 旋转得到
∴ ， ，
∵ B，E，F三点在同一直线，
∴
∴
∵ ，
∴∴
∵ ，
∴
∴
∴
∵
∴ ；
（3）如图，过B作 ，过G作 ，连接 ， ， ．
∵ ， ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴
∴四边形 是平行四边形
∴点H为 的中点．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，等边对等角性质，解题的关键是
掌握以上知识点．
6．（23-24八年级下·江西吉安·期末）问题情景
已知 与 中， ，同学们利用这样的两张
平行四边形纸片开展操作实验，从中发现；许多有趣的数学问题，请你们和他一起探索．拼图思考：
（1）希望小组的同学将 与 按照如图1所示摆放，其中点B与 重合，点 落在 边
上，点 落在 边的延长线上，他们提出了如下问题，请你解答：
①求证： 平分 ；
②求点 之间的距离．
操作探究：
（2）创新小组的同学在图1的基础上进行了如下操作：保持 不动，将 绕点B沿顺时针
方向旋转，连接 ，他们又提出如下问题：
①当线段 与 交于点P时，如图2，求证：点B在 的垂直平分线上；
②在 旋转的过程中，当点 恰好落在线段 的延长线上时，请在图3中补全图形，并直接写
出此时点 之间的距离．
【答案】（1）①见解答过程，②2
（2）①见解答过程，②20
【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、利用平行四边形
的性质证明
【分析】（1）第一问借助三角形 与 全等求证，第二问连接 ，判断 求解．
（2）第一问连接 ， ，判断 为等腰三角形，利用三线合一求证，第二问画出满足条件的图
形，利用等边三角形求解．
【详解】解：（1）① 与 中， ， ， ，
四边形 是菱形．
平分 ．
②连接 ，如图，
由①知四边形 是菱形，
，
，
，
，为等边三角形，
．
（2）①连接 ， ，如图，
与 中， ， ， ，
， ， ，
，
，
为等腰三角形，
在线段 的垂直平分线上．
②如图，
与 中， ， ， ，
， ， ，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定与性质，等腰三角的性质定，
等边三角形的判定与性质．关键是借助三角形全等和等腰三角形的三线合一进行解题．
【考点六 平行四边形中求线段最值问题】
1．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在 中， ， ， ，点 ， 分别
是边 ， 上的动点，连接 ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，连接 ，则 的最小
值为 ．【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、含30度
角的直角三角形
【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理，直角三角形的性质．
连接 ，过点D作 与G，根据三角形中位线定理，可得 ，从而得到当 最小时，
最小，此时点F与点G重合，即 的最小值为 的长，再由平行四边形的性质可得 ，
，从而得到 ，再由直角三角形的性质，可得 ，然后根
据勾股定理，求出 的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，过点D作 与G，
∵点 ， 分别为 ， 的中点，
∴ ，
∴当 最小时， 最小，此时点F与点G重合，即 的最小值为 的长，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为：
2．（2025·山东东营·一模）如图，在平行四边形 中， ， ，点 是 边上的动点，
连接 ， ， 是 的中点， 是 的中点，则 的最小值是 ．【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、含30度角的直角三角形、用勾
股定理解三角形
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可
得 ，当 时， 有最小值，即 有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，过点A作 于N，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵E、F分别为 、 的中点，
∴ ，
∴当 时， 有最小值，即 有最小值，
∴当点P与点N重合时， 的最小值为 ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在 中， ， ， ，点 为
上任意一点，连接 ，以 为邻边作 ，连接 ，则 的最小值为 ．【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，含 直角三角形的定义，合理作出辅助线是解题的
关键．
根据平行四边形的性质分析出当 最短时 也最短，过 作 的垂线 ，即 的最小值为 ，利
用勾股定理运算求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴当 最短时 也最短，
∴过 作 的垂线 ，如图所示：
∴ 的最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
4．（2025·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形纸片 中， ， ， ．E
是线段 的中点，点F在 边所在的直线上，将 沿 所在的直线翻折得到 ，连接 ，
则 长度的最小值是 ．【答案】
【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，折叠的性质，
先作 ，交 的延长线于点G，连接 ，根据平行四边形的性质 ,
，再根据三角形三边之间的关系可知当点 共线时 最小，然后根据勾股定理
求出 ，再根据勾股定理求出 ，进而得出答案.
【详解】解：如图所示，过点A作 ，交 的延长线于点G，连接 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ .
∵ ，点E是线段 的中点，
∴ , .
根据折叠的性质得 .
根据三角形三边之间的关系，可得 ，
当点 共线时， 最小，
∵ ，
∴ ，
∴ .
根据勾股定理，得 ，
解得 ，
∴ .
根据勾股定理，得 ，
∴ 最小值是 .
故答案为： .5．（24-25八年级下·新疆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点 ， ．平移 至 （点
与点 对应，点 与点 对应），连接 ．
(1)点 的坐标为______；
(2)点 ， 分别是 ， 边上的动点，连接 ， ， ， 分别为 ， 的中点，连接 ．
当 ， 分别在 ， 上运动时， 是否存在最小值？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说
明理由；
(3)如图 ，三角形 是等腰直角三角形， 为线段 上一点，以 为直角边作等腰直角三角形 ，
其中 ，试猜想 ， ， 三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1) ；
(2) 存在最小值， 的最小值为 ；
(3) ，理由见解析．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、用勾股定理解三角
形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】（ ）根据点 平移到点 的方式与点 平移到点 的方式相同，只需要求出点 平移到点 的
方式即可求出点 的坐标；
（ ）连接 ，由中位线定理可得 ， ，当 取得最小值时，即 时， 的
值最小，然后通过勾股定理和等面积法即可求解；
（ ）连接 ，由三角形 是等腰直角三角形和三角形 是等腰直角三角形得 ，证
明 ，然后通过全等三角形的性质和勾股定理即可求证．
【详解】（1）解：∵点 与点 对应，点 与点 对应，点 ，
∴ 向右平移 个单位，再向上平移 个单位得 ，
∴ 向右平移 个单位，再向上平移 个单位得 ，
故答案为： ；
（2）解： 存在最小值， 的最小值为 ，理由：
连接 ，过 作 轴于点 ，如图，∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ， ，
∴ 取得最小值时，即 时， 的值最小，
由（ ）知： ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ；
（3）解： ， ， 三者之间有怎样的数量关系为： ，理由：
连接 ，如图，
∵三角形 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵三角形 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形变化—平移，勾股定理，等腰直角三角形
的性质，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
