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第 06 讲 解题技巧专题：解题技巧专题：平行四边形中线段
和最值之将军饮马模型
目录
【模型一 求两条线段和的最小值（将军饮马模型）】.................................................................................1
【模型二 求两条线段和的最小值（将军遛马模型）】.................................................................................7
【模型三 求多条线段和（周长）最小值】...................................................................................................11
【模型一 求两条线段和的最小值（将军饮马模型）】
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：
A
A A
B
m
A P
m m
P
B
B B m A'
【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例题：（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，已知正六边形 的边长是5，点 是 上的一个
动点，则 的最小值是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【变式训练】
1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图 中， ， ， ， 为 的中
线，点 、点 分别为线段 、 上的动点，连接 、 ，则 的最小值为（ ）A．4.8 B．2.4 C．6 D．5
2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在等边 中， ，点 是 的中点， 是
上的动点， 是 的中点，则 的最小值为 ．
3．（2024·江苏南通·一模）如图，平行四边形 中， 分别是边
上的动点，且 ，则 的最小值为 ．
4．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知：将 沿对角线 折叠， 折到 位置．
(1)证明 ；
(2)如果 ，B、D两点间距离为 ，请在对角线 上找一点O，使得 的值最小，并求
最小值；
(3)探索：线段 与 满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明．
【模型二 求两条线段和的最小值（将军遛马模型）】
将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，
在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）；
A
A
B
m
P Q
m
B P Q
图1-1 图1-2
将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移
PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，
再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.
A E
A C
B
m
m
P Q P Q
B B'
图1-1 图1-2
将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交
直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，
根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，
再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。
例题：（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ， ， ，
E、F分别为边 、 上的点，且 ，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【变式训练】
1．（2024·四川广安·二模）如图， 是直线 上长度固定为1的一条动线段．已知点 ，
，则 的最小值为 ．2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，长方形 中， ， ， 是 的中点，线段
在边 上左右滑动，若 ，则 的最小值为 ．
【模型三 求多条线段和（周长）最小值】
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：
A
m
A
A m
m P' P
A
m P
B
n
Q' Q
n B n
Q
B B n B'
（3）两个点都在内侧：
A'
m
m A
A P
B
Q
B n
n B'
（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形
ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.n
n
A'
A
A'
B A
n n
D Q
A
B m A m
E P
m B' m A"
【最值原理】两点之间线段最短。
例题：（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在 中， ， ， ，点
是边 上两动点，连接 ，CE．若 ，则 周长的最小值为 ．
【变式训练】
1．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形 中， ， ，点
， 在边 上，且 ．连接 ， ，则四边形 周长的最小值为 ．
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形 中， ，D、E是边 上的三等分点，点
M、N分别在边 ， 上运动，则四边形 周长的最小值是 ．
3.如图， 中， ，点 、点 为边 上的点，且 ，点 、 分别为边 、
上的点．已知： ， ，则四边形 的周长的最小值为 ．
4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， 中， ， ， ，若 、分别是边 、 的中点，连接 ，点 是边 上任意一点，连接 、 分别交 于点 、 ，
则 周长的最小值是 ．
