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第二章 不等式与不等式组导学案
2.1不等式的基本性质
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学习目标与重难点
学习目标：
1、学生能准确理解和叙述不等式的三条基本内容，并能运用不等式的基本性质解不等式。
2、经历“观察--实验--猜想--探究过程培养学生归纳能力、类比能力，提升数感和符号意识。
3、在自我探究过程中培养学生严谨的科学态度、合作交流意识和辩证的思维。
学习重点：
不等式基本性质及其应用
学习难点：
灵活运用性质对不等式进行变形
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预习自测
一、知识链接
1、什么是不等式？ 。
2、不等式的解和解集的关系如何？ 。
3、如何用数轴表示不等式的解集。 。
4. 等式的基本性质是什么？
（1）.等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，等式仍然成立。
用数学语音表示： 。
（2）2.等式的两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。
用数学语音表示： 。
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教学过程
一、合作交流、新知探究
任务一：探究不等式性质1
如果在不等式的两边都加上或减去同一个整式，那么结果会怎样？举例试一试。如：3 < 7
加(减)正数：3+2__ 7+2； 3-5__ 7-5
加(减)负数：3+(-2)__ 7+(-2)； 3-(-5)__ 7-(-5)
你发现了什么？不等式的基本性质 1 ：
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
若a>b ;那么a±c>b±c 若a<b ;那么a±c<b±c
1、已知x﹥y,请用恰当的符号填空。
（1）x – 6（ ）y - 6 （2）x-(-5) （ ）y-(-5)
(3） x-0 （ ）y-0 （4）x + 1（ ） y + 1
（5）x +（- 2）（ ） y + （-2）
任务二：探究不等式性质2
对于4<6，那么
（1）4×2 6×2
（3） 4×0 6×0
对比“不等式基本性质1”，你有什么想法？
不等式的基本性质2 ：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
若a>b ;那么ac>bc (c>0); a÷c>b÷c (c>0)
若a<b ;那么ac<bc (c>0); a÷c<b÷c (c>0)
2、已知2<3,请用恰当的符号填空。
2×5___ 3×5 2÷2___ 3÷2
2÷5___ 3÷5
任务三：探究不等式性质3
对于8<12， -4>-6，那么
8×(-4)＿12×(-4) 8÷(-4)＿12÷(-4)
(-4)×(-2)＿(-6)×(-2) (-4)÷(-2)＿(-6)÷(-2)
对比“不等式基本性质2”，你有什么想法？
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
若a>b ;那么ac<bc (c<0);a÷c＜b÷c (c<0)
若a<b ;那么ac>bc (c<0);a÷c＞b÷c (c<0)
3、已知x﹥y，请用恰当的符号填空。
（1）3x （ ）3y （2）-2x （ ）-2y
（3）2x + 1（ ）2y + 1 （4）-4x + 2（ ）-4y + 2
任务四： 性质拓展
1、若a<b、b<c，则a和c有怎么的大小关系？
a b c
2、若a>b、b>c，则a和c有怎么的大小关系？
c b a
不等式的传递性：
若a<b ，b<c， 则a<c 若a>b ，b>c， 则a>c
4.练一练：选择适当的不等号填空:
⑴ 若 a＞-b ,则 a + b 0;根据是 。
⑵ 若 -a＜b ,则 a -b;根据是 。
⑶ 若 -a＞-b ,则 2-a 2-b;根据是 。
(4) 若 a ＜b,且 b＜2a-1 ,则 a 2a-1.根据是 。
探究小结：不等式的基本性质：
(1) 不等式的基本性质1 .
(2) 不等式的基本性质2 .
(3) 不等式的基本性质1 .
(4) 不等式的传递性： .
例题精析
例1： 在上节课的问题中，我们猜想无论绳长l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
现在你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？所以圆的面积总大于正方形的面积
例2：利用不等式的性质将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：并将不等式的解集用数轴表
示出来
（1）x－5>‒1; （2）‒2x>3;
解： (1)根据不等式的性质1两边都加上5，
得： x > ‒1+5 即x >4;
(2)根据不等式的性质3两边都除以‒2，
得：x < 3÷（‒2） 即x <-
二、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1. 若 x<y，则 ax>ay．那么一定有 （ ）
A. a>0 B. a≥0 C. a<0 D. a≤0
2. 若 a>b，则下列不等式成立的是( )
A. a−3<b−3 B. −2a>−2b C. < D. <
3．若 x<y，且 （m−2）x>（m−2）y，则 m 的取值范围是 .
4. 如果 x<y，那么 +1 +1．
5.如果 a<b，用“<”“>”或“=”填空：
（1）a+3 b+3； （2）a−5 b−5； （3）−5a −5b； （4）2a 2b；
（5） ； （6） ．
6.若 x>y，比较 −3x+5 与 −3y+5 的大小，并说明理由；能力提升：
7.下列说法，不一定成立的是( )
A. 若 a>b，则 a+c>b+c B. 若 a+c>b+c，则 a>b
C. 若 a>b，则 ac >bc D. 若 ac >bc ，则 a>b
8.①若 a=0，b≠0，则方程 ax=b 无解；②若 a=0，b≠0，则不等式 ax>b 无解；③若 a≠0，则方
程 ax=b 有唯一解 x= ；④若 a≠0，则不等式 ax>b 的解集为 x> ，则( )
A. ①②③④都正确 B. ①③正确，②④不正确
C. ①③不正确，②④正确 D. ①②③④都不正确
拓展迁移
9.甲商贩从一个农贸市场买西瓜，他上午买了 30 千克，价格为每千克 a 元，下午他又买了 20 千
克价格为每千克 b 元后来他以每千克 元的价格把西瓜全部卖给了乙，结果发现赔了钱，这
是因为（ B ）
A. a<b B. a>b C. a≥b D. a≤b
10.已知实数x、y满足3x+4y=1．
(1)用含有x的式子表示y；
(2)若实数y满足y>1，求x的取值范围．
解：(1)3x+4y=1，
4y=−3x+1，
；
(2)根据题意得 ，
解得x<−1．
三、总结反思、拓展升华
不等式的基本性质：
(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；
(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。(4) 不等式的传递性：若a<b ，b<c，则a<c；
若a>b ，b>c，则a>c
数学思想：类比、数形结合、模型思想
四、【作业布置】
基础达标：
1.若x>y，则下列不等式成立的是( )
A. x+5>y+5 B. 15x<15y C. −8x>−8y D. x−10>y+10
2.如果a>b，c<0，那么下列不等式成立的是( )
A. a+c>b B. a+c>b−c C. ac−1>bc−1 D. a(c−1)<b(c−1)
3.下列式子变形正确的是( )
A. 由4+x=3，得x=3+4 B. 由 x=0，得x=3 C. 由−2x>4，得x>−2 D. 由1+x>3，得x>3−1
4.已知a>b，下列结论：①a >ab；②a >b ；③若b<0，则a+b<2b；④若b>0，则 < ，
其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.设a，b，c表示三种不同物体的质量，用天平秤两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小
到大排列正确的是( )
A. c<b<a B. b<c<a C. c<a<b D. b<a<c
6.下列命题是假命题的有( )
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长分别是1， ，3的三角形是直角三角
形；
③面积相等的两个三角形全等 ④若a>b，则−2a+1<−2b+1；
⑤三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形。
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
能力提升：
7.下列命题中：①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若ab<0，则a<0，b>0；③若ac >bc ，则a>b；④若a<b<0，则 >1；⑤若 ，则a>b.正确的有个．( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 若x+4y=1，则xy的最大值为 ．
拓展迁移：
9.阅读下面的材料：
小明在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论：
若A−B>0，则A>B；若A−B=0，则A=B；若A−B<0，则A<B．
下面是小明利用这个结论解决问题的过程：试比较3与22−3的大小．
解：∵3−(22−3)=3−22+3=23−22>0，
∴3 22−3．
回答下面的问题：
(1)请完成小明的解题过程；
(2)试比较2(2a −ab+7)与−3a −2ab+7的大小(写出相应的解答过程)．
课堂作业参考答案
1、C
2、D
3、m＜2
4、＜
5、（1）＜；（2）＜； （3）＞；（4）＜；（5）＜；（6）＞。
6、解：∵x>y，
∴ 不等式两边同时乘以 −3 得：（不等式的基本性质 3）
−3x<−3y，
∴ 不等式两边同时加上 5 得：（不等式的基本性质 1）5−3x<5−3y；
7、C
8、B
9、B
10、解：(1)3x+4y=1，
4y=−3x+1，
；
(2)根据题意得 ，
解得x<−1．
课外作业参考答案
1、A
2、D
3、D
4、A
5、A
6、B
7、C
8、解答提示： ∵
9、（1）＞
（2）解： 2(2a −ab+7)−(−3a −2ab+7)
=4a −2ab+14+3a +2ab−7
=7a +7，
∵a +1>0，
∴7a +7>0．∴2(2a −ab+7)−(−3a −2ab+7)>0，
∴2(2a −ab+7)>−3a −2ab+7
