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第 06 讲 解题技巧专题：解题技巧专题：平行四边形中线段
和最值之将军饮马模型
目录
【模型一 求两条线段和的最小值（将军饮马模型）】.................................................................................1
【模型二 求两条线段和的最小值（将军遛马模型）】.................................................................................7
【模型三 求多条线段和（周长）最小值】...................................................................................................11
【模型一 求两条线段和的最小值（将军饮马模型）】
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：
A
A A
B
m
A P
m m
P
B
B B m A'
【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例题：（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，已知正六边形 的边长是5，点 是 上的一个
动点，则 的最小值是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质、正多边形的外角问题、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】此题主要考查了正多边形的以性质及轴对称最短路线问题．易知点 关于 的对称点为点 ，
连接 交 于点 ，根据轴对称的性质进行解答即可．【详解】解：利用正多边形的性质可得点 关于 的对称点为点 ，连接 交 于点 ，那么有
， 最小．
由题意知 为等边三角形，
所以 ，
可得： ，
的最小值是10，
故选：A．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图 中， ， ， ， 为 的中
线，点 、点 分别为线段 、 上的动点，连接 、 ，则 的最小值为（ ）
A．4.8 B．2.4 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】垂线段最短、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题，等腰三角形的性质，过B作 于F，交 于E，则
的长即为 的最小值，根据等腰三角形的性质得到 ，根据三角形的面积公式列方
程即可得到结论．
【详解】解：过B作 于F，交 于E，如图，
∵ ， 为 的中线，
∴ ， ，∴ 的长即为 的最小值，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故选：A．
2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在等边 中， ，点 是 的中点， 是
上的动点， 是 的中点，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的性质、与三角形中位线有关的
求解问题
【分析】本题考查了等边三角形的性质、垂直平分线的判定和性质、三角形中位线定理等知识，取 的
中点F，连接 ， ，证明 ， ，则直线 为线段 的对称轴，当点P与点G重合
时， 取得最小值，此时 ，由等积法得到 ，由 即可得
到答案．
【详解】∵ 是等边三角形，点D是 的中点，
∴直线 为 的一条对称轴， ，
取 的中点F，连接 ， ， ，
∵E是 的中点，点D是 的中点，
∴ ， , , ，
∴ ， ，∴直线 为线段 的垂直平分线，
∴直线 为线段 的对称轴，
连接 ，交 于点G，
故当点P与点G重合时， 取得最小值，此时 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故 的最小值为 ，
故答案为： ．
3．（2024·江苏南通·一模）如图，平行四边形 中， 分别是边
上的动点，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四
边形的性质求解
【分析】延长 ，截取 ，连接 ， ，过点A作 于点H，证明 ，得
出 ，说明当 最小时， 最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线
时， 最小，即 最小，且最小值为 的长，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性
质，求出结果即可．
【详解】解：延长 ，截取 ，连接 ， ，过点A作 于点H，如图所示：
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴当 最小时， 最小，
∵两点之间线段最短，
∴当A、E、G三点共线时， 最小，即 最小，且最小值为 的长，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形
的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
4．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）已知：将 沿对角线 折叠， 折到 位置．
(1)证明 ；
(2)如果 ，B、D两点间距离为 ，请在对角线 上找一点O，使得 的值最小，并求
最小值；
(3)探索：线段 与 满足什么关系时，点D、C、F在同一条直线上，请给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当线 与 互相平分时，点D、C、F在同一条直线上，理由见解析
【知识点】两点之间线段最短、利用平行四边形的性质求解、折叠问题
【分析】（1）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明 ；
（2）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明 ；
（3）本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，解题的关键是证明 ．
【详解】（1）解：证明：如图1中，四边形 是平行四边形，
，
，
翻折得到 ，
，
，
，
，
，
；
（2）连接 交 于点O，连接 ，
点F与D关于 对称，
，
当点O为 与 交点时， 的值最小，最小值为线段 的长，即最小值为 ；
（3）当线段 与 互相平分时，点D、C、F在同一条直线上．
理由： 与 互相平分， ，
，
，
，
，
即 ，
翻折得到 ，
，
点D、C、F在同一条直线上．
【模型二 求两条线段和的最小值（将军遛马模型）】将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，
在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。
点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）；
A
A
B
m
P Q
m
B P Q
图1-1 图1-2
将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移
PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，
再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.
A E
A C
B
m
m
P Q P Q
B B'
图1-1 图1-2
将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交
直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，
根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，
再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。
例题：（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ， ， ，
E、F分别为边 、 上的点，且 ，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】最短路径问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质
求解【分析】本题主要考查平行四变形的判定和性质，含30度直角三角形及轴对称的性质，理解题意，作出相
应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
连接 ，作点C关于 的对称点H，连接 ，根据平行四边形的性质及判定得出四边形 为
平行四边形，再由轴对称的性质确定当点B、E、H三点共线时， 的最小值为 的长，然后结
合图形利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接 ，作点C关于 的对称点H，连接 ，如图所示：
∵平行四边形 ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵点C、H关于 对称，
∴ ，
，
，
当点B、E、H三点共线时， 的最小值为 的长，
，
，
， ，
，
，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2024·四川广安·二模）如图， 是直线 上长度固定为1的一条动线段．已知点 ，
，则 的最小值为 ．【答案】
【知识点】坐标与图形、最短路径问题、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称
【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称 最短路线问题．在 轴
上取点 ，使 ，则四边形 为平行四边形，作点 关于直线 的对称点 ，则
，即 、 、 三点共线时， 最小值为 的长．
【详解】解：如图，在 轴上取点 ，使 ，则四边形 为平行四边形，
∵点 ， ，
， ，
，
作点 关于直线 的对称点 ，
， ，
，即 、 、 三点共线时， 最小值为 的长，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的最小值为 ，
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，长方形 中， ， ， 是 的中点，线段
在边 上左右滑动，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】10【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、线段问题(轴对称综合题)
【分析】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及勾股定理等知识，确定 最小时E，F位
置是解题关键．作G关于 的对称点 ，在 上截取 ，然后连接 交 于E，在 上截取
，此时 的值最小，利用轴对称和勾股定理，求出 即可得出答案．
【详解】解：如图，作G关于 的对称点 ，在 上截取 ，然后连接 交 于E，在 上
截取 ，
根据轴对称可知： ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 最小，
∴ 最小，即 最小，
∴ 最小值为 的长，
∵ ，G为边 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
即 的最小值为10．
故答案为：10．
【模型三 求多条线段和（周长）最小值】
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：A
m
A
A m
m P' P
A
m P
B
n
Q' Q
n B n
Q
B B n B'
（3）两个点都在内侧：
A'
m
m A
A P
B
Q
B n
n B'
（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形
ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
n
n
A'
A
A'
B A
n n
D Q
A
B m A m
E P
m B' m A"
【最值原理】两点之间线段最短。
例题：（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在 中， ， ， ，点
是边 上两动点，连接 ，CE．若 ，则 周长的最小值为 ．
【答案】 /7.2
【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据成轴
对称图形的特征进行求解
【分析】作点C关于线段AB的对称点 交于点H，连接 和 ，过点 作 ，且 ，
连接 ，则 ，根据轴对称得 和 ，那么 ， 周长为，当点C、点E和点F三点共线时， 周长最小为 ，
利用勾股定理求得 ，等面积法求得 ，则有 ，在 中求得 即可．
【详解】解：作点C关于线段AB的对称点 交于点H，连接 和 ，过点 作 ，且
，连接 ，如图，
则四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵点C关于线段AB的对称点 ，
∴ ， ，
∴ ，
则 周长为 ，
当点C、点E和点F三点共线时， 周长最小为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
在 中， ，
则， 周长最小为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质和三角形三边关系的应用，解
题的关键是熟悉轴对称的性质和平行四边形的性质．【变式训练】
1．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形 中， ， ，点
， 在边 上，且 ．连接 ， ，则四边形 周长的最小值为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、线段问题(轴
对称综合题)
【分析】如图，取 的中点 ，作D关于直线 的对称点 ，连 交 于点F，在边 上，F点
左侧截取 ，连 ， ，利用轴对称和平行四边形的性质得出 为四边形 周长的最
小值，据此解答即可得解．
【详解】解：如图，取 的中点 ，作D关于直线 的对称点 ，连 交 于点F，在边 上，
F点左侧截取 ，连 ， ，
，
，
， 的中点为 ，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
四边形 周长 ，
由两点之间线段最短知，此时四边形 周长最小，
在 中， ，四边形 周长最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了轴对称—最短距离，勾股定理，垂直平线的性质，平行四边形的判定和性质等知
识点，熟练掌握其性质并能正添加辅助线是解决此题的关键．
2．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形 中， ，D、E是边 上的三等分点，点
M、N分别在边 ， 上运动，则四边形 周长的最小值是 ．
【答案】5
【知识点】等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】作D点关于 的对称点 、E点关于 的对称点 ，连接 分别与 和 交于 和 ，
则当M点运动至 点、N点运动至 点时， 的最小值为 ，此时四边形 的周长
最小，分别作 、 ，由对称及等边 易知 和 均为等边三角形，由
此可求解出 的长度，进而求解四边形的周长．
【详解】解：作D点关于 的对称点 、E点关于 的对称点 ，连接 分别与 和 交于
和 ，则当M点运动至 点、N点运动至 点时， 的最小值为 ，此时四边形
的周长最小，
∵三角形 是等边三角形，
∴由对称性得： ， ，
∵D、E是边 上的三等分点，
∴
∴ ，
∴ 和 时等边三角形，分别作 、 ，
∵ 、 ，
∴ ，
∴四边形 时矩形
∴
∴ ，
故答案为：5.
【点睛】本题考查轴对称最小距离问题，解题的关键是作出最短距离点．
3.如图， 中， ，点 、点 为边 上的点，且 ，点 、 分别为边 、
上的点．已知： ， ，则四边形 的周长的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】如图，作点 关于直线 的对称点 ，点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，
交 于 ，连接 ， ，此时四边形 的周长最小．证明四边形 是平行四边形即可解决问
题．
【详解】解：如图，作点 关于直线 的对称点 ，点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于
，交 于 ，连接 ， ，此时四边形 的周长最小．
，
，
，
，
， ， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 的周长 ．故答案为 ．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决
最短问题，属于中考常考题型．
4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， 中， ， ， ，若 、
分别是边 、 的中点，连接 ，点 是边 上任意一点，连接 、 分别交 于点 、 ，
则 周长的最小值是 ．
【答案】 /
【知识点】最短路径问题、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求
解问题
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，中位线，勾股定理，最短距离，全等三角形的判定和性质等
知识点，过点C作以 所在直线为对称轴的对称点 ，交 于点 ，易得 ， ，且
E、F分别是边 ， 的中点， 为 的中位线， ，连接 ，此时与 的交点
G，此时 周长最小，根据勾股定理即可求出 进而求出 作答，解题的关键是对将军饮马问
题的灵活运用．
【详解】过点C作以 所在直线为对称轴的对称点 ， 交 于点P，由对称性质得 ，如
图，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵E、F分别是边 ， 的中点，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴
∴ ，延长 到Q，使 ，连接 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴N为 的中点，
同理可证，M为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
连接 ，此时与 的交点G，由两点之间线段最短得，此时 周长最小，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为： ．
