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第 07 讲 平行四边形单元提升卷
（范围：全章，时间：120分钟，满分：120分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．如图，四边形 是平行四边形，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对角相等，对边平行是解题的关键．
根据平行四边形对角相等求出 ，再由平行四边形对边平行得到 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
2．如图，在 中， ，D、E分别是 的中点，则 的长度为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题
的关键．
由题意可得 是 的中位线，再由三角形的中位线定理即可求解．
【详解】解：∵ ，D、E分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，故选：C．
3．如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ，则 的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识
点是解题的关键．根据平行四边形的性质，可知 ， ， ，那么 ，
结合 平分 ，可知 ，那么 ，最后通过 算得答案．
【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， ，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
．
故选：B．
4．如图，四边形 的两条对角线 、 交于点O，下列不能判定 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定，由平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由 ， ，不能判定四边形 是平行四边形（如等腰梯形），故选项D符合题意；
故选：D．
5．如图，在 中，对角线 、 交于点 ，且 ， ，则 的周长为（ ）
A．28 B．24 C．18 D．14
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得对角线互相平分且对边相等，即
， ，再结合周长公式列式计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故选：C．
6．综合实践课上，李海画出 ，利用尺规作图找一点 ，使得四边形 为平行四边形．图
图③是他的作图过程．
李海的作法中，可直接判定四边形 是平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
【答案】C
【分析】本题考直了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．根
据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断．
【详解】解：根据图1，得出 的中点 ，图2，得出 ，
可知使得对角线互相平分，从而得出四边形 为平行四边形，
判定四边形 为平行四边形的条件是：对角线互相平分，
故选：C．
7．如图，点P在平行四边形 的对角线 上，过点P作 ， ．已知， ， ，则四边形 的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的面积被对角线角等分．
【详解】解：如图，点P在平行四边形 的对角线 上，过点P作 ， ，
四边形 ，四边形 为平行四边形，
，
，
， ，
， ，
，
故选：B．
8．图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条
线段组成的图形，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于 是解题的关键．根据多边形的
外角和等于 解答即可．
【详解】解：由多边形的外角和等于 可知，
，
故选：C．
9．已知，在 中， ， 平分 交 所在直线于点E， ，则 的长为（ ）
A．6或7或8 B．7或8 C．6或7 D．6或8
【答案】D【分析】本题考查了平行四边形对边相等，对边平行的性质，角平分线的定义，平行线的性质，画出符合
的两种图形，根据角平分线的定义可得 ，再根据两直线平行，内错角相等可得
，求出 ，推出 ，即可求出答案．
【详解】解：分为两种情况：
①E点在线段 上，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②当E在 延长线时，
∵ ， ，
∴ ；
即 或8，
故选：D．
10．如图， 中， ，两动点 ， 同时从点 出发，点 在边 上以 的速度匀
速运动，到达点 时停止运动；点 沿 的路径匀速运动，到达点 时停止运动． 的面
积 与点 的运动时间 的关系图象如图所示．已知 ，则下列说法正确的是（ ）
① 点的运动速度是 ；② 的长度为 ；③ 的值为8；④当 时， 的值为 或9．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】`本题主要考查函数图象问题，由点M的速度和路程可知， 时，点M和点C重合，过点N作
于点E，求出 的长，进而求出 的长，得出N点的速度；由图可得当 时，点N和点A
重合，进而可求出 的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出a的值；由图可知，当
时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论．
【详解】解：∵ ，点M的速度为 ，
∴当点M从点B到点C，用时 ，
当 时，过点N作 于点E，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴N点的运动速度是 ；故①正确；
由图可知，点N从B到A用时 ，
∴ ，故②正确；
∴ ，故③错误；
当点M未到点C时，过点N作 于点E，
故
所以∴ ，
解得 ，负值舍去；
当点N在 上时，过点N作 交 延长线于点F，
此时 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴当 时，t的值为 或9．故④正确；
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11．若一个多边形的内角和为 ，则这个多边形的边数是 ．
【答案】8
【分析】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式： ．根据多边形
内角和定理： 可得方程 ，再解方程即可．
【详解】解：设多边形边数有 条，由题意得：
解得： ，
故答案为：8．
12．如图， 中，AE平分 ， ，则 等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，熟记平行四边形的性质，角平分线的定义是解
题的关键．根据平行四边形的性质结合角平分线的定义即可推出结果．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，，
，
又 平分 ，
，
，
故答案为： ．
13．如图，小华同学想测量池塘A，B两处之间的距离．他先在A，B外选一点C，然后找出 ， 的
中点为D，E，测得 ，则A，B之间的距离为 ．
【答案】40
【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D，E是 ， 的中点，即 是 的中位线，
根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．
【详解】解：∵ ， 的中点为D，E，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
即A,B之间的距离为
故答案为：40
14．如图，在 中，点 ， 在对角线 上，连接 ， ， ， ，请添加一个条件
使四边形 是平行四边形．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．添加 ，根据平行四边形的性质可得 ，
，进而得 ，再根据平行四边形的判定即可得证．
【详解】解：添加 ，可以使四边形 是平行四边形，理由如下：
连接 ，与 相交于点 ，∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是平行四边形，
故答案为： ．
15．如图，已知点 ，将线段 平移得到线段 ，点 的对应点 恰好落在 轴的正半轴
上，且 ，则四边形 的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平移的性质，平行四边形的判定和性质，利用数形结合的思
想解决问题是关键．由坐标可得 ， ，从而得出 ，由平移的性质易证四边形 是平
行四边形，即可求出四边形 的周长．
【详解】解： ，
， ，
，
，
，
由平移的性质可知， ， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
四边形 的周长为 ，
故答案为： ．
16．如图，在平行四边形 中， ， ．点 从点 出发，以 的速度
沿 运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿 往复运动，当点 到达端点 时，点 随之停止运动．设点 的运动时间为 ，在此运动过程中，当 时，整数 的值为 ．
【答案】3或6或9
【分析】本题考查平行四边形中的动点问题，涉及平行四边形的判定与性质、两个直角三角形全等的判定
与性质、一元一次方程的应用，根据题意，分三种情况：①当 时；②当 时；③当
时，画出图形，数形结合，列方程求解即可得到答案．解题的关键是分类讨论思想的应用．
【详解】解：由已知可得， 从 需 ， 从 （或从 ）需 ，
设点 的运动时间为 ，
①当 时，
过 作 于 ，过 作 于 ，如图所示：
，
，
由点 从点 出发，以 的速度沿 运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿
往复运动，
则 ，
在平行四边形 中， ，
四边形 是平行四边形，
在 和 中，
，
∴ ，
在平行四边形 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 （不是整数，舍去）；当四边形 是平行四边形时，如图所示：
此时 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 为3时， ；
②当 时，若四边形 是平行四边形，如图所示：
此时 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
由①知，若四边形 中， ， ， 时，则 ，
这种情况在 时不存在；
∴ 为6时， ；
③当 时，若四边形 是平行四边形，如图所示：
此时 ，
∴ ，
解得 ，
∴ 为9时， ；
综上所述， 为3或6或9时， ，
故答案为：3或6或9．三、解答题（一）：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
17．如图，在 中， 的平分线 交 于点E，若 ， ，
(1)求 的度数．
(2)求 的长度．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了利用平行四边形的性质求角度，理解平行四边形的性质是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得 ， ，由平行线的性质可得 ， ，即
可求解；
（2）根据等角对等边求得 ，然后结合平行四边形的性质推理计算．
【详解】（1）解： 四边形 为平行四边形，
， ，
， ，
又∵ ，
，
平分 ，
，
．
（2）解：由（1）可得 ，
∴ ，
又∵在 中， ，
∴ ．
18．如图， 是 的对角线．
(1)尺规作图：作 的垂直平分线，分别交 、 于点E、F，垂足为点O．（保留作图痕迹，不要求
写作法）
(2)求证： ．【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本体考查了作图——作垂线，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是
解题关键．
（1）利用基本作图作 的垂直平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质，证明 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，直线 即为所求作；
（2）解： ， 垂直平分 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
19．如图，平行四边形 的对角线 与 相交于点O，点E为 的中点，过点A作 交
的延长线于点F，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形，
(2)若 ， ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边
形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）先证明 得到 ，再由平行四边形的性质得到 ，进而得到 ，由此即可证明四边形 是平行四边形；
（2）求出 ， ，根据四边形 的面积 即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵平行四边形 的对角线 与 相交于点O，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
∴四边形 的面积
20．阅读小东和小兰的对话，解决下列问题．
(1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？
(2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度．(3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点 ， ， ， 四点在同一条直
线上， 为公共顶点，试求 的度数．
【答案】(1)①20；②小东求的是8边形内角和；
(2)这个正多边形的一个内角是 ；
(3)
【分析】本题考查了多边形的内角和定理．
（1）①由题意知，多边形的内角和为 ，是 的整数倍，用 ，得到的余数即为多
加的锐角的度数；②由题意知， ，计算求解即可；
（2）根据这个正多边形的一个内角是 ，计算求解即可；
（3）根据多边形的内角和，分别得出 ， ，再根据三角形的内角和算
出 ，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为 ，是 的整数倍，
，
∴这个“多加的锐角”是 ，
故答案为：20；
由题意知， ，
解得， ，
∴小东求的是8边形内角和；
（2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是 ，
∴这个正多边形的一个内角是 ；
（3）解：由多边形的内角和可得，
，
，
，
，
由三角形的内角和得：
，
．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题8分，共24分.21．如图，在 中， 和 的角平分线 与 交于点 ，且点 恰好在边 上．
(1)若 ， ，求 的长______．
(2)点 为 的中点，连接 ，交 于点 ，求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理、角平分线的定义、等腰三角形的性质等
知识点，熟练掌握以上知识点，能够添加合适的辅助线是解题的关键．
（1）首先证明 ， ，再利用勾股定理求解；
（2）取BE的中点T，连接 ，通过证明四边形 是平行四边形，得出 ，可得结论．
【详解】（1）解： 四边形 是平行四边形， ，
， ， ， ，
， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
， ，
， ，
，
， ， ，
，
，
，
故答案为： ；
（2）证明：如图所示，取 的中点T，连接 ，连接
， ，
， ，， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
．
22．如图，在 中，点D是边 的中点，点E在 内， 平分 ， ，点F在边
上， ．
(1)若 的面积为4，则四边形 的面积为 ．
(2)求证：四边形 是平行四边形．
(3)判断线段 之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论．
【答案】(1)8
(2)见解析
(3) ，证明见解析
【分析】本题考查三角形面积公式，平行四边形面积公式，平行四边形判定及性质，全等三角形判定及性
质，中位线判定定理及性质定理等．
（1）由三角形面积公式即可得出 ，后由平行四边形面积公式即可得出本题答案；
（2）延长 交 于点 ，证明 ，后得到 为 的中位线，继而得到本题答
案；
（3）由平行四边形性质得 ，后得 ，再由全等三角形性质可得 ，继而得
到本题答案．
【详解】（1）解：过点 作 ，
，
∵点D是边 的中点，
∴ ，∵ 的面积为4，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴四边形 的面积： ，
故答案为：8；
（2）解：延长 交 于点 ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵点D是边 的中点，
∴ ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（3）解：判断： ，证明如下：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点D是边 的中点， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ．
23．在探究活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究
一般情况，证明结论．某数学兴趣小组利用该方法探究下面问题：如图 ，在 中， ，点 ，
分别是射线 ， 的动点，且 ，连接 ，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ．
则 的长是否是一个定值呢？
【特殊化感知】
（1）如图 ，若点 ， 分别是 ， 的中点，则 ；
【一般化探究】
（2）如图 ，若点 ， 分别在边 ， 上，则 = ；
（3）在点 ， 运动的过程中，设 （ 是常数， ），则 的长是否保持不变？若不变，
求出 的长；若改变，求出 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 的长始终保持不变，为
【分析】（1）分别证四边形 是平行四边形、四边形 是平行四边形，即可得到 ；
（2）利用梯形中位线定理证明方法即可得解；
（3）分两种情况讨论，点 和点 在边 和 上，以及射线 和 上，参考（ ）中思路求解即可．
【详解】解：（1）在四边形 中， ， ，
∵ 和 分别为 和 中点，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
同理可得四边形 是平行四边形，
∴ ，
故答案为： ；
（2）延长 交 于点 ，∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ， ，
∵ ，
∴点 和点 重合，
∴ 的中位线，
∴ ；
（3） 的长始终保持不变，为 ；
①点 ， 分别在边 ， 上时，同（ ）情况，此时 ；
②当点 在 延长线上，点 在 延长线上时，延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ， ，
∵ ，
∴点 和点 重合，
∴ 的中位线，
∴ ；
综上， 的长始终保持不变，为 ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、中位线定
理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24．已知在平行四边形 中，动点P在 边上，以每秒 的速度从点A向点D运动．
(1)如图1，在运动过程中，若 ， 平分 ，求 的度数．
(2)如图2，另一动点Q在 边上，以每秒 的速度从点C出发，在 之间往返运动，P，Q两点同时
出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若 ，当运动时间为 秒时，以P，D，
Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
(3)如图3，连结 并延长与 的延长线交于点F， 平分 交 于E点，当 ，
时，求 的长
(4)如图4，在（1）的条件下，连 并延长与 的延长线交于点F，若 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)4.8或8或9.6
(3) 的长为8
(4)
【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到 ，得到 ，证明
是等边三角形，根据等边三角形的性质解答；
（2）分 、 、 、 四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得
到答案；
（3）延长 交 于点 ，证明 ，可得 ， ，再证明
，得 ，然后利用线段的和差即可解决问题；
（4）作 ，求出 ，根据三角形面积公式得到 ，得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
，，
平分 ，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
（2）解： 四边形 是平行四边形，
，
，
要使四边形 是平行四边形，则 ，
设运动时间为 秒，根据题意可知： ， ， ，
①当 时， ，
，
解得 ，不合题意；
②当 时， ，
，
解得， ；
③当 时， ，
，
解得， ；
④当 时， ，
，
解得， ；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形；
（3）解：如图3，延长 交 于点 ，四边形 是平行四边形，
， ，
平分 ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
的长为8；
（4）解：如图2，作 于 ，
是等边三角形，
， ，
，，
，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计算，勾股定
理，全等三角形的性质与判定，掌握三角形的面积公式、平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况
讨论思想是解题的关键．
25．如图1， ，点 ，点 在 轴正半轴上，点 ， 在第一象限，且 ， ，
的对角线 ．
(1)点 的坐标为 ；
(2)动点 从点 出发沿 的路线运动，在 上的速度为每秒 个单位长度，在 上的速度为
每秒 个单位长度，过点 作 轴的垂线交折线 于点 ，以 为直角边且 向右作等腰
直角三角形 ，设运动时间为 ．
①如图2，当等腰直角三角形 与 重叠部分为四边形时， 与 相交于点 ．则四边形
的形状为 ；
②线段 的长度为 ；（用含 的代数式表示）
③若设重叠部分的面积为 ，在运动过程中，求 与 的函数关系式，并写出 的取值范围．
【答案】(1)(2)①平行四边形；② ；③
【分析】（1）延长 交 轴于点 ，根据平行四边形证明 和△ 是等腰直角三角形，得
， ， ，即可解答；
（2）①根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得结论；
②分点 在 和 两种情况，当点 在 上时，如图1，先求得 的长，再由线段的差可得 的长；
当点 在 上时，先确定点 在 上运动 ，因此从 到 时间是 ，再与速度为每秒 个单位长度
相乘即可解答；
③分三种情况： 时，如图2，重叠部分是 ，根据三角形的中线平分三角形的面积即可解答；
当 时，如图3，重叠部分是四边形 ，根据面积差计算即可；当 时，如图4，重叠部
分是 ，根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：（1）如图1，延长 交 轴于点 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：①四边形 的形状为平行四边形，理由如下：
∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵四边形 是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
②存在两种情况：
当点 在 上时， ；
点 到达点 用时 ，
当点 在 上时， ，
综上，线段 的长度为 或 ；
故答案为： 或 ；
③分三种情况：
当 时，如图2，重叠部分是 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图3，重叠部分是四边形 ，
同上可得 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，如图4，重叠部分是 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
综上， 与 的函数关系式为： ．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，
三角形的面积等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解题是关键．
