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2025 年高考考前信息必刷卷 01（江苏卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：包含高考命题趋势变化，题目呈现方式的变化等
高考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对非常规考点的创新糅合等
第14题，探索问题，第18题数列与概率结合，凸显学科知识的融合
高考·新情境：可涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等
如第2题，第4题，第5题，涉及生活情境，社会生产生活，加强学科的应用
命题·大预测：基于本卷的题目进行具体分析，给出趋势性预测，也可提出备考方向等
深化基础性考查，强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导中学
把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养。增加基础题比例、降低初始题起点，增强试题的
灵活性和开放性，使学生在考试中能够充分展示自己的思维能力和创新水平.
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，
.故选B.
2．已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，解得 .故选C.
3．树人中学举行主题为“弘扬传统文化，传承中华美德”的演讲比赛，现随机抽选10名参赛选手，获得
他们出场顺序的数据，将这组数据从小到大排序为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，若该组数
据的中位数是极差的 ，则该组数据的第40百分位数是( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【解析】由题可得极差是 ，该组数据的中位数是极差的 ，
列出等式 ，解得 ，因为 ，
故该组数据的第40百分位数为从小到大第4个数据和第5个数据的平均值，即 ，
所以该组数据的第40百分位数是 ，故选A.4.青铜大圆鼎（图1），厚立方耳、深鼓腹、圜底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肃省博物馆．它的主体部
分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（图2），忽略鼎壁厚度．已知半球的半径为 米，圆柱的高近
似于半球的半径，则此鼎的容积约为（ ）
A． 立方米 B． 立方米 C． 立方米 D． 立方米
【答案】B
【解析】由题意可知，圆柱的底面半径和高均为 米，且半球的半径为 米，
因此，此鼎的容积为 立方米，故选B.
5．我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系．声音的强度常用 （单位：瓦/米2，即
）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用 （单位：分贝）表示，它们满足换算公式：
（ ，其中 是人们平均能听到的声音的最小强度）．若某小区内公共场所
因施工声音的强度水平升高了20分贝，则声音的强度应变为原来的（ ）
A．5倍 B．100倍 C．10倍 D．20倍
【答案】B
【解析】设该小区内公共场所声音的强度水平为 ，相应声音的强度为 ，
由题意，得 ，即 ，则 ，解得 ．故选：B．
6.“ ”是“直线 与圆 有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线 与圆 有公共点，
易知圆心 ，半径 ，
则圆心到直线 的距离 ，解之得 ，
又 是 的真子集，
所以“ ”是“直线 与圆 有公共点”的充分不必要条件，故
选A
7．已知函数 ，结论正确的有（ ）
A． 不是周期函数
B． 的图象关于原点对称
C． 的值域为D． 在区间 上单调递增
【答案】D
【解析】设 ，则 是周期为 的周期函数，则 是周期函数，故A错误；
根据奇函数定义， ，但 ，
所以 的图象不关于原点对称，故B错误；
因为 ，所以 ，即 的值域为 ，故C错误；
当 时，函数 为增函数， 为增函数，
根据复合函数单调性的关系得， 在区间 上单调递增，故D正确.
故选：D
8．过双曲线 的右支上一点 ，分别向圆 ： 和圆 ： 作切线，切
点分别为 ， ，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆C ：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r＝2；
1 1
圆C ：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r＝1，
2 2
设双曲线x2 1的左右焦点为F （﹣4，0），F （4，0），
1 2连接PF ，PF ，F M，F N，可得
1 2 1 2
|PM|2﹣|PN|2＝（|PF |2﹣r2）﹣（|PF |2﹣r2）
1 1 2 2
＝（|PF |2﹣4）﹣（|PF |2﹣1）
1 2
＝|PF |2﹣|PF |2﹣3＝（|PF |﹣|PF |）（|PF |+|PF |）﹣3
1 2 1 2 1 2
＝2a（|PF |+|PF |﹣3＝2（|PF |+|PF |）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13．
1 2 1 2
当且仅当P为右顶点时，取得等号，
即最小值13．
故选D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
下列各项正确的是（ ）
A．若随机变量 ，则
B．若随机变量 ，则
C．对于事件 ，若 ，则 互斥
D．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好
【答案】AD【解析】对于A，由正态分布的对称性知， ，所以
，故A正确；
对于B，由 知， 即得，故B错误；
对于C，当 时， 不互斥，故C错误；
对于D，由残差平方和的统计意义知残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故D正确，
故选：AD
10．已知函数 的部分图像如图，下列结论正确的有（ ）
A． 是函数 的一条对称轴
B．函数 为奇函数
C．函数 在 为增函数
D．函数 在区间 上有 个零点
【答案】ACD【解析】由图可知， ， ，得 ，
所以 ， ，
得 ，因为 ，所以 ，
所以得 ，则 ，
所以 是函数 的一条对称轴，故A正确；
函数 ，
所以函数 为偶函数，故B错误；
，
得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，
当 时，函数 的单调递增区间为 ，
所以函数 在 上为增函数，故C正确；
当 时，即 ，得 ，
因为 ，可得 的取值是，
函数 在区间 上有 个零点，故D正确；
故选：ACD
11．已知函数 为定义在 上的可导函数， ， 为奇函数， 的图像关于
对称，则（ ）
A． 的图象关于 对称
B． 为偶函数
C．
D． 在 上至少有5个零点
【答案】AB
【解析】 的图象关于 对称，所以 ，
所以 ，故 的图象关于 对称，又因为 为奇函数，
所以 以点 中心对称，所以 的图象关于 对称，故A正确.
因为 ，所以 ，所以 ，故B正确.
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 的图象关于 对称，又因为 为偶函数，所以 ，故C错误.取 ，满足条件，因为 ，
此时函数 只有3个零点，故D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知复数 ， 为虚数单位，则 ．
【答案】
【解析】方法一：因为 ，
所以 ．
方法二： ．
13． 的展开式中 的系数为 .（用数字作答）
【答案】
【解析】易得 展开式中含 的项为 ，
所以 的展开式中 的系数为 .
14．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆
的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形
的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角 外接圆的半径为2，且三条圆弧沿 三边
翻折后交于点 .若 ，则 ；若 ，则 的值为
.【答案】 /5.75
【解析】设外接圆半径为 ，则 ，
由正弦定理，可知 ，
即 ，由于 是锐角，故 ，
又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即 ,故 ，
所以 ；
设 ，
则 ，
由于 ，不妨假设 ，
由余弦定理知 ，
设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 ,故 ,
则得 ，
所以 ，
同理可得 ，
所以 ,
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分13分）已知 为数列 的前 项和，且 ， ， ，
.
(1)求 的通项公式；
(2)将数列 与 的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列 ，求 的前10项的和.
【解】（1）由 ，可知 ，两式相减得 ，
即 ，因 ，则 ，又 ， ，解得 ，即 是首项为3，公差 的等差数列，
所以 的通项公式 .
（2）由(1)知， ，数列 与 的公共项满足 ，即 ， ，
而 ，于是得 ，即 ，此时 ， ，
因此， ，即 ，数列 是以3为首项，12为公差的等差数列，
令 的前 项和为 ，则 ，
所以 的前10项的和为570.
16．（本小题满分15分）三棱柱 中， ， ， ，四边形 为菱形，
且 ， .
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求 与平面 的夹角正弦值.
【解】（Ⅰ）取 中点O，连接 ， ， ，菱形中 ，故三角形 是等边三角形，则 ， ， ，
又 ， ，所以 ，
又 ， ，故 平面 ，
所以 ，在 中， ，
所以 ，故 ，
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
（Ⅱ）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，由 ，
得 ，即 ，令 ，知 ， ，
所以 ，设 上的单位向量为 ，则 与平面 的夹角正弦值 .
17．（本小题满分15分）已知椭圆 的右顶点 ，P为椭圆C上的动点，且点
P不在x轴上，O是坐标原点， 面积的最大值为1．
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)过点 的直线 与椭圆C交于另一点Q，直线 分别与y轴相交于点E，F．当 时，
求直线 的方程．
【解】（1）椭圆 ， ， ，
P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是坐标原点，过点P 作 轴，垂足为 ，故 面积
为 ，
若要 面积最大，则需 最长，此时点P在 轴上，即 时，使得 面积最大，
, , .
椭圆C的方程为 ，离心率为 .
（2）P为椭圆C上的动点，过点 的直线 与椭圆C交于另一点Q，
可记 ， ，
当直线 的斜率不存在时，即 轴时， ， 此时直线 分别与y轴相交于点E，
F．此时 ，不符合题意.当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ，
联立 ，消去 可得 ,化简得 ，由韦达定理可得
，
所以 ，
由 ， ， ，则直线 的方程为： ，直线 的方程为：
，因为直线 分别与y轴相交于点E，F，令 分别代入直线 ,直线 可得：点
， ，
又 ， 在直线 方程 上，所以有 ，
分别代入 并化简可得
，， ，则 ，解得 ， ，
故直线 的方程为： 或 ，
即 或 .
18．（本小题满分17分）随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推
广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展
理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计
分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为 .而前一天选择了A套餐的学生第二
天选择A套餐的概率为 ，选择 套餐的概率为 ；前一天选择 套餐的学生第二天选择A套餐的概率为
，选择 套餐的概率也是 ，如此往复.记同学甲第 天选择 套餐的概率为 .
(1)求同学甲第二天选择 套餐的概率；
(2)证明：数列 为等比数列；
(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择A类套餐的人数 ，用 表示这100名学生中恰有 名学生选择A类套餐的概率，求 取最大值时对应的 的值.
【解】（1）设 “第1天选择B套餐”， “第2天选择B套餐”，
则 “第1天不选择B套餐”.
根据题意可知： .
由全概率公式可得 .
（2）设 “第 天选择B套餐”，则 ，
根据题意 .
由全概率公式可得
，
整理得 ，且 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（3）第二天选择A类套餐的概率
由题意可得：同学甲第二天选择A类套餐的概率为 ，则不选择A类套餐的概率为 ，
所以 ，则 ，当 取最大值时，则 ，
即 ，解得 ，
且 ，所以 .
19．（本小题满分17分）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）①若 ，证明： 在 上恒成立；
②证明：对任意正整数 ，都有 成立（其中 为自然对数的底
数）.
【解】（1） 的定义域为 ， .
若 ，则 ， 在 上单调递减；
若 ，则 ， 在 上单调递减；
若 ，则 有两个不等的实根 ：
当 时， ，故 在 上单调递增；当 或 时， ，故 在 ， 上单
调递减.
综上所述， 时， 在 上单调递减；
时， 在 上单调递增， 在 和 上
单调递减.
（2）①证明：若 ，则 ，不等式 等价于 .
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减；即 ，
∴ 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
②证明：由①可知 （当且仅当 时等号成立），
令 ，则 .
∴
，
∴ ，即对任意正整数 ，都有成立.
