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2025 年高考考前信息必刷卷 01（江苏卷）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B C A B B A D D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AD ACD AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 1 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
【解】（1）由 ，可知 ，两式相减得 ，
即 ，因 ，则 ，
又 ， ，解得 ，即 是首项为3，公差 的等差数列，
所以 的通项公式 .
（2）由(1)知， ，数列 与 的公共项满足 ，即 ， ，而 ，于是得 ，即 ，此时 ， ，
因此， ，即 ，数列 是以3为首项，12为公差的等差数列，
令 的前 项和为 ，则 ，
所以 的前10项的和为570.
16．（本小题满分15分）
【解】（Ⅰ）取 中点O，连接 ， ， ，菱形中 ，
故三角形 是等边三角形，则 ， ， ，
又 ， ，所以 ，
又 ， ，故 平面 ，
所以 ，在 中， ，
所以 ，故 ，
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；（Ⅱ）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，由 ，
得 ，即 ，令 ，知 ， ，
所以 ，设 上的单位向量为 ，
则 与平面 的夹角正弦值 .
17．（本小题满分15分）
【解】（1）椭圆 ， ， ，
P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是坐标原点，过点P 作 轴，垂足为 ，故 面积
为 ，
若要 面积最大，则需 最长，此时点P在 轴上，即 时，使得 面积最大，
, , .椭圆C的方程为 ，离心率为 .
（2）P为椭圆C上的动点，过点 的直线 与椭圆C交于另一点Q，
可记 ， ，
当直线 的斜率不存在时，即 轴时， ， 此时直线 分别与y轴相交于点E，
F．此时 ，不符合题意.
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ，
联立 ，消去 可得 ,化简得 ，由韦达定理可得
，
所以 ，
由 ， ， ，则直线 的方程为： ，直线 的方程为：
，因为直线 分别与y轴相交于点E，F，令 分别代入直线 ,直线 可得：点
， ，又 ， 在直线 方程 上，所以有 ，
分别代入 并化简可得
，
， ，则 ，解得 ， ，
故直线 的方程为： 或 ，
即 或 .
18．（本小题满分17分）
【解】（1）设 “第1天选择B套餐”， “第2天选择B套餐”，
则 “第1天不选择B套餐”.根据题意可知： .
由全概率公式可得 .
（2）设 “第 天选择B套餐”，则 ，
根据题意 .
由全概率公式可得
，
整理得 ，且 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
（3）第二天选择A类套餐的概率
由题意可得：同学甲第二天选择A类套餐的概率为 ，则不选择A类套餐的概率为 ，
所以 ，则 ，
当 取最大值时，则 ，
即 ，解得 ，且 ，所以 .
19．（本小题满分17分）
【解】（1） 的定义域为 ， .
若 ，则 ， 在 上单调递减；
若 ，则 ， 在 上单调递减；
若 ，则 有两个不等的实根 ：
当 时， ，故 在 上单调递增；
当 或 时， ，故 在 ， 上单
调递减.
综上所述， 时， 在 上单调递减；
时， 在 上单调递增， 在 和 上
单调递减.
（2）①证明：若 ，则 ，不等式 等价于 .
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，∴ 在 上单调递增，在 上单调递减；即 ，
∴ 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
②证明：由①可知 （当且仅当 时等号成立），
令 ，则 .
∴
，
∴ ，即对任意正整数 ，都有
成立.
