文档内容
第 08 讲 章节复习专题：平行四边形
目录
【考点一 利用平行四边形的性质求解】................................................................................................................3
【考点二 平行四边形的性质与判定多结论问题】................................................................................................8
【考点三 利用平行四边形的性质求动点问题】..................................................................................................16
【考点四 平行四边形中的折叠问题】..................................................................................................................21
【考点五 判断能否构成平行四边形】..................................................................................................................29
【考点六 平行四边形中的作图】..........................................................................................................................32
【考点七 平行四边形中的性质和判定】..............................................................................................................38
【考点八 与三角形中位线有关的求解问题】......................................................................................................47
【考点九 平行四边形与中位线综合问题】..........................................................................................................50
【考点十 多边形内角和、外角和问题】..............................................................................................................57
【考点十一 多边形中的对角线问题】..................................................................................................................59
【考点十二 多边形中的截角问题】......................................................................................................................61
知识点01 平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“
▱
”表示，平行四边形 ABCD表示为
“ ▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
知识点02 平行四边形的性质
平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形：
性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC
性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD
注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD；
②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO.
性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形.
知识点03 平行四边形的判定定理
平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：
（1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC.（2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC.
（3）判定方法 3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即 AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且
AB=DC.
（4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC.
（5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO.
注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；
②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边
相等，是无法判定为平行四边形的.
知识点04 三角形的中位线定理
（1）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段称为中位线（三角形中有3条中位线）
（2）三角形中位线定理：如下图，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即若点 D、E分
别为AB、AC的中点， .
知识点05 多边形的概念、内角和、外角和
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个
角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
凹多边形
凸多边形
3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个
多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；n(n3)
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 2 ；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
4.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
(n2) 180°
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于 n ；
5.多边形的外角和：多边形的外角和为360°．
特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外
角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
360°
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 n ；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等
外角的度数．
【考点一 利用平行四边形的性质求解】
例题：（24-25八年级下·上海·期中）在 中，若 ，则∠D为 度．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在 中， ， ， ，则
， ．
2．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图， 中， ，点E在 的延长线上， ，若
平分 ，则 ．
3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）在 中， 是 边上的高， ， ，且
，则 的面积为
4．（2025·江西九江·二模）在 中， ， ， ，点 在 上， ，点 在
上，连接 ， 是 的中点．若 是等腰三角形，则 的长为 ．【考点二 平行四边形的性质与判定多结论问题】
例题：（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，平行四边形 的对角线 交于点 ， 平
分 交 于点 ，且 ， ，连接 ．下列结论：① ；②
；③ ；④ ．其中成立的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【变式训练】
1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ， 平分
，分别交 ， 于点 ， ，连接 ， ， ，下列结论：①
；② ；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的个数有
（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图， 是 内一点， ， ，
，连接 ， ， ，下列结论：① ；② 为等腰直角三角形； ③
；④ ，其中正确的个数有 （ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图， 中，对角线 、 相交于点O， 平分
，分别交 、 于点E、P，连接 ， ， ，则下列结论：①；② ；③ ；④ ．其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（24-25八年级下·吉林·期中）如图，点O是 的对角线的交点， ， 的平分
线 交 于点E， 与 交于点F， ，连接 ．下列结论：① ；②
平分 ；③ ；④ ，其中正确的有 ．
【考点三 利用平行四边形的性质求动点问题】
例题：（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形 中， ，且 ， ，
动点P，Q分别从点D，B同时出发，点P以 的速度向点A方向运动，点Q以 的速度向点C
运动，几秒后四边形 是平行四边形（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】
1．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图1，在 中，动点P从点B出发，沿折线 运
动，设点P经过的路程为x， 的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a
等于（ ）
A．18 B．24 C．30 D．362．（2024·河南周口·三模）如图1，四边形 是平行四边形，连接 ，动点P从点A出发沿折线
匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段 的长为y，图2是y与x的
函数关系的大致图象，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．平行四边形 的周长为44 D．当 时， 的面积为20
3．（24-25八年级上·山东东营·期末）如图，在 中， ， ，点F是 上一个动
点，以 ， 为邻边作另一个 ，当F点由D点向C点运动时，下面给出四个结论：
① 的面积先由小变大，再由大变小；
② 的面积始终不变；
③线段 的最小值为 ；
④ ．
其中说法正确的选项是（ ）
A．①③ B．①④
C．①③④ D．②③④
4．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图（1），在 中， ， ，动点 从点 出发，
沿直线运动至点 ，再从点 沿直线运动至点 ．设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，图（2）是
点 运动时 随 变化的函数关系图象，则 的长为（ ）A．3 B．4 C． D．5
【考点四 平行四边形中的折叠问题】
例题：（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在平行四边形 中，点 ， 分别为边 ， 的
中点，将平行四边形 沿着 折叠，点 ， 分别落在 ， 处，若 ，则 的度数
为 ．
【变式训练】
1．（2024·河南·模拟预测）在平行四边形 中，点 为边 的中点，将 沿 折叠，使点 落
在点 处，把纸片展平，延长 与射线 交于点 ． 若 ， ，则线段 ．
2．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）如图，在 中， ，点E是边
上一动点，将 沿直线 折叠，得到 ，设 与 交于点M，当 与 的一边垂直
时， 的长为 ．
3．（24-25八年级上·山东威海·期末）综合实践课上，老师让同学们开展了 的折纸活动， 是
边上的一动点， 是 边上的一动点，将 沿直线 折叠，使点 落在 边上的点 处，点
的对应点为点 ，连接 ．(1)【观察发现】如图1，若 ， ， ，则 ___________， ___________．
(2)【操作探究】如图2，当点 落在 的延长线上时，求证：四边形 为平行四边形．
4．（2024八年级下·全国·专题练习）综合与实践
综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下
是王老师的课堂主题展示：
【问题情境】在平行四边形 中， ， ， ，E是 的中点，
连接 ，将 沿 折叠得到 （点F不与点A重合），作直线 交 于点P．
【观察发现】
（1）如图1，若 ，则线段 与 的数量关系是______，位置关系是______．
【类比探究】
（2）在 的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；
若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
（3）当 时，请直接写出线段 的长．
【考点五 判断能否构成平行四边形】
例题：（24-25八年级下·山东德州·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A． B．C． D．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）已知四边形 ，下列条件能判断它是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（24-25八年级下·湖北随州·期中）如图，四边形 的对角线 和 交于点O，则下列不能判断
四边形 是平行四边形的条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在 中，对角线 相交于点O，点E，F是
对角线 上的两点，下列条件不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四边形 的对角线相交点O，下列条件中，不能判定四
边形 是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点六 平行四边形中的作图】
例题：（2025·广东广州·一模）如图，四边形 为平行四边形．(1)尺规作图：作 的角平分线 ， 交 于点 （保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，连接 ，若 ， ，求线段 的长．
【变式训练】
1．（2025·江西·模拟预测）如图， 为 内一点，请仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图（保
留作图痕迹）．
(1)在图1中， 平分 ，作 的平分线；
(2)在图2中， 为任意一点，在 内作线段 ，使 平行且等于 ．
2．（24-25八年级下·四川广安·期中）根据要求作图．
(1)如图1，平行四边形 ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，连接 ．求作线段 中
点（要求尺规作图，保留画图痕迹，不必说明理由）．
(2)如图2，平行四边形 ，点 在边 上，请你在边 上找一点 ，使得四边形 为平行四边
形．（要求尺规作图，保留画图痕迹，并证明四边形 为平行四边形）．
3．（2025·浙江·二模）尺规作图问题：
如图，在 中，P是对角线 上一点 ，连结 ，请按要求完成下列问题：
(1)用无刻度直尺和圆规在 边上作点Q，连接 ，使得 ．（保留作图痕迹，不必写做法）
(2)依据你的作图，请说明 成立的理由．（要求写出推理过程）
4．（2025·宁夏银川·一模）如图，在 中， ．(1)用尺规完成以下基本作图：在 上截取 ．使 ．连接 ，作 的平分线交 于点
（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)请判断：四边形 的形状并加以证明
【考点七 平行四边形中的性质和判定】
例题：（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，在 中，F是 的中点，延长 到点E，使
，连结 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在平行四边形 中，点E，F分别在 ， 上，且
．连结 ， 交于点O．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ， 的周长是12，求平行四边形 的周长．
2．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在四边形 中， ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，点 是 的中点，求平行四边形 的面积．
3．（24-25八年级下·河南周口·期中）如图， 中， ， ， ， 是 中点，，动点 以每秒 个单位长的速度从点 出发向点 移动，连接 并延长在 交于点 ，点
移动时间为 秒．
(1)求 与 间的距离；
(2) 为何值时，四边形 为平行四边形；
(3)直接写出 为何值时， ．
4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在一次数学探究活动中，小明用一根木棒把四边形 分割成2个
部分（如图1），经测量发现， ， .
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若点P为线段 上的动点（点P不与点D重合），连接 ，过点P作 交直线 于点E.如图
2，当点P为线段 的中点时：
①连接 ，请写出 与 之间的数量关系并说明理由；
②请写出 ， 之间的数量关系并说明理由；
③如图3，当点P在线段 上时，请直接写出 ， ， 之间的数量关系________________.
【考点八 与三角形中位线有关的求解问题】
例题：（24-25八年级下·广东江门·期中）如图， ， 分别是 的边 ， 的中点，如果
，则 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在 中， ， ， ，点 分别平分线
段 ，则 的长为 ．2．（2025·山东日照·一模）如图所示，在 中，点 ， 分别为 ， 的中点，点 在线段 上，
连接 ，点 分别为 的中点．若 ，则 的长为 ．
3．（24-25八年级下·河南许昌·期中）如图， 中， ， ， ，点 、 、 分
别是边 、 、 的中点；点 、 、 分别是边 、 、 的中点； ；以此类推，则
第2025个三角形的周长是 ．
4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在四边形 中， ， ， ．点 、
分别为线段 、 上的动点（含端点，但点 不与点 重合），点 、 分别为 、 的中点，
则 长度的最大值是 ．
【考点九 平行四边形与中位线综合问题】
例题：（24-25八年级下·天津滨海新·期中）如图， 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，过点
作 交 的延长线于点 ， 连接 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当 时， 若 ，求 的长．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，在平行四边形 中，点 ， 分别在 ， 上，
，连接 与对角线 相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ， 为 的中点，连接 ．若 ，求 的长．
2．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在 中， 是 的中点，延长 至 ，使得 ，连
接 ，延长 至点 ，使得 ，连接 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)连接 交 于点 ，若 ， ， ，求 ， 的长．
3．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点E为平行四边形 的边 上的一点，连接 并延长，
使 ，连接 并延长，使 ，连接 ．H为 的中点，连接 ， ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；(2)连接 ，交 于点O，若 ， ，求 的长度．
4．（2025八年级下·全国·专题练习）如图， 的对角线 相交于点O， 平分 ，分别
交 于点 ．
(1)试说明 是等腰三角形；
(2)连接 ，若 ， ．
①求线段 的长；
②求 的面积．
【考点十 多边形内角和、外角和问题】
例题：（2025·广东清远·一模）一个多边形的内角和为 ，这个多边形的边数是 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期中）一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的 ，这个正多边形是
边形．
2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知一个多边形的边数为n．
（1）若 ，则这个多边形的内角和是 °；
（2）若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则 ．
3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中
的部分图案．若 ，则 的度数为 ．
4．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）小敏利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如
你从点 出发，沿直线走10米后向左转 度，接着沿直线前进10米后，再向左转 度 如此下去，当
她第一次回到 点时，发现自己走了100米，则 的度数为 ．【考点十一 多边形中的对角线问题】
例题：（24-25八年级下·上海·期中）正多边形的一个内角是 ，则这个多边形的对角线总数为
．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知一个正多边形每个内角都是 ，则这个正多边形共有 条
对角线．
2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）从一个多边形的一个顶点可以引出9条对角线，则这个多边形为
边形，内角和为 ．
3．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）一个多边形每个外角都等于 ，则从这个多边形的某个顶点画对角
线最多可以画出的条数是 条．
4．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）若一个正多边形的一个外角是 ，则从这个正多边形的一个顶
点出发，最多可以作 条对角线．
【考点十二 多边形中的截角问题】
例题：（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角
和的5倍，则原来多边形的边数是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13
【变式训练】
1．（22-23八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多
边形的内角和是（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角
和是（ ）
A．14 B．23 C． 或 D． 或 或
3．（23-24八年级上·重庆秀山·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个七边形，那么原多边形边数为
（ ）．
A．6 B．6或7 C．6或8 D．6或7或8
4．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形内角和
为 ，则原多边形的边数（ ）
A．12 B．11或12 C．12或13或14 D．11或12 或13
